7-Amaliy mashg’ulot Volterraning ikkinchi tur integral tenglamalarini yechish

7-Amaliy mashg’ulot
Volterraning ikkinchi tur integral tenglamalarini yechish.
1-misol.Ushbu tenglamani yeching:

bunda
va
Endi (15) munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:




va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo’lishidagi qonuniyat ko’rinib turibdi. Ularni (14) qatoga qo’ysak izlanayotgan yechim hosil bo’ladi:

2-misol.Ushbu tenglamani yeching:

(15) munosabatlarga asosan




va hokazo. Bulardagi o’rniga

Qatorni qo’yamiz, so’ng larning ifodasini (14) qatorga qo’yib, uni soddalashtirsak,


kelib chiqadi.
Mashqlar
Quyidagi Volterra tenglamalari ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechilsin:















2.Ikki argumentli funksiya uchun
Bundan oldingi paragrafda tekshirilgan integral tenglamalardagi noma’lum funksiya bir argumentli edi. Endi biz noma’lum funksiyasining ikki argumentli bo’lgan Volterra tenlamalarining ketma-ket yaqinlashish usulida yechilishi bilan qisqacha tanishib o’tamiz. Bunday tenglamalarning umumiy ko’rinishini quyidagicha yozish mumkin:

haqiqiy va kesmada uzluksiz,
haqiqiy va sohada uzluksiz,
-o’zgarmas son.
R va P sohalar oldingi boblarda quyidagicha aniqlangan edi:

Berilgan (17) tenglamaning yechimini ikki argumentli funksional qator shaklida izlaymiz:

Agar yuqoridagi to’rtta shart bajarilsa, (17) tenglama yagona yechimga ega bo’lishini isbot qilish mumkin. Lekin uning isbot oldingi paragraflardagiga o’xshash bo’lgani sababli, bu yerda uni takrorlaymiz va aniq tenglamani yechishni ko’rsatish bilan chegaralanamiz. Buning uchun quyidagi ishlarni bajarish kifoya:

1. 
   ning (18) ko’rinishida olingan ifodasini berilgan (17) tenglamaga qo’yamiz;
   
2. 
   hosil bo’lgan ayniyatning ikki tomonidagi bir xil darajali larning foeffitsientlarini o’zaro tenglaymiz;
   
3. 
   hosil bo’lgan integrallarni hisoblab chiqamiz,
   
4. 
   nihoyat, lar uchun aniqlangan ifodalarni yana (18) qatorga qo’yamiz. Natijada izlanayotgan yechim hosil bo’ladi.
   

1-misol.Ushbu tenglamani yeching:

Bunga (18) ni keltirib qo’yamiz, u holda


Ikki tomondagi larning koeffitsientlarini tenglash yo’li bilan quyidagilarni topamiz:




va hokazo, davom etilsa,

hosil bo’ladi. Endi mana shu ifodalarni (18) ga qo’yib, ushbu yechimni olamiz:

2-misol.Ushbu tenglamani yeching:

Bunga ning (18) ko’rinishidagi ifodasini qo’yamiz va koeffitsientlarini tenglash yo’li bilan quyidagilarni topamiz:




va hokazo. Natijada ushbu yechim kelib chiqadi:

1. 
   М.Салоҳиддинов “Интеграл тенгламалар”.
   
2. 
   М.Л.Красанов “Интегралние уравнения”, Наука М:1975
   
3. 
   Ш.Т.Мақсудов “Чизиқли интеграл тенгламалар элементлари” Тошкент “Ўқитувчи” 1975-й.