7-Ma’ruza chiziqsiz programmalash masalasining umumiy qo‘yilishi reja

x

x₁

3 –shakl 4- shakl

Umumiy holda (8)-(10) ko‘rinishda berilgan chiziqsiz programmalash masalasini ko‘ramiz va bu masalaning geometrik interpretatsiyasi bilan tanishamiz. Masaladagi (8), (9) shartlar Yevklid fazosida mumkin bo‘lgan planlar to‘plamini beradi. Bu to‘plamning nuqtalari orasidan maqsad funksiyaga minimum qiymat beruvchi nuqtani (optimal nuqtani) topish kerak. Buning uchun mumkin bo‘lgan planlar to‘plamining eng past saviyali gipersirti bilan kesilgan nuqtasini topish kerak. Bu nuqta berilgan (8)-(10) masalaning optimal yechimini geometrik interpretatsiyadan foydalanib topish uchun quyidagi ishlarni bajarish kerak.
1. Masalaning (8), (9) chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamini, ya’ni mumkin bo‘lgan planlar to‘plamini yasash kerak (agar bu to‘plam bo‘sh bo‘lsa, masala yechimga ega bo‘lmaydi).
2. gipersirtni yasash kerak.
3. ning qiymatini o‘zgartirib borib, eng past saviya gipersirt topiladi yoki funksiyaning quyidan chegaralanmagan ekanligi aniqlanadi.
4. Mumkin bo‘lgan planlar to‘plamining eng past saviya gipersirt bilan kesishgan nuqtasi aniqlanadi va funksiyaning bu nuqtadagi qiymati topiladi.
Quyidagi masalalarni geometrik interpretatsiyadan foydalanib yechamiz.

1. 
   m i s o l.
   

5 –shakl

Masalanining chegaraviy shartlarini qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ko‘pburchakdan iborat bo‘ladi (5-shakl). Agar deb qabul qilsak, tenglama markazi nuqta va radiusi ga teng bo‘lgan aylanani ifoda etadi.
ning qiymatini orttirib yoki kamaytirib boramiz. nuqtadan turli radusi aylanalar (parallel gipersirtlar) o‘tkazib borib, funksiyaga eng kichik yoki eng katta qiymat beruvchi nuqtani topish mumkin. Shakldan ko‘rish mumkinki, funksiya (4, 4;1,8) nuqtada eng kichik qiymatga, nuqtada esa eng katta qiymatga erishadi. Ko‘rinb turibdiki, berilgan masalaning lokal va golobal optimal qiymatlari o‘zaro teng ekan.

2. 
   m i s o l.
   

Bu masalaning planlaridan tashkil topgan to‘plam to‘rtburchakka tegishli nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi (6-shakl). da ifoda markazi nuqtada bo‘lgan ellipsning formulasidan iboratdir. ning qiymatini o‘zgartirib borish natijasida ning qiymati o‘zgarib boradi.




x₁

x₂

C

O

z=100

D

z=226

B

A

M

z=16



z=4

10.6-shakl

Shakldan ko‘rinadiki, maqsad funksiya (5,1) nuqtada o‘zining global maksimum qiymatiga (0,2) nuqtada esa lokal maksimum qiymatiga erishadi, chunki

Bu masalada maqsad funksiya o‘zining global va lokal optimal qiymatlarga planlardan tashkil topgan to‘plamning chetki nuqtasida erishadi.

3. 
   m i s o l.
   

Bu masalaning mumkin bo‘lgan planlar to‘plami qavariq to‘plam bo‘lmaydi, aksincha ikkita ayrim va qismdan iborat bo‘ladi.(7-shakl).

7 – shakl

Maqsad funksiya o‘zining minimal qiymati ga (1,4) (4,1) nuqtalarda erishadi. va nuqtalarda esa funksiya lokal maksimum qiymatlarga erishadi:

Lokal maksimum qiymatlarni solishtirish funksiya nuqtada global maksimumga erishishni ko‘rsatadi. va nuqtaning koordinatalari va ulardagi funksiyaning qiymati quyidagicha topiladi: nuqta to‘g‘ri chiziqda va egri chiziqda yotgani uchun uning koordinatalari bu tenglamalarni qanoatlantirishi kerak, ya’ni



Xudi shuningdek, nuqta to‘g‘ri chiziq va egri chiziqning kesishgan nuqtasi bo‘lgani uchun uning koordinatalari bu tenglamalarni qanoatlantirishi kerak, ya’ni

4 – m i s o l.

Masalaning planlaridan tashkil topgan to‘plam to‘rtburchakdan iborat (8-shakl).

8- shakl

ga ixtiyoriy qiymat beramiz. Natijada tenglama hosil bo‘ladi. Bu tenglama markazi nuqtada bo‘lgan ellipsni ifodalaydi. ning qiymatini o‘zgartirib borib, ellipisni o‘ziga parallel ravishda siljitib borish mumkin. Natidaja 8- shakldan ko‘rish mumkinki, ellepisning qavariq to‘plam ga uringan nuqtasi optimal nuqta bo‘ladi. Bu nuqtadagi funksiyaning qiymatini noma’lumlar quyidagi shartlarni qanoatlantirishi kerak:


Bundan tashkari ellipsning nuqtalardagi o‘rinma og‘ish burchagining tangensi -1 ga teng bo‘lishi kerak, chunki urinma to‘g‘ri chiziq bilan ustma-ust tushadi. to‘g‘ri chiziq og‘ish burchagining tengensi esa 1-ga teng. Ikkinchi tomondan,

ellipsga urinmaning og‘ish burchagining tangensini

formula orqali topish mumkin. Demak,

ya’ni

Shunday qilib, masalaning optimal yechimi quyidagi sistemaning yechimidan iborat bo‘ladi:


Nazorat savollari:

1. 
   Chiziqsiz programmalash masalasining qo‘yilishi va turlari
   
2. 
   Chiziqsiz programmalash masalalarining geometrik interpretatsiyasi