7-Ma’ruza Mavzu: Qattiq jismning tekislikka parallel harakati

3- masala. Berilgan j burchak ostida joylashgan ellipsograf lineykasining A va B nuqtalari tezliklari (119- shakl) orasidagi munosabat aniqlansin.
Echish. A va B nuqtalari tezliklarining yo’nalishlari shakldan ma’lum. U holda va vektorlarni AB chiziq bo’ylab yo’nalgan o’qqa proektsiyalasak,
v_A×cosj=v_B×cos(90°-j)
bo’ladi, bundan v_A= v_B×tgj.
7.4 § Tekislikdagi harakatdagi shakl nuqtalarining tezliklarini oniy tezliklar markazi orqali aniqlash. Tsentroidalar haqida tushuncha.
Tekis shakl (yoki tekislikdagi harakatdagi jism) nuqtalarining tezliklarini aniqlashning yana bir sodda usuli, oniy tezliklar markazi haqidagi tushunchaga asoslanadi.
Oniy tezliklar markazi deb shunday nuqtaga aytiladiki, uning shu ondagi tezligi nolga teng bo’ladi.
Agar qattiq jism ilgarilanma harakat qilmasa, albatta shunday nuqta topiladiki, u nuqtaning shu t - ondagi tezligi nolga teng bo’ladi, hamda bunday nuqta faqat bitta bo’ladi. Faraz qilaylik, t - onda jismning ixtiyoriy A va B nuqtasining tezlik vektorlari va bo’lsin, lekin nuqtalarning tezlik vektorlari o’zaro parallel bo’lmasin (150 shakl). Agar shu A va B nuqtalardan ularning tezlik vektorlariga perpendikulyar bo’lgan Aa va Bb chiziqlar o’tkazsak, ularning kesishgan nuqtasi tekislikdagi harakatning oniy tezliklar markazi bo’ladi, chunki bo’ladi^[4].


124- shakl.
Agar ¹0 bo’lsa, ikki nuqta tezligining proektsiyalari haqidagi teoremaga asosan - tezlikning vektori bir vaqtning o’zida ham AR (chunki ^AR) ga, ham BR (chunki ^BR) ga perpendikulyar bo’lishi shart, bu esa aslo mumkin emas. Ushbu teoremadan ko’rinib turibdiki, hech qanday boshqa nuqtaning shu ondagi tezligi nolga teng emas ekan.
Endi, agar t- vaqt uchun P nuqtani qutb deb tanlab olsak, (7.3) formula orqali A nuqtaning tezligi quyidagicha aniqlanadi,
= + =
chunki =0. Xuddi shunday natijani ixtiyoriy olingan boshqa nuqta uchun ham yozishimiz mumkin. Demak, jismning tekislikdagi harakatidagi nuqtalarining shu ondagi tezliklarini aniqlash uchun, jismni oniy markaz atrofida aylanma harakat qilmoqda deb faraz qilish lozim ekan. Hamda(7.4) tenglamaga asosan,
v_A=w×RA ( ^RA );
v_B =w×RB ( ^RB ) va h.k. (7.6)
shu tenglikdan quyidagi proportsiyani yozish mumkin,
(7.7)
ya’ni, tekislikdagi harakatdagi jism nuqtalarining tezliklari ularning oniy tezliklar markazigacha bo’lgan masofalariga proportsional ekan.
Yuqorida olingan natijalardan quyidagi xulosalar kelib chiqadi:
1. Oniy tezliklar markazini aniqlash uchun faqat ixtiyoriy ikkita A va B nuqtalarning va tezliklarini yo’nalishlarini (yoki ularning traektoriyalarini) bilish kifoya ekan; shu nuqtalarning tezliklarini yo’nalishlariga o’tkazilgan perpendikulyar chiziqlarning (yoki ularning traektoriyalariga urinmalarning) kesishgan nuqtasi oniy tezliklar markazi bo’lar ekan.
2. Tekislikdagi harakatdagi jismning ixtiyoriy nuqtasining tezliklarini aniqlash uchun, uning birorta A nuqtasining tezligini son qiymati, yo’nalishi va boshqa ixtiyoriy B nuqtaning tezligini yo’nalishi ma’lum bo’lishi etarli ekan. U holda A va B nuqtalardan va tezliklarga perpendikulyar chiziqlar o’tkazsak, ularning kesishgan P nuqtasi oniy tezliklar markazi bo’ladi va tezlikning yo’nalishiga qarab jismning aylanish yo’nalishini aniqlab olamiz. So’ngra -tezlik orqali (7.7) formula yordamida ixtiyoriy M nuqtaning v_M -tezligini aniqlaymiz va -ni PM chizig’iga perpendikulyar ravishda M nuqtadan jismning aylanish tomoniga yo’naltirib qo’yamiz.
3. Tekislikdagi harakatdagi jismning burchakli tezligi ixtiyoriy nuqtaning tezligini, shu nuqtaning oniy tezliklar markazi P nuqtagacha bo’lgan masofaga bo’linganiga teng ekan: (12.8)formulaga asosan,
w=v_B/RB. (13,8)
Jismning burchakli tezligiga "Sferik harakat: burchakli tezligi:" w-ni boshqacha usulda ham aniqlash mumkin ekan, (7.3)(7.4) tengliklardan ma’lumki, va v_BA=w×AB bunga asosan
(7.9)


125-shakl.
Agar v_A=0 bo’lsa (u holda A nuqta oniy tezliklar markazi bo’ladi) (7.9) formula (7.8) formulaga aylanib qoladi.
(7.8) va (7.9) tengliklar bir-xil qiymatni aniqlaydilar, chunki yuqorida isbot qilganimizdek, bir vaqtni o’zida jismda ikkita oniy tezliklar bo’lishi mumkin emas, shu sababli bir vaqtni o’zida ikki xil burchakli tezlik - w ham bo’lishi mumkin emas.
Misol. Ellipsograf AD lineykasining A va B nuqtalari tezliklarining yo’naltiruvchilari ma’lum. Shu yo’naltiruvchilarga perpendikulyarlar o’tkazib, lineykaning tekislikdagi harakati uchun oniy tezliklar markazi P-ni aniqlaymiz (ellipsografni A va B polzunlarga sharnirlar orqali mahkamlangan fanerdan tayyorlangan bitta list L - deb qaralsin, AD lineykani esa shu listga chizilgan shakl deb hisoblansin. U holda P nuqta listga tegishli bo’lib, uning tezligi v_R=0 bo’ladi).


126- shakl
P nuqtaning o’rni aniqlangandan keyin v_A/RA=v_B/RB proportsiyadan v_A=v_B(RA/RB)=v_B×tga, ya’ni 60 masaladagi natija olinadi. M nuqta uchun ham xuddi shu kabi v_M=v_B(RM/RB). RM -ning uzunligini AB, AM va j - lar orqali hisoblab olish mumkin. - vektorning yo’nalishi shaklda ko’rsatilgan ( ^RM).
Lineykaning burchakli tezligini (7.8) yoki (7.9) formulalar orqali aniqlash mumkin,
yoki
bu ikkala formula ham bir xil natija beradi.
Quyida oniy tezliklar markazini aniqlashning ayrim xususiy hollarini ko’rib o’tamiz:
a) agar bir tsilindrsimon jism boshqa qo’zg’almas jismning sirti bo’ylab sirpanishsiz dumalab tekislikdagi harakat qilayotgan bo’lsa, dumalayotgan jismning qo’zg’almas sirt bilan shu ondagi tutashgan P -nuqtasining tezligi nolga teng bo’ladi (v_R=0, 126- shakl), shu sababli bu nuqta oniy tezliklar markazi hisoblanadi. Bunga rels ustidagi vagon g’ildiragining harakati misol bo’lishi mumkin.


127- shakl
b) agar jismning A va B nuqtalari tezlik vektorlari o’zaro parallel bo’lsa va AB kesma -vektorga perpendikulyar bo’lmasa (127-a shakl), u holda bu jismning oniy tezliklar markazi cheksizlikda yotadi, demak barcha nuqtalarining tezliklari o’zaro teng va -ga parallel bo’ladi. Hamda tezlikning proektsiyalari haqidagi teoremaga asosan v_Acosa=v_Bcosb bo’ladi, bundan v_A=v_B, chunki a=b, qolgan barcha nuqtalarning tezliklari ham shunga teng va bir xil yo’nalgan bo’ladi.
Demak, jismning barcha nuqtalarining tezliklari ham modullari, ham yo’nalishlari bo’yicha o’zaro teng bo’ladi, ya’ni jism oniy ilgarilanma harakat tezliklar maydoniga ega ( jismning bunday holati oniy ilgarilanma harakat) ekanligi aniqlandi. O’z o’zidan ma’lumki jismning (7.9) formula orqali aniqlanadigan burchakli tezligi -w nolga teng bo’ladi.
c) agar jismning A va B nuqtalari tezlik vektorlari o’zaro parallel bo’lsa va AB kesma -vektorga perpendikulyar bo’lsa (153, b shakl), u holda bu jismning oniy tezliklar markazi P nuqta 127- b shaklda tasvirlangan chizma orqali aniqlanadi. Ularning isbotini (7.6) formula yordami orqali aniqlanadi. Bunday holatda oniy tezliklar markazi P-ning o’rnini aniqlash uchun A va B nuqtalarning tezliklarini yo’nalishlaridan tashqari ularning son qiymatlari v_A va v_B-lar ham berilgan bo’lishi shart.
g) agar ixtiyoriy B nuqtaning tezlik vektori va jismning burchakli tezligi - w ma’lum bo’lsa, u holda bunday harakatning oniy tezliklar markazi -ga perpendikulyar bo’lgan chiziqda joylashib (124- shakl), B nuqtadan (13,8) formula orqali aniqlanadigan BR=v_B/w masofada yotadi.
Tsentroidalar va oniy aylanish markazi. Yuqorida ko’rib o’tilgandek, har bir olingan alohida on uchun shaklning tekislikdagi harakati, jismning oniy tezliklar markazi P nuqta atrofidagi aylanishidan iborat deb hisoblash mumkin ekan. Shu sababli, tekislikdagi harakatdagi jismning oniy tezliklar markazi P bilan qo’zg’almas jismning shu markaz bilan ustma-ust tushadigan nuqtasi ham P -harfi bilan belgilanadi va uni oniy aylanishlar markazi deb ataladi. Tekislikdagi shaklning aylanish o’qi S-yuzaga perpendikulyar bo’lib, oniy tezliklar markazi P nuqtadan o’tuvchi Rz - o’q (125-shakl) oniy aylanishlar o’qi deb ataladi.
Qo’zg’almas aylanish o’qi (yoki markazi) bilan oniy o’q (yoki markaz) markazning farqi shundaki, oniy o’q (markaz), har onda o’zining o’rnini o’zgartirib turadi. 52§-da ko’rsatilgandek, jismning tekislikka parallel harakatini ikkita harakatlardan tashkil topgan deb qarash mumkin bo’lib, ulardan biri qutb bilan birgalikdagi ilgarilanma harakat, ikkinchisi qutb atrofidagi aylanma harakatdan iborat bo’ladi, deb aytilgan edi. Olingan natija tekislikdagi harakatning boshqa geometrik ko’rinishini oydinlashtirib beradi, ya’ni: har qanday tekislikka parallel harakat uzluksiz o’zgaruvchi oniy o’q (markaz)lar atrofidagi elementar aylanishlardan iborat ekan deb hisoblash mumkin ekan.
Masalan, 156 shaklda tasvirlangan g’ildirakning harakatini C qutb bilan birgalikdagi ilgarilanma harakat va shu qutb atrofidagi aylanma harakatlarning yig’indisidan, yoki g’ildirakning rels bilan tutashgan P -nuqtalar atrofidagi elementar aylanishlaridan iborat deb qarash ham mumkin.


128-shakl
Jismning tekislikdagi harakatida oniy tezliklar markazi ham qo’zg’aluvchi jismdagi, ham qo’zg’almas Oxy tekisligidagi o’rni uzluksiz ravishda o’zgarib turar ekan. Qo’zg’almas tekislikdagi oniy aylanishlar markazlarining o’rinlarini qo’zg’almas tsentroidalar deb ataladi. Jism bilan birgalikda harakat qilayotgan qo’zg’aluvchi o’qlardagi oniy tezliklar markazlarining o’rinlarini qo’zg’aluvchi tsentroidalar deb ataladi (128-shakl).
Hozirgi onda qo’zg’aluvchi va qo’zg’almas tsentroidalar oniy aylanish (yoki oniy tezliklar) markazi P nuqtada uchrashib turibdilar; tsentroidalar hech qachon kesishmaydilar, chunki u holda bir vaqtni o’zida bir nechta aylanish o’qi mavjud bo’lishi lozim edi, bu esa mumkin emas.
Keyingi oniy vaqt uchun tsentroidalarning qo’zg’aluvchi oniy tezliklar markazi - P'₁ va qo’zg’almas oniy aylanishlar markazi P₁ -lar ustma-ust tushadilar va hokazo;


129- shakl
Har bir on uchun oniy markazning o’rni uzluksiz o’zgarib turishligi va har-bir yangi markazning tezligi =0 nolga teng bo’lganligi uchun, tekislikdagi harakatda qo’zg’aluvchan tsentroidalarning qo’zg’almas tsentroidalar ustidagi dumalanishlaridan iborat ekan deb hisoblash mumkin. Agar shu tsentroidalarni birorta materialdan yasab qo’zg’almas tsentroida ustida dumalatsak, haqiqiy real harakatni olishimiz mumkin bo’ladi. 130-shakldagi harakatda Ox -o’qi qo’zg’almas tsentroidani tashkil qiladi, RDEK -aylana esa qo’zg’aluvchi tsentroidani tashkil etadi. Agar g’ildirak rels ustida sirpanmasdan dumalab harakatlansa, bu qo’zg’aluvchi tsentroidaning qo’zg’almas tsentroida ustidagi dumalanishini tasvirlaydi.
Misol. Ellipsografning AB lineykasi uchun oniy aylanish markazi P nuqtada yotadi (125- shakl). Ixtiyoriy on uchun PO=AB=l bo’lgani sababli P nuqtaning Oxy o’qlardagi qo’zg’almas o’rinlari, radiusi l -ga teng bo’lgan va markazi O nuqtada joylashgan aylanadan iborat bo’lar ekan. Hamda shu vaqtning o’zida AB lineykani fanera L-ga chizib qo’yilgan kesma deb faraz qilsak, u holda P nuqtadan lineykaning markazigacha bo’lgan masofa PC=l/2 o’zgarmas bo’lar ekan. Demak, qo’zg’aluvchi P nuqtaning yoki qo’zg’aluvchi tsentroidaning fanera L-dagi o’rinlari markazi C nuqtada bo’lib, radiusi PC=l/2 bo’lgan aylanadan iborat ekan. Ellipsografning harakatida aylana -2 , aylana -1 ustida sirpanmasdan harakat qilar ekan va ularning tutashgan nuqtalari har-bir on uchun oniy aylanishlar markazi bo’lar ekan. Agarda 1 va 2 aylanalarni tishli g’ildiraklardan tayyorlab birini ikkinchisining ustida dumalatilsa, 2 aylananing AB diametri ellipsografning harakatini takrorlab berar ekan.
7.4 § Masalalar echish.
Aniqlanishi zarur bo’lgan kinematik xarakteristikalarni (jismning burchakli tezligi yoki uning nuqtalarining tezliklarini) aniqlash uchun, birorta nuqtaning tezligini son qiymati va yo’nalishi aniq bo’lishligi va boshqa nuqtaning tezligini yo’nalishi ma’lum bo’lishi shart . Masalani echishni avvalo shularni aniqlashdan boshlash lozim bo’ladi.
Harakati o’rganilayotgan mexanizmni tekshirishda, uning qaysi holatidagi kinematik xarakteristikalarini aniqlash lozim bo’lsa, uni xuddi shu holatda tasvirlash lozimdir. Hisoblash davomida oniy tezliklar markazi faqat shu holat uchungina o’rinli ekanligini unutmaslik lozim. Agar mexanizm bir necha jismlardan tashkil topgan bo’lsa, ilgarilanma harakatda bo’lmagan har bir jismning albatta o’z oniy tezliklar markazi va o’z burchakli tezligi bo’ladi.