7-маъруза Резольвента–аналитик оператор функция

7-маъруза

Резольвента–аналитик оператор функция.

Режа.

операторга қўшма операторни топиш,

спектрал радиус ўзгармаслигини исботланг.

Гильберт айниятини исботлаш.

Агар оператор функция нуқтанинг қандайдир атрофида нормаси бўйича яқинлашувчи

даражалиқаторгаёйиш мумкин бўлса, у ҳолда функция нуқтада аналитик дейилади.

Айтайлик фазода зич аниқланиш соҳасига эга бўлган фазода чизиқли операторберилган бўлсин.бўлганда операторнинг

резольвентасини қараймиз.(1) формулага кўра (24.1 п.даги 1-теореманинг исботига қаранг) агар бўлса, у ҳолда

(2)

қатордоирада яқинлашади. Демак, ихтиёрий нуқтада нинг аналитик функциясибўлади.

Энди бўлсин. У ҳолда бўлганда 24.2-п.нинг 3-теоремасига кўра

(3)

тенглик ўринли бўлади ва у резольвентанинг чексиз узоқлашганнуқтадаги ёйилмаси бўлади. Хусусий ҳолда бундан чексиз узоқлашган нуқта ҳам регуляр нуқта , яънига тегишли бўлади.

24.1 п.нинг 1-теоремасини 12.5 п. даги теорема билан биргаликда қаралса (3) ёйилмашартни қаноатлантирувчибарчаучун ҳам тўғри бўлиши ҳақидаги кучсизроқ натижа ҳам келиб чиқади. (3) формула бизни қуйидаги муҳум натижага олиб келади.

Теорема. Агар бўлса, у ҳолда бўш тўплам эмас.

Исботи.Фараз қилайлик спектр бўш тўплам бўлсин. Барча валар учункомплекс ўзгарувчининг

сонли функциясини қарашимиз мумкин.

эканлигини инобатга оламиз. Демак (3) муносабатдан

келиб чиқади. функция бутун комплекс текисликда аналитик ва.Лиувилл теоремасига кўра.нинг ихтиёрий эканлигиданванинг ихтиёрийлигидан . бу эса мумкин эмас. Ҳосил қилинган зиддият теоремани исботлайди.

Масалалар

1. 
   ўлчамли чизиқли фазонинг базиси бўлсин. Чизиқли операторни тенгликлар билан аниқлаймиз. сони операторнинг ягона хос қиймати бўлишини исботлаг.
   
2. 
   гильбертфазосида ортонормал базис бўлсин. Чизиқли операторни тенгликлар билан аниқлаймиз. операторнинг спектри ёпиқ бирлик доирани тўлдиришини ва операторнинг барча хос қийматлари доиранинг ички соҳасида бўлишини исботланг.
   
3. 
   2-масалада киритилган операторга қўшма операторни топинг. операторнинг спектри бирлик ёпиқ доирани тўлдиришини исботланг, шу билан бирга оператор хос қийматларга эга бўлмаслигини кўрсатинг.
   
4. 
   бўлсин.эканлигини исботланг.
   
5. 
   Гильберт айниятини исботланг. агар бўлса, у ҳолда
   

6. 
   комплекс сепарабел Гильберт фазоси вагильберт фазосидаортонормал базис бўлсин.шу билан биргаихтиёрий чексиз комплекс сонларнинг компакт тўплами, эса да зич нинг саноқли нуқталар тўплами бўлсин. У ҳолда муносабатни қаноатлантирувчи ягонаоператор мавжудлигини исботланг ва бу операторнинг спектрибилан устма-уст тушишини кўрсатинг.
   
7. 
   Агар банах фазосида эквивалент нормаларга ўтилса, у ҳолда ихтиёрий оператор учун спектрал радиус ўзгармас-лигини исботланг.
   
8. 
   вабанах фазоси бўлсин. Агар ва ўрин алмашувчи бўлса, у ҳолда
   

эканлигини исботланг.

9. 
   Агарда(– гильберт фазоси) оператор у ўзининг қўшмасиоператор билан ўрин алмашувчи бўлса операторга нормал дейилади. Агар нормал оператор вабўлса, у ҳолда эканлигини кўрсатинг.
   
10. 
    Чексиз ўлчамли нормаланган фазода ҳар қандай чекли ўлчамли чизиқли опреатор учун сони чексиз каррали хос қиймат бўлишини исботланг(мос қисм фазо чексиз ўлчамли).