8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

2-tastıyıqlaw. Qálegen sandaǵı tuyıq kópliklerdiń kesimi hám shekli sandaǵı tuyıq kópliklerdiń birikpesi - tuyıq kóplik boladı.
Dálilleniwi. Máyli bolsın. Onda ushın boladı. Sonlıqtan kópliginiń shek noqatı kóplikleriniń hárbiri ushın shek noqat hám tuyıq kóplik ekenligin esapqa alsaq, ushın boladı. Onda , yaǵniy tuyıq kóplik. Endi máyli bolsın. kópliginiń shek noqatı ushın shártin qanaatlandıratuǵın izbe-izligi bar boladı. Eger indeksiniń bazıbir mánisinde kópligine tiysli izbe-izliginiń sheksiz kóp element bar bolsa, onda noqatı kópliginiń shek noqatı hám kópligi tuyıq bolǵanı ushın boladı. Eger kópligine izbe-izliginiń shekli sandaǵı elementleri tiysli bolsa, onda nomeri bar boladı da izbe-izliginiń sheksiz kóp elementleri kópligine tiysli hám kópligi tuyıq bolǵanı ushın boladı. Demek, hámme uaqıt bazıbir nomeri bar bolıp, orınlanadı. Bul kópligi tuyıq kóplik ekenligin ańlatadı.
3-tastıyıqlaw. Qálegen sandaǵı ashıq kópliklerdiń birikpesi hám shekli sandaǵı ashıq kópliklerdiń kesimi - ashıq kóplik boladı.
Dálilleniwi. bunda hárbir ashıq kóplik, noqatın qarastırsaq, nomeri tabılıp, hám ashıq kóplik bolǵanı ushın noqatınıń -dógeregi bar boladı da boladı. Bunnan yaǵniy ashıq kóplik dep natiyje shıǵaramız. Endi máyli qalegen noqat bolsın. Onda hárbir mánisi ushın noqatınıń sáykes dógeregi tabıladı da boladı. Onda ushın , yaǵniy ashıq kóplik.
5-anıqlama. Máyli noqatlar kópligi, al bazıbir intervallar sisteması bolsın. Hárbir ushın intervalı bar bolıp, bolsa, onda noqatlar kópligi intervallar sisteması menen jabılǵan delinedi.
2-teorema(Borel lemması). Eger kompakt kópligi intervallardıń sheksiz sisteması menen jabılǵan bolsa, onda bul intervallar sistemasınan kópligin jabatuǵın intervallardıń shekli sistemasın ajıratıp alıw mumkin.
Dálilleniwi. Máyli intervallardıń sheksiz sistemasınan kompakt kópligin jabatuǵın intervallardıń shekli sistemasın ajıratıp alıw mumkin bolmasın. kompakt bolǵanı bolatuǵın segmenti bar boladı (sebebi kompat shegaralanǵan kóplik). Segmentti ekige bóliw usılınan paydalanıp, turindegi bir-birine ishpe-ish jaylasqan hám qısılıwshı segmentler izbe-izligin, kópligi hárbir ushın shekli jabıwǵa iye bolmaw shárti menen, payda etemiz. Máyli bolsın. Onda kópligi shekli jabıwǵa iye bolmaǵanı ushın hárbir segmentinde kópliginiń tochkaları bar boladı. Bul degendi ańlatadı, sebebi tuyıq kóplik. kópliginiń hárbir noqatı sistemasınıń bazıbir kópligi menen jabılǵan, yaǵniy kópligi tabılıp, boladı. Sonıń menen birge bolatuǵın nomeri bar boladı, sebebi bir-birine ishpe-ish jaylasqan hám qısılıwshı segmentler izbe-izligi,al bolsa ashıq kóplik. Natiyjede kópligi di jabadı hám kópligi shekli jabıwǵa iye boladı. Bul kópligi hárbir ushın shekli jabıwǵa iye bolmaw shártine qarama-qarsı.