8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

Ashıq hám tuyıq kóplikler, kompakt tusinigi. 1-anıqlama. Qálegen dógereginde kópliginiń sheksiz kóp noqatları bar bolǵan noqatına kópliginiń shek noqatı delinedi.
1-teorema. noqat kópliginiń shek noqatı bolıwı ushın kópliginiń noqatlarınan izbe-izlgin noqatqa jıynaqlı bolatuǵınday etip ajıratıp alıw mumkin bolıwı zarur hám jeterli.
Dálilleniwi. Jetrli shárti orınlı ekenligi anıq. Zarurlik shártin dálilleymiz. Máyli noqat kópliginiń sheek noqatı bolsın. , bunda , turindegi noqatlar izbe-izligin alsaq, onda teńligi orınlı.
Dálillengen teorema 1-anıqlamanı basqa formada tómendegishe keltiriwge imkan jaratadı.
1.1-anıqlama. kópliginen noqatına jıynaqlı bolǵan hárqıylı noqatlar izbe-izligin ajıratıp alıw mumkin bolsa, onda noqatına kópliginiń shek noqatı delinedi.
Shek noqatı kópligine tiysli bolıwıda, tiysli bolmawıda mumkin.
2-anıqlama. (haqıyqıy sanlar kósherindegi) kópligine hárbir shek noqatı tiysli bolsa, onda ol tuyıq kóplik dep ataladı.
3-anıqlama. (haqıyqıy sanlar kósherindegi) kópliginiń hárbir noqatı -dógeregi menen birge kópligine tiysli bolsa, onda kópligine ashıq kóplik delinedi.
4-anıqlama. Shegaralanǵan tuyıq (haqıyqıy sanlar kósherindegi) kóplik kompakt dep ataladı.
1-tastıyıqlaw. A) Eger ashıq kóplik bolsa, onda tuyıq kóplik boladı.
B) Eger tuyıq kóplik bolsa, onda ashıq kóplik boladı.
Dálilleniwi. A) máyli noqatı kópliginiń shek noqatı hám bolsın. Onda noqatınıń qalegen dógereginde kópliginiń noqatları bar boladı. Bul tuyıq kóplik bolǵanı ushın onıń hárbir noqatınıń qalegen dogeregi tek kópligine tiysli noqatlardan ibarat ekenligine qarama-qarsı. Demek, , onda , sonlıqtan kópligi tuyıq kóplik.
B) máyli noqatı bar bolıp, onıń tek ǵana kópliginiń noqatlarınan ibarat dógeregi bar bolmasın dep kersinshe oy jurgizeyik. Onda noqatınıń hárbir -dógereginde kópligine tiysli noqatınan basqa eń bolmaǵanda bir noqat bar boladı. Sonıń ushın noqatınıń -dógereginde kópligine tiysli sheksiz kóp noqatları bar boladı. Bunday bolsa noqatı kópliginiń shek noqatı boladı hám kópligi tuyıq bolǵanı ushın . Bulay bolıwı mumkin emes, sebebi bizde . Usı qarama-qarsılıq, tuyıq kóplik bolsa, onda ashıq kóplik bolatuǵının kórsetedi.