8-§. Sanlí funkciyalar túsinigi

3-teorema(ulıwmalasqan Geyne-Kantor teoreması). Kompakt kóplikte uzliksiz funkciya tegis uzliksiz boladı.
Dálilleniwi. Máyli kompakt bolsın. bolǵanı ushın sanın tayınlap, teńsizligi orınlı bolatuǵın mánisleri ushın shártinen sanı tabıladı. Endi hárbir noqatın dógeregi menen jabamız. - ashıq kóplik. Bolrel lemmasına sáykes kópliginiń shekli jabıwın tańlaymız. Máyli shekli jabıw turindegi dógereklerden ibarat bolsın. Eger sanı ushın argumenttiń hám mánislerinde teńsizligi orınlı bolsa, onda bazıbir ushın , yaǵniy boladı. Biraq bolǵanı ushın teńsizligi orınlı.
Bunnan teńsizligin jazamız. Onda bolǵanı ushın
. Bul funkciyası kompakt kópliginde tegis uzliksiz degendi ańlatadı.
Uzliksizlik moduli. Tegis uzliksizlik tusinigin uyreniwdiń ekinshi bir jolı uzliksizlik moduli terminlerine tiykarlanadı.
1-anıqlama. Máyli funkciyası kópliginde anıqlanǵan bolsın. Bul funkciyanıń uzliksizlik moduli dep turindegi funkciyaǵa aytıladı.
Uzliksizlik moduli ushın , teńligi orınlı, yaǵniy anıq joqarı shegara tańbası astına absolyut shama tańbası qoyıladı, bunnan anıq joqarı shegaranıń mánisi ózgermeydi. Sonıń menen birge uzliksizlik moduli ushın teńsizligi orınlı hám eger sanları ushın teńsizligi orınlı bolsa, onda bolǵanı ushın, teńsizligi orınlı, yaǵniy uzliksizlik moduli monoton ósiwshi funkciya.
1-teorema. X kópliginde anıqlanǵan funkciyası usı kóplikte tegis uzliksiz bolıwı ushın tenligi orınlı bolıwı zárur hám jeterli boladı.
Dálilleniwi. Zárurligi. Máyli funkciyası X kópliginde tegis uzliksiz bolsın. Onda sanı ushın sonday sanı bar boladı da barlıq teńsizligi orınlı bolatuǵın argumenttiń mánislerinde teńsizligi durıs boladı. Sonlıqtan sanı ushın teńszligi orınlı, yaǵniy ushın . Bul ekenligin ańlatadı.
Jeterliligi. Máyli teńligi orınlı bolsın. Onda shektiń anıqlamasınan sanı ushın sonday sanı bar boladı da ushın teńsizligi orınlı boladı.
Endi bazıbir sanın tańlap, teńsizligi orınlı bolatuǵın argumenttiń mánisleri ushın teńsizligine iye bolamız, yaǵniy funkciyası X kópliginde tegis uzliksiz.