8-§. Sízíqlí teńlemeler sistemasí

8.1-teorema. Berilgen \[n\] belgisizli \[m\] teńlemeler sistemasí sheshimge iye bolíwí ushín, bul sistemaníń belgisizleriniń aldíndaǵí koeffitsentlerden dúzilgen \[A\] matiritsaníń rangi menen keńeytirilgen \[B\] matritsaníń rangi óz-ara teń bolíwí zárúrli hám jetkilikli, yaǵníy \[rangA=rangB\].
Dálillew. Meyli (8.1) sistema birgelikli bolsín. Onda biz \[A\] hám \[B\] matritsalardíń rangileri birdey bolatuǵínín kórsetemiz. (8.1) teńlemeler sistemasí birgelikli bolǵanlíǵí ushín \[({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}},...,{{\beta }_{n}})\] sheshimge iye. Bul sheshim \[{{\beta }_{1}}{{b}_{1}}+{{\beta }_{2}}{{b}_{2}}+\,...+{{\beta }_{n}}{{b}_{n}}=b\], yaǵníy bul teńlik \[b\] vektoríníń \[{{b}_{1}},\,\,{{b}_{2}},\,\,...\,\,,\,{{b}_{n}}\] vektorlarí arqalí sízíqlí ańlatílatuǵínín kórsetedi. Demek, \[B\] matritsaníń rangin buzbastan hám \[B\] dan vertikal \[b\] vektorín shíǵaríp taslaw múmkin. Onda bizde \[A\] matritsasí payda boladí. Bunnan \[rangA=rangB\] ekenligi kelip shíǵadí.
Kerisinshe, \[A\] hám \[B\] matritsalaríníń rangileri birdey bolsín. Onda (8.1) sistemaníń birgelikli ekenligin kórsetemiz. \[rang\,A=r\] bolsín. Onda \[A\] matritsada nolden ózgeshe bolǵan keminde bir \[r\]-tártipli \[d\] minorí bar boladí. Mine, usí \[d\] determinant keńeytirilgen \[B\] matritsaníń da \[r\]-tártipli minorí boladí. \[d\] determinantí \[A\] hám \[B\] matritsalaríníń joqarǵí shep múyeshinde jaylasqan bolsín. Onda \[A\] matritsaníń \[r\] qatarí sízíqlí baylaníssíz bolíp, qalǵanlarí usílar arqalí sízíqlí ańlatíladí. Solay etip, sistemaníń \[r\] teńlemesin tiyisli sanlarǵa kóbeytip hám olardí aǵzama-aǵza qossaq, biz qalǵan teńlemelerde de usí nárseni keltirip shíǵara alamíz. \[r\] teńlemeniń hár qanday sheshimi joqarídaǵí aytqanímízday, qalǵan teńlemelerdi de qanaatlandíradí.
Endi tek ǵana eki jaǵday bolíwí múmkin: \[r=n\] yamasa \[rEger \[r\[\left\{ \begin{align}
& {{a}_{11}}{{x}_{1}}+...\,+{{a}_{1r}}{{x}_{r}}={{b}_{1}}-{{a}_{1r+1}}{{x}_{r+1}}-...-{{a}_{1n}}{{x}_{n}}, \\
& {{a}_{21}}{{x}_{1}}+...\,+{{a}_{2r}}{{x}_{r}}={{b}_{2}}-{{a}_{2r+1}}{{x}_{r+1}}-...-{{a}_{2n}}{{x}_{n}}, \\
& .\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,.\,\,\,\,.\,\,\,.\,\,\, \\
& {{a}_{r1}}{{x}_{1}}+...\,+{{a}_{rr}}{{x}_{r}}={{b}_{r}}-{{a}_{rr+1}}{{x}_{r+1}}-...-{{a}_{rn}}{{x}_{n}} \\
\end{align} \right.\]
Bul sistemaní \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{r}}\] lerge qarata sheshiw múmkin, sebebi \[r\]-tártipli \[d\] determinant nolden ózgeshe, yaǵníy $d\ne 0$.
Saltań belgisizlerge qálegen san mánislerin berip, Kramer forulasí boyínsha \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{r}}\] lerdiń sáykes mánislerin tabamíz. Bunnan \[rDemek, \[r