8-ma`ruza: Giperbolik tipdagi tenglamalarga qo’yilgan Koshi masalasining umumlashgan yechimlari haqida tushuncha. Aralash masalalar. Yechimning yagonaligi va boshlang’ich shartlarga uzluksiz bog’likligi

Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching.
u_tt=u_xx+u, (0_x=0=0, u|_x=l=t, u|_t=0=0, u_t|_t=0= .
Chegaraviy shartlar noldan farqli bo‘lgni uchun, yechimni ko‘rinishda qidaramiz, bu yerda , . U holda , yechim esa (*) ko‘rinishda bo‘ladi. Yechimdagi funksiya quyidagi masalani qanoatlantiradi:
v_tt=v_xx+v+ , (0_x=0=0, v|_x=l=0, u|_t=0=0, u_t|_t=0=0. (11)
Berilgan tenglamaning - xos sonlarini va xos funksiyalarini aniqlaymiz. Shunga asosan yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
. (12)
Tenglamaning ozod hadi funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:
. (13)
- Furye koeffisiyentlarini quyidagi formula yordamida aniqlaymiz: . Integralni bo‘laklab integralymiz. Natijada
. (14)
(12) va (13) funksiyalarni (14) ni hisobga olgan holda (11) masalaga etib qo‘yamiz, natijada noma’lum funksiya uchun quyidagi Koshi masalasini olamiz:
(15)
(15) masalani yechishda, dastlab, tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiring: , bu yerda - berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi, - berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo‘lib, o‘ng tomonga qarab tanlanishi mumkin, bizning holimizda, ko‘rinishda qidirish mumkin.
(15) masalani yechib, natijada (11) masalaning yechimini aniqlaymiz:
. (16)
(16) funksiyani (*) ga etib qo‘yib, berilgan masalaning yechimini olamiz, ya’ni:
.