9- amaliy mashg‘ulot. (2- soat) Chiziqli sistemalar barqarorligini tekshirish

9- amaliy mashg‘ulot. (2- soat)


Chiziqli sistemalar barqarorligini tekshirish
9.1. Algebraik kriteriylar yordamida chiziqli sistema barqarorligini tekshirish

Sistemaning barqarorligi deganda, muvozanat holatidan chiqargan tashqi ta’sirlar o‘z faoliyatini tugatgandan so‘ng, uning boshlang‘ich holatiga qayta olish qobiliyati tushuniladi. Xarakteristik tenglama ildizlarining kompleks tekislikdagi joylashuviga qarab, sistemaning barqarorligini baholash taklifi kiritilgan, unga ko‘ra xarakteristik tenglama barcha ildizlarining manfiy haqiqiy qismga egaligi sistema barqarorligining zarur va etarli sharti hisoblanadi.

Biroq xarakteristik tenglamani echishni barcha hollarda ham amalga oshirib bo‘lmaydi. Shuning uchun ham sistema barqaror yoki barqaror emasligini tekshirish baholash kriteriylari orqali aniqlanadi. Barqarorlik kriteriylari 2 turga bo‘linadi: algebraik va chastotaviy. Algebraik kriteriy sirasiga Raus va Gurvitsa kriteriysi kiradi. Chastotaviy kriteriy turiga Mixaylov va Naykvist kriteriylari kiradi.


1-misol. Quyidagi uzatish funksiyali sistemani Gurvits kriteriysi yordamida barqarorlikka tekshiring.


.

bu erda, K₁=20; T_E=0,1; T_YA=0,01; T_EM=0,02.

Sistemaning parametrlarini hisobga olib, xarakteristik tenglamani quyidagicha yozish mumkin.

(9.1)

bu erda: a₄ = T_YAT_ET_EM=0,2·10^–4; a₃=T_YAT_EM+T_ET_EM+T_YAT_E=0,32·10^–2; a₂=T_YA+T_E+T_EM=0,13; a₁=1; a₀=K₁=20, u holda

0,2·10^–4p⁴+0,32·10^–2p³+0,13p²+p+20=0 (9.2)

Avvalambor (4.1) tenglama koeffitsientlaridan Gurvitsning bosh aniqlovchisi tuziladi:

(9.3)

Gurvits kriteriysi bo‘yicha 4 darajali tenglama uchun barqarorlik sharti quyidagi tengsizliklar bajarilishini talab qiladi:

va
(9.4)

Gurvitsning bosh aniqlovchisidan 3- tartibli aniqlovchi aniqlanadi:

(9.2) ifodadagi koeffitsientlarning musbatligi sharti bajarilayotganligini hisobga olib, (4.4) shartni tekshiramiz.

Demak, Gurvits kriteriysi shartlari bajarilmoqda va sistema barqaror ekan.