9 ▪ European science №1 (43) the fundamental equation of the field theory in the sitter pulse space boltaev E. A

▪  European science № 1 (43) 

The  non-Euclidean  Lobachevsky  imaginary  4-space  (2)  is  also  called  the  Lobachevsky 

imaginary 4-space. It is natural that QFT based on momentum representation of the form (l)-

(2)  must  predict  new  physical  phenomena  at  energies 

     .  In  principle,  the  parameter 

may  turn  out  to  be  close  to  the  Planck  mass 

 

      

   

  

 

       

  

  GeV.  Then,  the  new 

scheme  should  include  quantum  gravity.  The  standard  QFT  corresponds  to  the  “small”  4-

momentum approximation 

  

 

           ,     

 

   

  

 

 

   , 

which  formally  can  be  performed  by  letting 

       (flat  limit).  Such  features  of  the 

considered generalization of the theory as geometricity and minimality are intriguing. This 

is due to the fact that the Minkowski momentum 4-space having a constant zero curvature is 

a degenerate limiting form of each of the spaces with constant nonzero curvature (l)-(2). 

If we substitute in (2) standard 

 

 

    

 

  

 

 

and 

 

 

    

 

  

 

 

receive  the  quantum  version  of  the  de  Setter  equations  (2)  in  five-dimensional  field 

equation 

 

 

 

  

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

     ,                    (3) 

           . 

We deliberately use in (3) the normal units to emphasize those three universal constants 

 ,   and   are grouped into one parameter-fundamental length         

 

. Eq. (3) may be 

considered  as  the  “fundamental”  equation  of  motion.  It  is  natural  to  extend  the  term 

“fundamental” to eq. (3) itself (for short f.e.). All the fields independent of their tensor (or 

spinor)  character  must  obey  eq.  (3)  since  similar  universality  is  inherent  in  the  “classical” 

prototype, i.e. - de Sitter p-space (2). As applied to scalar, spinor, vector and other fields we 

shall  write  down  the  five-dimensional  wave  function    

    

 

   in  the  form        

 

 , 

 

 

     

 

 ,  

 

     

 

 ,.. . The field theory based on f.e. (3) turns out to be more consistent 

and more general than the scheme developed in the de Sitter p-space (2). Thus, by virtue of 

(2) the 4-momentum components should obey the constraint 

 

 

   

 

 

    

 

    

 

, 

which  does  not  follow  from  eq.  (3).  Indeed,  passing  in  (3)  to  a  mixed  (

    

 

  

representation we get the equation 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

 

        

 

     ,          (4) 

having  a  solution  at  all 

 

 

  including  the  region 

 

 

   

 

   .  Consequently,   

 

 

  

 

   

 

  now  takes  both  real  and  pure  imaginary  values.  For  further  application  let  us 

define this quantity as a generalized function 

 

 

    

 

   

 

        

  

 

   

 

        

 

   

 

   

   

 

   

 

        

 

   

 

   

           (5) 

with (5) one can easily write down the general solution of (4) 

  

    

 

          

 

  

 

   

 

                

 

     

 

  

 

  

 

    

  

 

  

 

    

       

  

 

,          (6) 

where the “initial data” of   

      and 

       

  

 

 are determined at all values of 4-momenta. 

The Fourier transformation of (6), results in the formal solution of fundamental equation (3) 

 

---