9- маъруза ноаниклик шароитида қарор қабул қилиш критериялари. Оптимал стратегияларни танлаш мезонари. Статистик уйинлар. Режа: Табиат билан (статистик)

3-жадвал

T I	T1	T2	T3	T4
A1	1	3	1	4
A2	4	1	3	2
A3	3	1	3	1
A4	3	0	2	3

Дастлаб Лаплас принципини куллаб I уйинчининг оптимал стратегиясини топамиз. (5) формулага кура Q₁=Q₂=Q₃=Q₄= . У вақтда ₁=(1+3+1+4)/4=2,25; ₂=(4+1+3+2)/4=2,5; ₃=(3+1+3+1)/4=2; ₄=(3+0+2+3)/4=2. ютуқнинг максимал ўртача қиймати . Демак, Лаплас принципига кўра (яъни, табиат ҳолатлари эҳтимоллари бир хил булганда) 3-жадвал билан берилган уйинда А₂ стратегия оптимал бўлади.
Энди каралаётган ўйинга камаювчи арифметик прогрессия принципини кўллаймиз. Табиат ҳолатларининг рўй бериши эҳтимоллари камайиб бориш тартибида жойлаштирилганда Т₃, Т₁, Т₂, Т₄ кетма-кетликни ҳосил килган бўлсин. Уларни янгидан Т₁¹, Т₂¹, Т₃¹, Т₄¹ деб белгилаб ва n=4 учун (6) формуладан фойдаланиб, Q₁^|= ; Q₂^|= , Q₃^|= , Q₄^| = булишини топамиз. Шуларга кўра (1) формула асосида ўртача ютуқларни ҳисоблаймиз ва барча олинган натижаларни 4-жадвал куринишда тасвирлаймиз. ўртача ютуқлар жадвалнинг охирги устунида келтирилган. Бу устун элементларини солиштириб ни ва, демак, I уйинчи учун А₂ стратегия оптимал эканлигини топамиз.


4-жадвал

T I	T1^|	T2^|	T3^|	T4^|
A1	1	1	3	4	1,7
A2	3	4	1	2	2,8
A3	3	3	1	1	2,3
A4	2	3	0	3	2,0

5-Мисол. Супермаркет рахбарияти А турдаги товардан буюртма бермокда. Бунда товарга булган талаб 6 дан 9 бирликкача ораликда эканлиги маълум. Агар буюртма буйича олинган товар талабни кондириш учун етарли булмай колса рахбарият етишмай колган товарга шошилинч буюртма бериши ва олиб келиши мумкин. Агар талаб товарнинг мавжуд микдоридан кам бўлса, сотилмаган товар супермаркет омборида сакланади.
Бир бирлик товарни омборда саклаш харажати 10 шартли пул бирлигини, шошилинч буюртма бериш ва олиб келиш харажати эса 20 шартли пул бирлигини ташкил этиши маълум. Товарга бериладиган буюртманинг шундай хажмини топиш керакки, бунда омборда саклаш ва шошилинч буюртма бериш билан боглик кушимча чикимлар минимал бўлсин.
Ушбу мисолда харидорларнинг товарга бўлган талаби табиат сифатида намоён булмокдаки, унинг рўй бериш ҳолатлари, яъни талаб микдорлари куйидагича: Т₁ – 6 бирлик, Т₂ – 7 бирлик, Т₃ – 8 бирлик, Т₄ – 9 бирлик.
I уйинчи стратегиялари – супермаркет рахбариятининг буюртмалари: А₁ – 6 бирлик товар, А₂ – 7 бирлик товар, А₃ – 8 бирлик товар, А₄ – 9 бирлик товар микдоридан иборат.
Уйиннинг ютуқлар (аникроги, тўловлар) матрицаси 5-жадвалда келтирилган.
5-жадвал

Т I	Т1	Т2	Т3	Т4	ai
A1	0	-20	-40	-60	-60
A2	-10	0	-20	-40	-40
A3	-20	-10	0	-20	-20
A4	-30	-20	-10	0	-30

Матрица элементларини ҳисоблашда факат товарни омборда саклаш ва шошилинч олиб келиш билан боглик кушимча чикимлар эътиборга олинган. Масалан, буюртма 8 товар бирлигига, талаб эса 7 бирликка тенг булганда 1 бирлик товарни омборда саклаш харажатлари 10 шартли пул бирлигини ташкил этади. Буюртманинг худди шу хажмида талаб 9 бирликка тенг бўлса, етишмаган 1 бирлик товарни шошилинч олиб келиш учун килинадиган харажат 20 шартли пул бирлигидан иборат бўлади.

Шу ўйиннинг ечимини Валд, Сэвиж ва Гурвиц мезонлари буйича топамиз.

Дастлаб Валд мезонини куллаймиз. Бунинг учун i=1,2,3,4 элементларни топамиз. Улар 5-жадвалнинг охирги устунида ёзилган. Кўриниб турибдики, лардан энг каттаси =–20. Демак, Валд мезонига кўра А₃-оптимал стратегиядир, яъни товардан 8 бирлик буюртма бериш керак.

Энди Сэвиж мезонини куллаб неча бирлик товарга буюртма бериш кераклигини аниклаймиз. 5- жадвалдаги ютуқлар матрицаси асосида таваккаларни ва сонларни ҳисоблаб уларни 6-жадвалга ёзамиз. Бу жадвалнинг охирги устунидаги сонларнинг минималини топамиз: .

6-жадвал

Т I	Т1	Т2	Т3	Т4
A1	0	20	40	60	60
A2	10	0	20	40	40
A3	20	10	0	20	20
A4	30	20	10	0	30

Демак, Сэвиж мезони буйича хам А₃ стратегия оптималдир.

Энди каралаётган ўйинга Гурвиц мезонини куллаймиз. Фараз килайлик, экспертлар гурухи супермаркет буюртма бераётган товарга бўлган талабни ўрганиши асосида Гурвиц мезони учун стратегияни танлаш мезонининг оптимизм-пессимизм даражаси =0,2 эканлиги аниклаган бўлсин. Шуни эътиборга олиб , , микдорларни ҳисоблаймиз ва улар асосида 7-жадвални ҳосил киламиз

7-жадвал

Т I	Т1	Т2	Т3	Т4	wi	ai	hi
A1	0	-20	-40	-60	0	-60	-12
A2	-10	0	-20	-40	0	-40	-8
A3	-20	-10	0	-20	0	-20	-4
A4	-30	-20	-10	0	0	-30	-6

Жадвалдан кўриниб турибдики, h_i сонларнинг энг каттаси h₃=-4 булиб, у А₃ стратегияга мосдир, яъни Гурвиц мезонига кўра хам А₃ оптимал стратегия бўлар экан.

Шундай килиб, каралаётган ўйин учун куйидаги хулосага келамиз: супермаркет рахбарияти товарга 8 бирлик буюртма бериш учун хамма асосга эга, чунки учала мезон хам масалани А₃ стратегия фойдасига хал килмокда.
Изох сифатида шуни айтиш мумкинки, каралган ўйинга Гурвиц мезони кўлланилганда  параметрнинг шартни каноатлантирувчи ихтиёрий қийматида хам А₃ стратегия оптимал булишини куриш кийин эмас. Факат =0 бўлгандагина (ута оптимизм) хамма стратегиялар тенг ахамиятлидир.
Муаммоли масала ва топшириклар

1. 
   Табиат билан ўйиннинг умумий характерли белги ва хусусиятларини тахлил килинг.
   
2. 
   Ноаниклик вазиятида карор кабул килиш бўйича ўйин масаласига мисол келтиринг ва унинг математик моделини тузинг.
   
3. 
   Табиат ҳолатлари эҳтимоллари , , , бўлган куйидаги статистик ўйинда оптимал стратегияни аникланг:
   

Т А	Т1	Т2	Т3	Т4
А1	1	2	1	3
А2	4	2	3	0
А3	3	5	1	2

4. 
   3- топширикда берилган статистик ўйин учун табиат ҳолатлари эҳтимоллари номаълум бўлганда:
   

а) Лаплас принципига кўра;
б) камаювчи арифметик принципига кўра;
в) Валд мезонини кўллаб;
г) Севиж мезонини кўллаб;
д) бўлганда Гурвиц мезонини кўллаб
оптимал стратегияларни топинг.


Мустакил ишлаш учун саволлар

1. 
   Статистик уйинларда уйинчиларни (томонларни) ва уларнинг стратегияларини тавсифланг.
   
2. 
   Таваккаллар матрицаси кандай курилади?
   
3. 
   Табиат ҳолатлари эҳтимоллари маълум булганда оптимал стратегиялар кандай аникланади?
   
4. 
   Табиат ҳолатлари эҳтимолларини субъектив бахолашга асосланган мезонлар.
   
5. 
   Табиат ҳолатлари эҳтимоллари ноаник булганда оптимал стратегияни танлаш мезонлари.