9-Mavzu: Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

9-Mavzu: Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi 

 

1.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  ta’rifi.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning 

ta’rifi  uchun  zarur  bo‘lgan  ayrim  tushunchalarni  matematik  analiz  kursidan 

keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

. 

Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan 

















1

2

1

...

...

k

k

n

u

u

u

u

 

ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb, 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

 chekli sonlar esa 

qatorning  hadlari  deb  ataladi. 

n

n

u

u

u

s









...

2

1

  yig‘indiga  qatorning  xususiy 

yig‘indisi deyiladi. 

Agar  qatorning  xususiy  yig‘indilaridan  tuzilgan 

,...

,...,

,

2

1

n

s

s

s

  ketma-ketlik 

chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati 

yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi. 

Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda 

qator uzoqlashuvchi deyiladi. 

Yuqorida  keltirilgan  sonli  cheksiz  qator  tushunchasida  qatorning 

,...

,...,

,

2

1

n

u

u

u

  hadlari  sonlar  emas,  balki  qandaydir 

x

  o‘zgaruvchiga  bog‘liq  chekli 

qiymatlar qabul qiluvchi  

),...

(

),...,

(

,

)

(

2

1

x

u

x

u

x

u

n

 funksiyalardan iborat bo‘lsa, u holda 

bu funksiyalarning cheksiz yig‘indisini ifodalovchi 

















1

2

1

)

(

...

)

(

...

)

(

)

(

k

k

n

x

u

x

u

x

u

x

u

 

funksional qator tushunchasiga ega bo‘lamiz. 

Amaliy  masalalarni  hal  qilishda  funksional  qatorlar  sinfiga  tegishli  bo‘lgan 

darajali qatorlar muhim ahamiyatga ega. Darajali qator 



















1

2

2

1

0

...

...

k

k

k

n

n

x

a

x

a

x

a

x

a

a

 

ko‘rinishga  ega  bo‘lgan  funksional  qatordan  iboratdir,  bu  yerda 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

 

berilgan chekli o‘zgarmas koeffitsientlarni, 

x

 esa qator o‘zgaruvchisini ifodalaydi. 

Tushunarliki,  o‘zgaruvchisi  nolga  teng  bo‘lgan  har  qanday  darajali  qator 

yaqinlashuvchidir.  Odatda  darajali  qator  o‘zgaruvchining  ba’zi  qiymatlarida 

yaqinlashuvchi, boshqalarida esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo, shunday darajali 

qatorlar  borki,  ular  o‘zgaruvchi  qanday  qiymatga  ega  bo‘lishidan  qat’iy  nazar 

yaqinlashuvchi  yoki  o‘zgaruvchining  noldan  boshqa  barcha  qiymatlarida 

uzoqlashuvchi bo‘ladi. 

Kombinatorikada qator tushunchasi kombinatorik ob’yektlar tufayli vujudga 

kelgan  ketma-ketliklar  bilan  ishlash  uchun  kerakli  qurol  sifatida  qo‘llaniladi. 

Masalan,  agar  bo‘laklash  masalasi  qaralayotgan  bo‘lsa,  bunday  sonlar  ketma-

ketligining  elementlari  qilib 

n

  natural  sonni  qo‘shiluvchilar  yig‘indisi  sifatida 

bo‘laklashlar soni 

)

(n

R

ni olish mumkin. 

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

Agar  darajali  qator  vositasida  chekli  sonlarning 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  cheksiz 

ketma-ketligiga  haqiqiy  yoki  kompleks  o‘zgaruvchili  qandaydir  funksiya  mos 

qo‘yilishi  mumkin  bo‘lsa,  u  holda  ketma-ketliklar  ustida  bajariladigan  ba’zi 

amallarni ularga mos funksiyalar ustida bajarish imkoniyati paydo bo‘ladi. 

Darajali qator yig‘indisini ifodalovchi 









0

)

(

k

k

k

x

a

x

f

 

funksiya 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

 ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi deb ataladi. 

Bu  yerda 

)

(x

f

  funksiyani  aniqlovchi  qatorning  yaqinlashuvchi  bo‘lishi 

uchun 

x

  o‘zgaruvchining  haqiqiy  yoki  kompleks  qiymatli  bo‘lishi  muhim 

ahamiyatga ega emas. 

Matematik analiz kursidan ma’lumki, agar 









0

)

(

k

k

k

x

a

x

f

 darajali qator 

0



x

 

nuqtaning qandaydir atrofida yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda 

!

)

0

(

)

(

k

f

a

k

k



 (

,...

2

,

1

,

0



k

)  formula  o‘rinli  bo‘ladi,  bu  yerda 

)

0

(

)

(k

f

  ifoda 

)

(x

f

  funksiyadan  olingan 

k

- 

tartibli hosilasining 

0



x

 nuqtadagi qiymatidir. 

1-misol.  Hadlari  faqat  birlardan  iborat  bo‘lgan 

,...

1

,...,

1

,

1

  sonlar  ketma-

ketligining hosil qiluvchi funksiyasi 

x

x

f





1

1

)

(

 ko‘rinishga ega bo‘ladi. 

Haqiqatdan ham, 

,...

1

,...,

1

,

1

 sonlar ketma-ketligiga 

...

...

1

2











n

x

x

x

 

darajali qator mos keladi va bu darajali qatorning hadlari maxraji 

x

ga teng bo‘lgan 

,...

,...,

,

,

1

2

n

x

x

x

 

ko‘rinishdagi geometrik progressiyadan iboratdir. Elementar matematika kursidan 

ma’lumki,  bu  progressiya 

1

|

|



x

  bo‘lganda  cheksiz  kamayuvchi  geometrik 

progressiya bo‘ladi va uning barcha hadlari yig‘indisi 

x

x

x

x

n















1

1

...

...

1

2

 

formula bilan ifodalanadi.  

2-misol.  1-misoldagidek  mulohaza  yuritib  har  qanday  chekli 

a

  songa  mos 

keluvchi 

,...

,...,

,

,

1

2

n

a

a

a

  sonlar  ketma-ketligining  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

ax

x

f





1

1

)

(

 ko‘rinishda bo‘lishini aniqlash mumkin.  

2.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  oddiy  xossalari.  Hosil  qiluvchi 

funksiyalar  bir  qator  xossalarga  ega.  Biz  quyida  shunday  xossalardan  ba’zilarini 

oddiy  xossalar  sifatida  keltiramiz.  Ular  hosil  qiluvchi  funksiyalarni  tuzish  hamda 

ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi. 

1-xossa.  Agar 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

a

  va 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

b

b

b

b

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

b

  bo‘lsa,  u 

holda 

,...

,...,

,

,

2

2

1

1

0

0

n

n

b

a

b

a

b

a

b

a









 

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

f

b

a





 bo‘ladi. 

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

2-xossa.  Agar   

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

a

  va 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

b

b

b

b

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

b

  bo‘lsa,  u 

holda 

elementlari 









n

i

i

n

i

n

b

a

d

0

 

(

,...

2

,

1

,

0



n

) 

sonlardan  iborat  bo‘lgan 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

d

d

d

d

 ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 

)

(

)

(

)

(

x

f

x

f

x

f

b

a



 bo‘ladi. 

Ayrim  ketma-ketliklarning  hosil  qiluvchi  funksiyalarini  avvaldan  ma’lum 

bo‘lgan  hosil  qiluvchi  funksiyalarga  mos  darajali  qatorni  hadlab  differensiallash 

amali yordamida topish mumkin. 

3-m i s o l .  Ushbu 

,...

3

,

2

,

1

,

0

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

2

)

1

(

)

(

x

x

x

f





 bo‘ladi. 

Haqiqatdan  ham,  qaralayotgan  ketma-ketlikka 







0

k

k

kx

  ko‘rinishdagi  darajali 

qator  mos  keladi.  Darajali  qatorni  hadlab  differensiallash  amalini 







0

k

k

x

  qatorga 

qo‘llab  va 

1



x

  bo‘lgan  hol  uchun  o‘rinli 

x

x

k

k











1

1

0

  tenglikni  hisobga  olib, 

quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz: 

 



























0

0

1

0

k

k

k

k

k

k

x

dx

d

x

kx

x

kx

 

2

0

)

1

(

1

1

x

x

x

dx

d

x

x

dx

d

x

k

k





























.  

Umuman  olganda,  hosil  qiluvchi  funksiyalarni  tuzishda  darajali  qatorni 

hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi. 

3-xossa.  Agar 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

a

  bo‘lsa,  u  holda  elementlari 

1

)

1

(







n

n

a

n

b

  (

,...

2

,

1

,

0



n

)  sonlardan  iborat 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

b

b

b

b

 ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 

dx

x

df

x

f

a

b

)

(

)

(



 bo‘ladi. 

4-misol. 

,...

4

,

3

,

2

,

1

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasini  topish  talab 

etilsin. 

Hosil  qiluvchi  funksiya  ta’rifiga  ko‘ra  izlanayotgan  funksiya 









0

)

1

(

k

k

x

k

 

darajali  qatorning  yig‘indisidan  iboratdir.  1-xossaga  ko‘ra  qaralayotgan  ketma-

ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

,...

1

,...,

1

,

1

  va 

,...

3

,

2

,

1

,

0

  ketma-ketliklarning  hosil 

qiluvchi  funksiyalari  yig‘indisidan  iboratdir.  1-  va  3-misollar  natijalaridan 

foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz: 



























0

0

0

)

1

(

k

k

k

k

k

k

kx

x

x

k

2

2

2

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

1

1

x

x

x

x

x

x

x





















. 

Demak, 

,...

4

,

3

,

2

,

1

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyalasi 

2

)

1

(

1

)

(

x

x

f





 

bo‘ladi.  

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

3. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi 

funksiyaning  ta’rifi  va  xossalaridan  ko‘rinadiki,  ketma-ketliklar  bilan  bog‘liq 

bo‘lgan  xilma-xil  masalalarni  o‘rganish  va  ularni  hal  qilishda  bu  funksiyalardan 

foydalanish  mumkin.  Bu  o‘rinda,  ayniqsa,  kombinatorik  amallar  bilan  bog‘liq 

ketma-ketliklarning  hosil  qiluvchi  funksiyalari  alohida  qiziqish  o‘yg‘otishini 

ta’kidlaymiz.  Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  kombinatorikaga  tatbiqini  ko‘rsatish 

maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz. 

5-misol.  Berilgan  chekli,  butun  va  manfiymas 

s

  son  uchun  hadlari 















,

        

,

0

,

0

      

,

n

s

s

n

C

a

n

s

n

  formula  asosida  aniqlangan 

,...

,...,

,

,

2

1

0

n

a

a

a

a

  sonlar  ketma-

ketligi  berilgan  bo‘lsin,  bu  yerda 

)!

(

!

!

n

s

n

s

C

n

s





  –  binomial  koeffitsientlar.  Bu 

sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin. 

Nyuton binomi formulasiga ko‘ra 

s

s

n

n

n

s

n

n

n

x

x

C

x

a

)

1

(

0

0

















 

munosabat  o‘rinli  bo‘ladi.  Demak,  berilgan  butun 

0



s

  son  uchun 

,...

0

,...,

0

,

0

,

,...,

,

,

2

1

0

s

s

s

s

s

C

C

C

C

  ko‘rinishdagi  sonlar  ketma-ketligining  hosil  qiluvchi 

funksiyasi 

s

x

x

f

)

1

(

)

(





 ko‘rinishga egadir.  

Yuqorida, 

aniqrog‘i, 

ushbu 

bobning 

3- 

paragrafida 

binomial 

koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan 

yana birini ifodalaydi. 

1-teorema.  Ixtiyoriy  natural 

m

, 

n

  va 

n

m

k





  sonlar  uchun  quyidagi 

tenglik o‘rinlidir: 

k

m

n

n

k

m

k

i

i

k

m

i

n

C

C

C













)

,

min(

)

,

0

max(

. 

Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin 

0

0



u

 sonni qo‘yib, 

2

,

,

1

,

0

1

2

1

0















n

u

u

u

u

u

n

n

n

, 

ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) 

)

(x

u

 hosil 

qiluvchi funksiyani topamiz. 

Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz: 





































2

1

2

2

0

)

(

)

(

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

x

u

u

x

x

u

x

x

u

x

u

 











































0

0

2

2

1

2

2

p

p

p

s

s

s

k

k

k

k

k

k

x

u

x

x

u

x

x

x

u

x

u

x

 

)

(

)

(

2

x

xu

x

u

x

x







. 

Endi hosil bo‘lgan 

)

(

)

(

)

(

2

x

xu

x

u

x

x

x

u







 tenglikni 

)

(x

u

 funksiyaga nisbatan 

tenglama deb qarab, 

2

,

,

1

,

0

1

2

1

0















n

u

u

u

u

u

n

n

n

, 

ketma-ketlikning 

2

1

)

(

x

x

x

x

u







 hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz. 

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

2-teorema. 

Fibonachchi 

soni 

n

u

 

(

,...

2

,

1

,

0



n

) 

uchun 



























 













 



n

n

n

u

2

5

1

2

5

1

5

1

 tenglik o‘rinlidir. 

Endi  qo‘shiluvchilar  tartibi  e’tiborga  olinmagan  holda  natural 

n

  sonning 

natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan 

),...

(

),...,

3

(

),

2

(

),

1

(

),

0

(

n

R

R

R

R

R

 

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan 

...

12

7

5

3

2

1

)

(

)

(

6

5

4

3

2

0

























x

x

x

x

x

x

x

n

R

x

r

n

n

 

darajali qatorni qaraymiz. 

L.  Eyler 

)

1

)...(

1

)(

1

)(

1

(

3

2

n

x

x

x

x









  ko‘rinishdagi  ko‘paytmalarni  natural 

n

 

uchun tekshirib,  













































1

2

3

2

3

1

2

2

)

1

(

1

)

1

(

)

(

m

m

m

m

m

m

n

n

x

x

x

x



 

formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi. 

3-teorema. 

1

)

(

)

(



x

r

x



. 

 

Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlar 

 

1.  Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini toping: 

a) 

...

,

4

3

,

3

2

,

2

1







;   

b) 

,...

4

,

3

,

2

,

1

2

2

2

2

;  

 

d) 

...

,

16

1

,

9

1

,

4

1

,

1

; 

e) 

...

,

0

,

1

,

0

,

1

,

0

,

1

;    

f) 

...

,

4

1

,

3

1

,

2

1

,

1

;  

 

g) 

...

,

!

5

1

,

0

,

!

3

1

,

0

,

1



. 

2. 

Har  qanday  chekli 

a

  songa  mos  keluvchi 

,...

,...,

,

,

1

2

n

a

a

a

  va 

,...

1

,...,

1

,

1

  ketma-

ketliklarning  hosil  qiluvchi  funksiyalardan  foydalanib 

,...

1

,...,

1

,

1

,

0

2







n

a

a

a

 

ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini toping. 

3. 

,...

,

,

,

3

2

1

0

a

a

a

a

  ketma-ketlikning  hosil  qiluvchi  funksiyasi 

)

(x

f

  bo‘lsin. 

Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarni aniqlang: 

a) 

,...

,

,

3

2

2

1

1

0

a

a

a

a

a

a







;   

b) 

,...

,

,

2

1

0

1

0

0

a

a

a

a

a

a







; 

d) 

,...

,

,

,

6

4

2

0

a

a

a

a

;    

e) 

,...

,

,

,

3

3

2

2

1

0

b

a

b

a

b

a

a

, 

b

 – ixtiyoriy chekli son. 

4. 

Hosil  qiluvchi  funksiyalarning  oddiy  xossalarini  qo‘llab  bir  necha  sonlar 

ketma-ketliklarining hosil qiluvchi funksiyalarini toping. 

5. 

Quyidagi  rekurrent  formulalar  bilan  berilgan  ketma-ketliklarning  hosil 

qiluvchi  funksiyalarini  va  ketma-ketliklar  elementlarining  aniq  ifodalarini 

toping: 

a) 

n

n

n

a

a

a

4

4

1

2









, 

1

1

0





a

a

; 

b) 

n

n

n

n

a

a

a

a















1

2

3

3

3

, 

1

0



a

, 

0

2

1





a

a

; 

d) 

n

n

n

a

a

a

2

1

2

3

2

3











, 

0

0



a

, 

1

1



a

, 

2

2



a

. 

 

 

Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi

 

6. 

Bine formulasidan foydalanib Fibonachchi qatoridagi o‘n ikkinchi elementni 

aniqlang. 

7. 

Fibonachchi  sonlarining  (qar.  4-  paragrafda  keltirilgan)  4.1-,  4.2-,  4.3-  va 

4.5-xossalarini 

1

2

1

0

,

1

,

0













n

n

n

u

u

u

u

u

  (

2



n

)  ketma-ketlikining  hosil 

qiluvchi funksiyasidan foydalangan holda isbotlang. 

8. 

Isbotlang: a) 

627

)

20

(



R

;  

b) 

792

)

21

(



R

; 

 d) 

1002

)

22

(



R

.