9-Mavzu: Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi
Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari
Download 32.39 Kb.
|
9-Mavzu Hosil qiluvchi funksiyalar va ularning tatbiqi Hosil qi (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- 3-m i s o l .
- Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi.
- Eyler ayniyati
Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalari. Hosil qiluvchi funksiyalar bir qator xossalarga ega. Biz quyida shunday xossalardan ba’zilarini oddiy xossalar sifatida keltiramiz. Ular hosil qiluvchi funksiyalarni tuzish hamda ulardan amaliy masalalarni hal etishda ko‘mak berishadi.
fa (x) va holda b0 ,b1,b2 ,...,bn ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi a0 b0 , a1 b1, a2 b2 ,..., an bn ,... fb (x) bo‘lsa, u xossa. Agar a0 , a1, a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi fa (x) va b0 ,b1,b2 ,...,bn ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi n fb (x) bo‘lsa, u d0 , d1, d2 ,...,dn ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) fa (x) fb (x) bo‘ladi. Ayrim ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini avvaldan ma’lum bo‘lgan hosil qiluvchi funksiyalarga mos darajali qatorni hadlab differensiallash amali yordamida topish mumkin. 3-m i s o l . Ushbu 0,1,2,3,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) x (1 x)2 bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, qaralayotgan ketma-ketlikka kxk k 0 ko‘rinishdagi darajali
qator mos keladi. Darajali qatorni hadlab differensiallash amalini xk k 0 qatorga
quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz: kxk xkxk 1 x d xk k 0 k 0 x d xk x d
dx 2 k 0 dx 1 x (1 x) Umuman olganda, hosil qiluvchi funksiyalarni tuzishda darajali qatorni hadlab differensiallash amalidan foydalanish quyidagi xossaga tayanadi. xossa. Agar a0 , a1, a2 ,..., an ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi fa (x) bo‘lsa, u holda elementlari bn (n 1)an1 ( n 0,1,2,... ) sonlardan iborat b ,b ,b ,...,b ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) dfa (x) bo‘ladi. 0 1 2 n b dx misol. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin. Hosil qiluvchi funksiya ta’rifiga ko‘ra izlanayotgan funksiya (1 k)xk k 0 darajali qatorning yig‘indisidan iboratdir. 1-xossaga ko‘ra qaralayotgan ketma- ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi 1,1,...,1,... va 0,1,2,3,... ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari yig‘indisidan iboratdir. 1- va 3-misollar natijalaridan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘lamiz: (1 k)xk xk kxk 1 x 1 x x 1 . k 0 k 0 k 0 1 x (1 x)2 (1 x)2 (1 x)2
Demak, bo‘ladi. 1,2,3,4,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyalasi f (x) 1
(1 x)2 Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqi. Hosil qiluvchi funksiyaning ta’rifi va xossalaridan ko‘rinadiki, ketma-ketliklar bilan bog‘liq bo‘lgan xilma-xil masalalarni o‘rganish va ularni hal qilishda bu funksiyalardan foydalanish mumkin. Bu o‘rinda, ayniqsa, kombinatorik amallar bilan bog‘liq ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalari alohida qiziqish o‘yg‘otishini ta’kidlaymiz. Hosil qiluvchi funksiyalarning kombinatorikaga tatbiqini ko‘rsatish maqsadida, avvalo, quiydagi misolni qaraymiz. misol. Berilgan chekli, butun va manfiymas s son uchun hadlari Cn , 0 n s, a s formula asosida aniqlangan a , a , a ,..., a ,... sonlar ketma- 0, s n, 0 1 2 n ketligi berilgan bo‘lsin, bu yerda Cn s! n!(s n)! – binomial koeffitsientlar. Bu sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi funksiyasini topish talab etilsin. s Nyuton binomi formulasiga ko‘ra s
n n0 s n0 munosabat o‘rinli bo‘ladi. Demak, berilgan butun s 0 son uchun C0 , C1, C2 ,..., Cs ,0,0,...,0,... ko‘rinishdagi sonlar ketma-ketligining hosil qiluvchi s s s s funksiyasi f (x) (1 x)s ko‘rinishga egadir. Yuqorida, aniqrog‘i, ushbu bobning 3- paragrafida binomial koeffitsientlarning xossalari ko‘rilgan edi. Quyidagi teorema ularning xossalaridan yana birini ifodalaydi. 1-teorema. Ixtiyoriy natural m , n va tenglik o‘rinlidir: k m n sonlar uchun quyidagi min(k ,n) Ci Ck i Ck . n m i max(0,k m) n m Fibonachchi qatoridagi birinchi haddan oldin u0 0 sonni qo‘yib, u0 0, u1 1, un un2 un1, n 2 , ketma-ketlikning (umumlashgan Fibonachchi sonlari ketma-ketligining) qiluvchi funksiyani topamiz. u(x) hosil
Buning uchun, dastlab, quyidagi tengliklar ketma-ketligini yozamiz:
u(x) u xk x u xk x (u u )xk k k 0
k 2
k 2
x u xk u xk x x2 u xs xu xp k 2 k 2 k 1 k 2 s s 0 p p 0 x x2u(x) xu(x) . u0 0, u1 1, un un2 un1, n 2 , ketma-ketlikning u(x) x 1 x x2 hosil qiluvchi funksiyaga ega bo‘lamiz. teorema. Fibonachchi soni un ( n 0,1,2,... ) uchun 1 1 5 n 1 5 n un 5 2 2 tenglik o‘rinlidir. Endi qo‘shiluvchilar tartibi e’tiborga olinmagan holda natural n sonning natural qo‘shiluvchilarga bo‘laklanishlari sonlaridan tashkil topgan R(0), R(1), R(2), R(3),..., R(n),... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi hisoblangan r(x) R(n)xn 1 x 2x2 3x3 5x4 7x5 12x6 ... n0 darajali qatorni qaraymiz. L. Eyler uchun tekshirib, (1 x)(1 x2 )(1 x3 )...(1 xn ) ko‘rinishdagi ko‘paytmalarni natural n 3m2 m 3m2 m (x) (1 xn ) 1 (1)m x 2 x 2 n1 m1 formulani isbotlagan edi. Bu formula Eyler ayniyati deb ataladi. teorema. (x)r(x) 1. Mustaqil bajarish uchun muammoli masala va topshiriqlarQuyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini toping: a) 1 2, 2 3, 3 4, ...; b) 12 ,22 ,32 ,42 ,...; d) 1, 1 , 1 , 4 9
16 e) 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...; f) 1, 1 , 1 , 1 , ... ; g) 1, 0, 1 , 0, 1 , ... . 2 3 4 3! 5! ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalardan foydalanib ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasini toping. 0, a 1, a2 1,..., an 1,... 3. a0 , a1, a2 , a3 ,... ketma-ketlikning hosil qiluvchi funksiyasi f (x) bo‘lsin.
Quyidagi ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarni aniqlang: a) a0 a1, a1 a2 , a2 a3 ,... ; b) a0 , a0 a1, a0 a1 a2 ,... ; d) a , a , a , a ,...; e) a , a b, a b2, a b3,... , b – ixtiyoriy chekli son. 0 2 4 6 0 1 2 3 Hosil qiluvchi funksiyalarning oddiy xossalarini qo‘llab bir necha sonlar ketma-ketliklarining hosil qiluvchi funksiyalarini toping. Quyidagi rekurrent formulalar bilan berilgan ketma-ketliklarning hosil qiluvchi funksiyalarini va ketma-ketliklar elementlarining aniq ifodalarini toping: a) an2 4an1 4an , a0 a1 1; b) an3 3an2 3an1 an , a0 1, a1 a2 0 ; d) a 3 a 1 a , a 0 , a 1, a 2 .
n3 2 n2 2 n 0 1 2 Bine formulasidan foydalanib Fibonachchi qatoridagi o‘n ikkinchi elementni aniqlang. Fibonachchi sonlarining (qar. 4- paragrafda keltirilgan) 4.1-, 4.2-, 4.3- va 4.5-xossalarini u0 0, u1 1, un un2 un1 ( n 2 ) ketma-ketlikining hosil qiluvchi funksiyasidan foydalangan holda isbotlang. Isbotlang: a) R(20) 627 ; b) R(21) 792 ; d) R(22) 1002 . Download 32.39 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling