A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


.jc, ]  kesm ada qaraymiz.  f(x)


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet11/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   39

0
.jc, ]  kesm ada qaraymiz. 
f(x) 
funksiya  [x
0
,.y,]  kesm ada ch egaralan m agan ligi  uchun,  ixtiyoriy  oldindan 
berilgan 
M>
 
0
  son  uchun,  bu  kesm adan  shunday  f,  nuqta topiladiki,  bu 
nuqtada  |/(г, )| 
boMadi.  Bundan, 
\f(£,\&xl >\dl,\ +M
  boMadi.
Дх,
Shuning uchun,  v/> = {rt j;,, l  boMinishga  mos  kelgan  integral yigMndi,
K ( / , !# ,.})|= 
= |
/ f e + £ » ( / ) |^ )/(■?, )| л*,  -|
o
- , .( / ) | >
m
tengsizlikni  qanoatlantiradi.
lim
Mn
  = 
+00
  boMgan 
{Mn}
  sonlar  k e tm a-k etlig in i,  ham da 
[a,b]
kesm aning  diametrlari 
d„ip)^>
 
0
  boMgan 
p„ p
2
,...,pn...
  boMinishlari  k e t m a -  
ketligini  q araylik.  Bu  boMinishlarga  mos  va  |cr"(/)(> A/„  shartni 
qanoatlantiruvchi 
\a"(f)]
 
integral  yigM ndilar  ketma-ketligini  ham 
qaraym iz.  Bu  integral  yigMndilar  ketm a-ketligi  uzoqlashuvchi  boMadi, 
y a ’ ni 
f(x)
  fun ksiya 
[a,b]
  k esm ad a  integrallanuvchi  boMmaydi.  Shunday 
qilib,  yuqoridagi  ta ’ r if   va  6.2  -  6.4-  m isollardan,  q uyidagi  xulosani 
chiqarish  mumkin.
A g ar 
f{x)
  funksiya  [я ,
6
] da  integrallanuvchi  boMsa,  u  holda,  u  shu 
kesm ada  chegaralangan  boMadi.  Bu  tasdiqning  teskarisi  o'rinli  emas 
(6.2-  m isolga  qarang),  y a ’ ni 
f(x)
  fun ksiyanin g  integrallanuvchi  boMishi 
uchun,  uning  chegaralanganligi 
zaruriy  shart
  boMib,  lekin 
etarli  short 
boMa olm as ekan.
8 0

Aniq 
integralni, 
ta ’ rif  bo 'yich a, 
y a ’ ni 
integralni 
integral 
yig 'in d in in g   limiti  sifatida qarab.  hisoblashga doir misollar keltiramiz:
n
6 . 5 -m isol.  Ushbu  JcoscZv  integralni  ta ’r i f  b o 'yich a hisoblang.
0
Y e ch ilis h i. 
[
0
;^] 
kesm aning  regular 
P
 
bo'linishini,  y a ’ ni
P = \x
0
 = 
0

x,
 =—....
,x„
 = -}  bo'linishni  qaraymiz.  U  holda, 
&xk
  =xt+, 
-x k=^-
2n 
" 
2 J 
2n
bo'ladi. 
4
t
  nuqta  sifatida, 
kesmaning  o 'n g   chetki  nuqtasini
olamiz,  y a ’ ni  & = **„.  Funksiyaning 
%K
  nuqtalardagi  qiymatlarini
hisoblaymiz:
/Of,,) = cos;,, = cos ^-,...,/(£.) = cos 
4
  = 
/(£..,) = cosf„_,  = 
0
2/7 
2/7
Endi  cosx  funksiyaning  [0;^]  kesma  uchun  integral  yig'in d is in i 
tuzib,  uning 
n
 ->oo  da  limitini  hisoblaym iz:

,,(/ )= ст р
 (cos x) = 
/Oft 
= X cos 
=
k= 0 
v=0
.  Л-  .  (w-l)ff

Л 
я--sin—sin---------
n  t 
71 
2
tt
 
\n-\)71л
 

4/7 
= — [c o s ----+ COS —  + ... + c o s — -------] = ------------------------------ ,
2” 
2" 
2" 
4" 
2/i  sin —
4/1

7Г  .  (n-\)x 

  S in —  Sin -----------
limcr  (/)= lim------ ------ —— .
Л-MO 
/l-»oc 
71
2/7  sin —
n
Bunda,  lim2/i  sin— = -,sin,r  ning  uzluksizligini  e ’tiborga  olsak,  u 
И-КО 
4/7 
2
holda.
fcoscir = liirkj  (
cos
.
t

J  
it-*  a:  F
• 
2  ^  
Л’ -sin  — 
4
=  
1
.

о 

2
6
.
6
. -misol.  Ushbu
b
|дс"‘Л  
(О < a < ft),  /Н * - I
integralni  ta’ rif b o 'yich a hisoblang.
Y e ch ilish i.  [
a,b
]  kesm aning  regular  bo'lm agan  bo'linishini,  y a ’ ni
r
 
J  t „   =   a   <   .V,  <   ,V2  < . . . <   X „  =  
b
 
б у н д а   . t t  
=aq\  q =
 
bo'linishni 
qaraymiz.
81

£t
  nuqta sifatida,  [**,**»,]  kesmaning chap  chetki  nuqtasini  olamiz,  y a ’ni 
£t = x ,.
 U holda,  integral yig ‘ indining ko‘rinishi quyidagicha boMadi:
= ffp(x") = 
= £#"(**♦, -**) =
t-o
/с(ж-И)
A
=0
 
km
O
Bundan,  geometrik  progressiya  hadlari  yigMndisi  formulasini 
hisobga olgan holda,
(T  (*»  =_______ ^
____
A  > 
q
"*1 - 1
munosabatni  hosil qilamiz,  bunda  л-»ос  da  <7 = »p-> i  va  iim -U-^'  "■■=//
V a 
Я
formularti  e’tiborga olsak,
} 4  = lim 
»-**  v  ;  v 
*-»> 
9
 
- i  
m+i
m = -
1  boMgan holda,
—  
1
boMadi.  Buyerda  lim—— =l
na
  formulani e ’tiborga olsak,  u holda,
A-*G 
д
f —  = linw  (f) = lim o > (—1 = lim 
i\
 
-  l l  = In 
b -
 In 
a
 
j
  x
 
i
ekanligi kelib chiqadi.
i
6.7-misol.  Ushbu 
j e zdx
 
aniq  integralni ta’r i f bo‘yicha hisoblang.
0
Yechilishi. 
f ( x ) = e r
  funksiya  [
0
,
1
]  kesmada  aniqlangan.  [
0
;i] 
kesmaning
p  = {x0  = 0 <.r,  = i < „ . . < x t.  = - < . . . <  
x,
 
= -  = 1} 
regular 
boMinishini

it 
II
qaraymiz.
R avshanki,  [**;х*+1]  k esm an in g uzunligi,  Дхк = -. 
zk
  nuqta  sifatida,
П
kesmaning chap chetki  nuqtasini olamiz, v a ’ni 
ek  = Xt
  =-(/t = o , i ,
1
).
It
Endi shu 
p
  boMinishga mos kelgan  integral yigMndini tuzamiz:

\+e" +e" +... + e  "
  )• —.
82


iM 
i
l +e" 
+ ...+ e"
  yig ‘indi,  birinchi  hadi 
ba
 = l,  maxraji 
q = e n
  bo‘lgan 
geometrik progressiya 
n
  ta hadining yig ‘ indisidan iborat boMgani uchun,

н-1 
<
— 
e - l
l + e"+... + e"  =—;----.
e"
 
- 1
Shunday qilib,
Bundan,
e"
  - I
Uma>  e  ,{—} | = (e-l)hm—p— = e - l 
1
 
n  J
 
-
e"
 
- 1
Demak,
J  = j e xdx = e — l.
о
6.2. 
D arbu yig'indilari. 
Biz 
bundan 
keyin, 
hamma 
vaqt 
chegaralangan 
funksiyalami 
qaraymiz, 
chunki 
chegaralanmagan 
funksiya  Riman  ma’nosida  integrallanuvchi  emas 
(6 .4  
-   misolga 
qarang).
/(дг)  funksiya 
[a,b]
  kesmada  chegaralangan  boMsin.  f
a,b
] 
kesmaning  ixtiyoriy 
p
 

{a
 = 
x0 
x,  < 
< ... < x„  = 
ь}
 
boMinishini  qaraymiz. 
/(
x)
  funksiya 
[a,b]
 
kesmada  chegaralangan  boMgani  uchun,  u  v [ ^ 1;xt ] 
kesmada  ham  chegaralangan  boMadi.  /(
x)
  funksiyaning 
kesmadagi. 
mk
 
aniq  quyi, 
Mk
 
aniq  yuqori 
chegaralari,  y a ’ni 
mk =
  inf 
f{x\  Mk
  =  sup 
f{x)
 
mavjud  boMadi  va 
e [ * t_
1
(xt ] 
uchun
mk 
<
 /(c,.) < 
Mk
 
tengsizliklar o‘rinli.
6.4-ta’ rif. Ushbu
SP{f) = Ml&xl +U2&x1 +... + M„&x„  =YiMtbxk
 
(6 .3 )
k=l
*,
 = /н,ДХ| 
+ m 2Ax2  + .... + m tlAxlt  = ^ m kAxk
 
(6 .4 )
t-i
yigMndilar,  mos  ravishda, 
f i x )
 
funksiyaning,  berilgan 
p
 = {x( 
boMinishga mos kelgan
quyi va y u q o ri D arbu  yig'in dilari
 deyiladi. 
Darbu yigMndilari quyidagi xossalarga ega:
1-xossa.  Darbuning  har  qanday 
(6 .4 ) 
quyi  yigMndisi,  Darbuning 
(6 .3 ) 
yuqori yigMndisidan oshmaydi: 
sP(f)< s r,(f).
83

2-xossa. 
\/£k  (хк <£к<хкЛ)
  nuqtani  tanlashga  bogMiq  boMmagan 
holda,  Darbu yigMndilari  uchun, 
s r ( f ) < a , . ( f ) < s , . { f )  
tengsizliklar o'rinli.
3-x ossa.  Har qanday 
P
  boMinish uchun,
£,,(/) =  sup  *,,(/■{£„}),  •',.(/)=  
in f 

munosabatlar o 'rinli.
4-\ossa. 
Darbuning  (6.4)  quyi  yigMndilari  to'plam i  yuqoridan 
chegaralangan, 
(6.3) 
yuqori 
yigMndilari 
to'plam i 
esa, 
quyidan 
chegaralangan.
5-xossa.  A g a r 
P-\a.b]
 
kesm aning  ixtiyoriy  boMinishi  bo'lib, 
p' 
esa, 
P
  bo'lin ish n in g nuqtalariga chekli  sondagi  y a n g i  boMinish  nuqtalari 
q o'shishdan  hosil  boMgan  boMinish  bo'lsa.  u  holda,
s „ ( / ) < s r,.( f) ,  S p. ( f ) < S , . ( f )  
( 6 . 6 )
munosabatlar o'rinli  bo'ladi.
6 .4 - ta ’ rif. 
{sr (j)}
 
to 'p la m n in g  aniq  yuqori  chegarasi, 
f(x) 
tunksiyadan 
[a,b]
 
kesm a  b o 'y ic h a   olingan  Darbuning 
quyi  integrali
 
deb 
ataladi  v a  u,
b
sup{ir (/)} = / = J 
f { x )d x
kabi  belgilanadi.
6.4/- t a ’ rif. 
{SP(/)l 
to'plam ning  aniq 
quyi 
chegarasi, 
f{x) 
funksiyadan 
[a.b]
 
kesm a  b o 'y ic h a   olingan  Darbuning 
yuqori  integrali 
deb ataladi  va  u,
b
in f{5P( / ) ! = 7  = j/(.x> fe
kabi  belgilanadi.
6
-xossa.  Darbuning quyi  integrali,  uning yuqori  integralidan katta 
b o 'la olm aydi, y a ’ ni
J < J .
6 .5 -ta ’ rif.  A g ar 
f(x)
 
funksiyaning 
[a.b}
 
kesm adagi  q uyi  va  yuqori 
Darbu  integrallari  bir  -   b iriga  teng  bo'lsa,  u  holda  /(.r)  fu n ksiya 
[a.b] 
kesmada 
Darbu  m a’nosida  integrallanuvchi
 
deyiladi  v a  ularning 
um um iy  qiym ati
1  

1
 = J ,
f(x)
 
funksiyaning 
[a,b]
 
kesm adagi  aniq  integrali  (Darbu  m a ’ nosida) 
deyiladi  v a  u
J  = \ f{ x )d x
84

kabi  b e lg ila n a d i.
A g a r  
J * J
  b o 'ls a ,  u  hold a, 
/(дг)  f u n k s iy a   [ a ,6]  k e s m a d a  
in t e g r a lla n u v c h i e m a s
  d e y ila d i.
6.3 
-v a  
6.5  - 
t a ’ riflar,  o ‘ zaro  ten g  ku c h li  t a ’ riflardir.
6
.
8
-m isol. 
/(.v)=.v3  f u n k s iy a   uchun,  [-2:3] 
k e s m a d a ,  ix tiy o r iy  
re g u la r  
P
  b o 'lin is h g a   mos  k e lg a n .  q u y i  v a   y u q o ri  D arbu  y i g 'i n d i l a r i  
tuzilsin .
Y c ch ilish i. 
(—
2,3] 
k e s m a n in g   ushbu
P
 = {дг,,  = 
-2 
< .x,  = 
-2 + 
-  < 
.V, 
= -2 
+ —  <... < 
xK = -2
 + —  < ... < 
x„
  = 
3)  r e g u ly a r
bo'linishini 
qaraymiz, 
bunda 
kesmaning 
uzunligi
y ig 'in d ila rin i  tuzamiz.
Berilgan  funksiya 
(-2:31 
kesmada  o'suvchi  b o 'lgan ligi  uchun.  u 
o 'zin in g   aniq  quyi  va  aniq  yuqori  chegarasiga,  mos  ravishda,  kesmaning 
chap v a o 'n g  chetki  nuqtalarida erishadi, y a ’ ni
П
П
n
(* = !,«) 
x
k. = - 2
 + — .  (6.3)  va  (6.4)  formulalarga  asosan,  Darbu
П
Shunday  qilib,
Endi,  Darbu yig 'in d ila rin i  hisoblaymiz:
M a ’ lumki,
Bu  formulalarni  e ’ tiborga olib, oxirgi  tenglikdan,
bo'lishini  olamiz. 
Xuddi  shunday,
ifoda topiladi.
85

6.9-misoI.  / W =
2
x , * e [
0
,i],/» = |
0
, I i I | . i }   v a  £ =-L,£ = JL, 
s
£t
 = 
= - b o 'ls in .   U  holda: 

4
« )   Лдг,.Д.т,,  A.T3,  Адг4.  Дх
5
 qiym atlar;
А)  |лР||=тах|Дх,|;
c) 
in,, m2, 
in,. ms
  qiym atlar;
d)
  /(#, )•  /(e)
  A/,,  A/2.  A/3,  A/4.  M s ,  q iym atlar 
/)*,,(/)  quyi  Darbu y i g 'in d is i;
s) s"(/)  Rim an y ig 'in d is i;
«) 
s,.(f)
  yuqori  Darbu y i g 'i n d is i  topilsin va
(/) 
s,.(f)
  munosabatning bajarilishi  ko'rsatilsin.
Y e ch ilis h i.  B erilgan 
f(x)=
2
x
  funksiya.  [
0
; l]  kesm ada 
uzluksiz,
o 'suvchi  funksivadan  iborat.
0
; l]  kesm a 
P
  bo'linish y o rd a m id a,5  ta.
Го I]
1
  Г
1
  Г
1
  3
8
8
 
4

2

4
- j
4
qism  kesm alarga  bo'lingan.
a) 
qism  kesm alarning uzunliklarini  hisoblaym iz:
Ддг.  x,  -  x„
1
  n 
1
 
Л 
1 1 1
■— 0 = - ;  
Д х , = х , - х . = -------=
8
 
8
 

8
 
8
ч 
1
 
1
 
1
  л 
3
 
1
 
1
 
л  
,  

1
Ax,  = x ,-.\ ,  = 
Дх  = x4 - x , = -------= - ;   Дг,  = 1 -  -  = -  .
2 4 4  
4 2   4 
4 4
Demak,
Дх. = —,  Дх, = —;  дх, = Дх. = Дх, = —  ekan.
8
 

8
 
’ 

5
  4
Ь) 
||Я,>|| = г
• ? г
1
с)  т,
  = / (
0)=0; 
пи
 =/|  -

^ =/U J = h 
m>=f W
 

  =
  2 - f   =   J ;   / f c )  =   2 . |   =  | .
M< = f   -  
= - ;  л/, =/(!) = 
2
.
86

/ ) 
sr ( f) = m
I
+ ‘":A
x
2
 + ш3Д, + /и4Лх4 + /»,Ax; =
„ 1 1 1 1 1 , 1 3   1 

1 1 3
— 0 ---1--- ---- 1-------- f-|---- 1------- —----- 1---- 1---- 1---
_
8 4 8 2 4  
4 2 4  
32 
8 4 8
J _  


1 + 8 + 16  _  25
~  32 + 4 +  2  ~ 
32  ~ ~  32
g)  S - ( / h f ( £ ,) \ x t + j ( c : )\x:
 + / (& )Д х,+ / (/ 4)Лх4 + /(& )Л*5 =
_  I  1 
3  1 
3  _l_+ 5^  J_  3  1  ___1_  _3_ + _ l  + _5_  3 = _9_ + 3 =  15 
~ 8 8  + 8 8  + 4 4  + 4 4  + 2 4 _ 64 + 64 + 1 6 + 16 + 8 ~ 1 6   8 
16 
It) S ,,{ f) = Л/,Дх,  + ;W,Ax:  + М,Дх, + M4/Sx4  + Л/5Дх5  =
_   1  1 1   1 
I + 3  I  + 2 I _ ± + 1
+  1  ,  3  ,  1 
1 + 2 + 8 + 12 + 16  _   39 
~ 4   S +  2  8  + 
4  + 2  4 ^ “ ’ 4 ”   32  4  Тб 


2  ~ 
32 
~ 3 2 '
/) 
s r i f )  
= — 

—.  ya’ni — < — < — . 
l J >   32 
V 
16 

'  32 

32 
16 
32
6
.
1 0
-niisol. 
f(x )=
2
x
  funksiya  uchun,  [
0
;i]  kesmada, 
p,
  = |o,^,i,i j>
va 
p,
 
boMinishlarga  mos  kelgan,  Darbu  y i g ‘ indilarini
1  I   1
1
8’ 4 ’ 2 ’ 3 ’ 
tu z in g  v a   ularni  solishtiring.
Y e c h ilis h i. 
1)  I\
 
boMinish,[0,i]  k e s m a n i, 
[o;—]
,
[-,i]  (x0 =°; 
T4
  =0

4  2 
2
qism   k e s n m la rg a   boMadi. 
f ( x ) =  
2
,v 
f u n k s iy a ,  [0;l]  k e s m a d a   u z lu k s iz   va 
o ‘ suvchi 
boMgani 
uchun, 
k e s m a la r n in g   chap  chetki 
nuq talarid a 
in,
 (/ = 1,2.3)  m in im a l  q iy m a t la r ig a ,  o ‘ n g   chetki  n u q talarid a  Л/,(/ = 1,2.3) 
m a k s im a l  q iy m a t la r ig a  e rish a d i,  y a ’ ni
Л/, = / [^ j 
= 2
 { j )  =  i  =
 
и '-
 = / (I )  = 
2
7  =,: AY’ " 
/(1
 ) = 2-| = 2:
»«,  =   / ( 0 )  =   2 - 0   =   0; 
=   / ( i j  =   2 . 1   =   i ;  
щ
  =  / ( I )  =   2 - 1  =   1.
Ax, (i
 = 1;2;3) -  q ism   k e s m a la r n in g  u z u n lik la rin i  topam iz: 
i , i ,  
i l l  
, i i

= *• -  x“ = 
4
 
4 ’ 
:  = 2 ~ 4 = 4 ’ 
’ 
2  = 2  '
U  holda,  (6.3) va  (6.4) 
fo rm u la la rg a  asosan.
S., 
(
f )
 = 

Ax, 

M.Ax.
 + 
W-Ax, 

-  ■
 -
 + 

• 
-  +
 

— = —
.
, i  


> > 2 4  
4
 
2
 
S
1 1 1 , 1 5
.S\, I I 
»
h
»,A.
v
. +
и
»,Л
х
,  -  0 — t -----+1 — = --.
' ‘  - 
1 1
 
‘ 

’ 

2  4 

8
2

p,
 

Jc 
-  -
,
-
, 2 J 
!■
 
boMinish,  [0;ij  k e s m a n i,
‘ 
1. 
8
  4 
2
  з  J
1 1 1
 
I I  

1
 
2
87

qism   k esm alarga  boMadi. 
f( x ) = 2 x
  fun ksiya,  kesm alarn in g  oMig  chetki 
n uqtalarida,  Л/,-(/' = 
1
,
5
)  m aksim al  q iym atlarn i,  chap  chetki  n uqtalarida 
esa,  w
, (1
 = 
1
,
5
)  m inim al  q iym atlarn i  qabul  q ilad i, y a ’ni
” , =/W - 0; 
"*
Лл,(r = 
1
^
5
).  qism  kesm alarning uzunliklari:
Ax.  - - -;  Дх- 
=
 
Дг, = —;  Дх, = —;  Дх, = —.









3
U  holda,  (6.3) va (6.4) form ulalarga asosan,
S/i (/) = 
+ М,Дх
2
 + Л/
3
Дх, + М
4
Дх
4
 + М
5
Дг
5
 =
7
' “ + v |  +
4  o 
Z
  о
, 1  
4  1 
. 1  
355
+ 1 • — -f — • — ь 2 • — —-----,

3  6 

288

1
 
1
 
1 1
  . 
1
 
4 1
 
221
Sr.  = m.Ax,  + nu Ax, + nu Ax, + in,Ax, + ms Ax,  = 0 --------1------- + 1 -----\------ = ------
ъ 
Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling