A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


J b ilan   c h e g a r a la n g a n  sohaning yu zin i toping. Y e c h ilish i


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet17/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   39
<5>
J
b ilan   c h e g a r a la n g a n  sohaning yu zin i toping.
Y e c h ilish i. 
S ik lo id an in g   b ir  arkasi, 
t
  ning,  0  dan 
in
  gach a 
o 'z g a r is h i  n a t ija s id a   c h izilad i,  chunki  у(0) = у(2я-)=0, 
t
  ning  qolgan 
q iy m a t la r id a ,  _у>о,*(о)=о  v a 
x{lx)=
2
m .
S h u n d a y   q ilib ,  izlan ayo tgan  sohaning yu zi,

xu
S
 =  J
ydx 
0
fo rm u la   o r q a li   topiladi.  Bunda,  * = a(r-sin(),,v = a(i-cosr),e k a n lig in i  e ’ tib o rg a   olsak,  u  holda  (*,  [0;2
na\
  oraliqda  o 'zgarg an d a, 
i,
  [
0
;
2
я-]  o r a li q d a  o ‘ zgaradi),

я
 

я
S  
= a 
j ( l  - c o s f )   o(l 
-  
cos t)dt
 = 

:
  | ( l- c o s ( )  
rf( = 
irra :
 (kv.  bir.).
о 
0
D e m a k ,  izlan ayo tgan   yu za,  radiusi 
a
  g a  teng  boMgan  doira 
y u z in in g   u c h la n g a n ig a  teng ekan ( 9 .1 9 -  chizm a).
S = )&)*{№ 
(9.4)
[
\ 2/Э 
,   s 2l ]
4   + l j j   =1  egri  chiziq  bilan  chegaralangan
soh an in g y u z in i  toping.
131

Yechilishi.  Ravshanki,  egri  chiziq 
Ox
sim m etrik  (9 .2 0 -  ch izm a)  boMadi.  Shuning  ueh 
У
  °   q larg a  ms  atan 
uchburchakning  yu z in i  topib,  uni  4  ga  ко1^
’- Sgr'  c ll' z ' c'*’ 
OAB 
sohaning y u z i to p ilgan   boMadi. 
aytirsak,  izlan ayo tgan
Egri  ch iziq n in g  ten g lam asin i,  param etrik,
.r = a s in J 
i, у  = bcos
3 1 
(o 

2
л)
 
sh ak ld a ta sv irla ym iz 
{^ц  ^
.r(o) = 
0
.  .r( —| = a.|
0
;—]  o raliq q a egri  ch iziqn in g 
ah
v 2 J 
2
 
мч 


0 / l e y o y it o ‘ gM -ikeladi.
Egri  c h iziq li 
SOAB
  uchburchakning yu z in i,  (9 .4 ) f o ^ ^  
h iso b laym iz: 
U  a 01
Sam
 =
(* )
Bu yu zan i  hisoblashni  soddalashtirish  maqsaH
-
a
 
boMaklab  in teg ra llaym iz : 
a ,d a ’  o x irg '  integralm

_  
2
 
*
So,„  = }y (‘ )x(‘ )dt
 = y ( r ) < o t  " Й О г = ' f  * ( ,y
(* ) bilan  (* * ) ni  q o 'sh am iz:
s o a i ,   =
 
(0 -
4 ? ) y ' ( t ) ] d t
*- 0
U nda,  (* * * )   fo rm ulaga asosan,

r.
(* * )
s oab
  = - } [ c o s 4 f s in : f + s i n V c o s 2 ( } * = 2 2 *   г 
,
2 o  
2
  J Sln  fcos 
‘ tdt =
0

к
ЪаЬ  }
  .  , 

3
ab
 
•>
= " y  J Sln' 
2,dl
 = “Г- ' J '  “ cos 4')*  = ^ 2 *
Sh un day  q ilib ,  izlan ayo tgan   so haning y u z i,

mb
 
3
 
m b
32
32 


9.3. 
T en g lam asi  q u tb   k o o rd in a ta la r  siste m a 
chiziq  b ilan   c h e g a ra la n g a n  
Sl  a  b e rilg a n   eg ri
so h an in g y u z in i  hisoblash .
F araz q ila y lik , 
r = r(

 
fun ksiya 
[a:/?]  o raliq d a an iq lan gan  
(о < 
p - a
 < 
2л),
  u zlu k siz va 
V(3 e 
[a,p]
  d a  /■(?»)> о  boMsin.  U 
holda, 


r{(p)
 
fu n k siyan in g 
g ra fig i  ham da 
OA
 
v a 
OB
 
radius
132

vektorlar bilan ch egaralan gan  soha -  egri  ch iziq li  sektom i  q araym iz 
(9 .2 1 - chizm a).
Q aralayotgan  sektorning yu zi,
S  =  ^ \ r 2((p)d

form ula bo‘ y ic h a hisoblanadi.
9.7-m isol. 
Ushbu  r = asin3<»,  a >
0
,  egri  chiziq  bilan  chegaralangan 
sohaning yu zin i  toping.
Y ech ilish i. 
B erilgan  egri  chiziq,  har  biri  egri  ch iziq li  sektordan 
iborat  boMgan  sohani  (9.22-ch izm a)  ch eg aralayd i.  U lardan  birinchisini,
y a ’ ni 
(s,) = j(rp):0
j  sektorni  q araym iz,  uning  yu zi, 
(9 .6 ) form ula yordam ida  hisoblanadi:
к
S.
  = — 

a 2
 sin 2 3


 =

^
 
12
Shunday  q ilib ,  izian ayo tgan   sohaning  yu zi, 
s
 = —  
я а 2  = ~ -
  (kv.
bir.)
9.22-chizm a. 
9.23-chizm a.
9.8-m isoI. 
Ushbu 
x3+/=3axy  egri  chiziq  bilan  chegaralangan 
sohaning yu zin i  hisoblang.
Y echilish i. 
B erilgan   egri  chiziqning  qutb  koordinatalar  sistem a- 
sidagi 
tenglam asi 
q u yid ag ich a  boMadi: 
/>(sinV + c o s V )= 3 a c o s ? > s in p . 
Bundan,
3acospsin
sin 1 p  + cos3 


[0;y]  oraliqn in g  ichida,  ten glikn in g o ‘ ng tomoni  musbat,  oraliqning 
chetki  nuqtalarida,  y a ’ ni 


  va  «5 = - da 
p =
 0  boMadi.  U  holda, 
0<

y
133

segm ent h alq ag a ak slan tirila d i (9 .2 3 - chizm a). 
H alqaning 
y u z in i, 
ushbu
S  = ^ ] p 2df>
^
 0
form ula b o 'y ic h a  h iso b laym iz:
I f , ,  
9
a 2  }
  cos2 « s i n 2 
tp 
,
S = - \ p - d V = — \  v  
*  
*   dp .
1 a 
1
  о (sin 


 + 
COS' 
tpj
|  cos  p sin  


 
an iq m as  integrald a, 
:  = 
ig

 
alm ash tirish n i olib,
( s i n p  + cos' 


uning b o sh lan g'ich   fu n ksiyasin i  topam iz:
г  co s2 (3sin 2 p  
_   f 
tg'cp 
dtp 
(sin5 


 + co s’ 


 
(l 
+ tg!



:2±  
=
 

. i f -  
- c o s >
(l + r 3): 
3(l -t- - 3) 
3 (s in V  + cos5 


Bundan,
о 
з
„ 
9a -
 
cos 
tp
= “ Г '1—
1

3
-------- 3~V
3lsm   p  + cos 


я
1  _3£! 
2
0
M u sta q il yech ish   uchu n  m iso llar
Q u yid agi  ch iziq lar b ilan  ch egaralan gan   sohaning y u z in i  toping:
9 .1. 
y  = x , y  = 2 - x 2. 
9.2. (y -x
)2
 =x3,  x = l.  9 .3 .y
2
 
= ax, x 2  = ay.
9.4. 
v = 6 x - x 2 - 7 ,   y  = x - 3. 
9 .5 .
у  = 
sin
X, у  = 
0

0
<х<я\
9 .6 .у = x
2
 +
1

x + y  =
 
3. 
9 .7 .у
2
 = 
2x +
1
, x - y
- 1
 = 
0
.  9 .8 .у = 
2
- x 1, 
у
2
 = x3.
9.9. v 
= —

у  

0

x = a, x = h, a > b > 
0

9.10. v 
e~x,  x = 
0
,  v 

0

x = 
a.
x
Q u yid agi  ch iziq lar bilan  ch egaralan gan  sohaning y u zin i  toping:
9 .11. у = x - ^ ,y  = cosx, x = 
0

9.12. V = sinx,  v = cosx, 
0
 < 
x < —  .

4
9 .1 3 .у = 
2
*. у = 
2
, x = 
0
.
9 .1 4 .y  = (x + l)J, x = sin
m ,y  

0
 (
0

9 . 1 5 .
ч-i — 

1

9.16. v = 
a ’ , у
 = 
a. x =
 
0

a 

1  .
a~ 
b
9.17 .
 
у 
-| lo g a 
x), у = 
0

x 
= 1 
ta , x 

a,  a 
> 1.
9.18 .
 
V = 
tgx,
 
у = jcosx, x = 
0

9.19. 
у  

—x
2, у  —
 x 2
  — 
2x — 4
134

9.2 0 -9 .2 6   m isollardagi  ch iz iq lar o rqali  berilgan sohani ch izin g. 
S o 'n g ra sohaning yu zin i: 
a)  x
  bo‘y ic h a  ; 
b) у
  b o 'y ic h a  integral 
sifatid a tasvirlang:
9.2 0  
y = x\ у = X+ 2  (x = J y ,x  =
 
у  -  
2).
9 .2 1 .у = x5, у = 
2x2
  |^x = 
ify\x = - j= f y S
j.
9.22. 
у  
= —Ух; 
у  
= x - 6 (x = 
у 2
, x = 
у  
+ б)
9.23. 
у  
= |х|, 
Зу 
-  х = 

(х = 
у , у  
> 0, 
х
 = 
Зу 
-  
8).
9 .2 4 .х + 4 = 
у 2, 
х = 5
9.25. 
у  
= 2х, лг + 
у  

9,  у  
= х - l   |^х-- 
х = 9
- у ,  
х =
 y + lj
9 .2 6 .у  = х1П,  у = х: +Х-17.
9.27-  9.32 
m iso llarda  berilgan  ch iziq lar  bilan  ch egaralan gan  
sohani  ch izin g v a uning yu zin i  hisoblang.
9.27.  4x = 4y —y ! ,  4 x - y  = 0. 
9.28.  x = y \ x  = 3 -2 y 2
9.29. 
x+  v - v !  = 0,  x - v +   v 2  = 0 

9.30. 
v = cosx,  v = sec2 x,  x e [ ~ —
1.
.
.
.
 
1
 
4   ’  4
9.31. 
у  
= cosx, 
у  
= sin2x, 
x e [-it,я].
  9.32. 
у  
= sin4 xcosx, x e [0,я72].
9.33.  B erilgan  (
0
.
0
). (1,3),  (
3
,
1
)  nuqtalardan  o ‘ tuvchi  uchburchakning 
yu zin i,  integrallash  am alini  bajarib,  hisoblang.
9.34. 
U chlari. 
( -
2
,
2
),  (
1
.
1
), (
5
.
1
). (
7
,
2

nuqtalarda 
yotgan 
trap esiyan in g yu zin i,  integrallash  am alini  bajarib,  hisoblang.
9.35. 
у  =
 6 -  
x 2, у  = x(x <
 О) 
v a 
у  = -.т(л >о) 
ch iziq lar 
bilan 
chegaralangan  sohani  ch izin g va uning yu zin i  hisoblang.
9.36. у = x2  va 
y  =
 4  ch iziq lar  bilan  chegaralangan  sohani  chizing. 
Bu  soha, 
y  = c
  chiziq  orqali,  ikkita,  teng  yu z a li,  qism   sohalarga 
boMingan  bo‘ lsa, 
с
  ni  toping.
Q uyidagi  m isollarda,  q iym ati  b erilgan  sohaning  y u z ig a   teng 
boMgan,  integralni  yo zin g:
9.37  Soha, 
Ox
  o ‘ q. 
y  = ^3x
  to‘ g ‘ ri  chiziq v a 
x'  + y 7
 =4  a y la n a  bilan 
chegaralangan  boMib,  birinchi  chorakda yotadi.
9.38.  Soha,  л  .  •. 
4 \-a  (,v-
2
): +Cv-2); =4  aylan alarn in g   kesishishi 
n atijasida hosil  qilingan.
9.39.  To‘ g ‘ ri  to‘ rtburchakning  bir  uchi,  koordinatalar  boshida, 
qaram a-qarshi 
uchi 
e s a . ' 
y  = bx"
 
ch iziqn in g 
x = a
 
boMgan 
(a > 
0,6
 > 
0
,w > 
0
)  nuqtasida,  uning  tomonlari  esa,  koordinatalar  o ‘qlariga 
parallel.  U  holda,  to‘ g ‘ ri  toM tburchakning 
y = bx"
  chiziqdan  pastda
135

jo ylash gan   qism i  yu zin in g ,  to 'g 'r i  to'rtburchakning  toMa  y u z ig a   nisbati, 
faqat 
n
  g a   bogMiq  boMishini,  y a 'n i  nisbat 
a
  va 
b
  larg a  bogMiq 
boM m asligini  k o 'rsa tin g .
9 .4 0 -9 .4 9  
m iso llard a  b erilgan   ch iziq lar  bilan  ch egaralan gan  
sohaning yu zin i  hisoblang:
9.40. 
у  
-
 6 x 2  - 5 x +
1, 
у  -  
соълх,
 


х
 < 
0,5. 
9.41. 
у
 

sin 2х , у  

sin 
х.
9 .4 2

у 

arctgyfx, у + х2
  = 
0 , х  =  1. 
9.43. 
у  

2х‘ ех,
 
у  

-х'е*.
9.44. 
2у  -  
х2, х2 + 
у : 

4) .  2у  

д : . 
9.45. г" 
+ х = 
4, 
у 2
 
- 3 .v  

12.
9.46. 
у
 = 
у/х,
 
у  

х - 2 ,  
х =
 0. 
9.47. 
у  
= arcsinx, 
у  
= arccosx, 
у =
 0.
9.50. 
у'
  = 

  parabola  х2 +у: =8  a y la n a  bilan  ch egaralan gan  
doiraning yu z in i  qanday  nisbatta  boMadi?
9.51.  x-  + y: 
=a'-
  aylan a, 
x1
 - 2 y ’ 
= ~
  gip erb o la yo rd am id a uchta
q ism ga  boMingan.  Shu q ism lam in g  y u zlarin i  toping.
9.52.  v = .г2 -2x+ 2  parabola,  unga  л/(3;5)  nuqtada oM kazilgan 
urinm a va o rd in atalar o ‘ qi  bilan  ch egaralan gan   sohaning yu z in i  toping.
9.53  у = - x 2 + 4x-3  p arabola va  unga  w ,(0;-3),  м г(3;0)  nuqtalarda 
oM kazilgan  u rin m alar bilan ch egaralan gan   sohaning yu zin i  toping.
9.54.  y = x2 + 4x+9  parabola v a  u n ga ab ssissalari  x,=-3,  x, = 0 
boMgan  nuqtalarda oM kazilgan urin m alar bilan  ch egaralan gan   sohaning 
yu zin i toping.
Q u yid agi, ten g lam asi  param etrik sh ak ld a berilgan,  ch iz iq lar bilan 
ch egaralan gan   sohaning yu zin i  toping:
9.55.
 

=  
a(l
 
-sinf), у 
=  
a(i 
-  
cos/) 
(0
  <   /   <  
2л), 
у
  =  
0
.
9.56. 
x
 = 
a
 
cos’ 
t, 
у = a
 
sin
5 /.
9.57. 
x
 = 
at 
- I 2, x
 = 
a t2 
- (3, 
a>
 
0. 
9.58. x = 1 + ( -  (’ ,  у = 1 - 15/2.
9.59. * = 
at 
-  
bsint, 
у —
 


 
b
 cos 
t
 
(o 
< b < a)
 
troxoidaning bir tarmogM.
9.60. x = 
a  cos < (i-co s/ ), 
у = 
a s in / (i-c o s / ) 
kardoidaning ic h id a y o tg a n  
sohaning y u z in i  toping:
9.61.x:
 = a sin 2 / , 
у 
= asin / , 
a >
 0.
9.63. 

= a(l 

2cos/), 
у  = a(/g/ + 
2sinr), 
a >
 0.
Q u yid agi  ten g lam alari  qutb ko o rdin atalar sistem asid a berilgan , 
ch iziq lar bilan ch egaralan gan  so haning yu zin i  toping:
9.6 4 .
 
r 2
  = 
a 2
 
cos4(» 
( le m n is k a ta ).  9.65.r= a(i + cosp) 
(k a rd o id a )
.
9.48. 
V  -   x 2 ,  v = x 2 + x —1,  v  = —  , y < x 2.
•  
2
136

9 .6 6
.r

  (giperbolik spiral) 


< 2 л .
9.67. 
r = — 

  (A rxim ed sp irali) 


 <<»<«», 
<рг -<р{ < 2 л .
2  л
9 .6 8
. г =
 Re1*’, 
к 
> o (lo garifm ik  spiral)  «?,  < <д < 

,_-u>x

 < 
2 л .
9.69. 
г
 = 
2'Jiacos

 = 
2a
 sin p. 
9.70. 
r = 2
 -cosp, 
p
 = cos^.
9.71. /■ = — - —   f -  £ 
0
 < — I  (parabola).
I -  cosy)  1^4 

)
9.72.1- = — - —
1 + £ cos 2
9.73.  r = 
a
—c?s*,!>'n<'.— 
(o<

1. 
9.74
. r
 = ti(l- cosp). 
r - a .
cos'p +sin 



2 )
9.75.  r
2
  = a2(l -  
2 cos 
ip), r = 
a, 
r < 
a.
9.76. 
v
 = 
ayjcos2(p
 
chiziq bilan  ch cgaralan gan   va 
r~ —=
v 2
doiraning  ichida yotgan sohaning yuzini  toping.
9.77. r = *(l + cosp)  chiziq bilan  chegaralangan v a  c = 3acos^ 
ch iziqn in g tash qarisida jo y lash g an   sohaning yuzin i  toping.
M u staq il yechish  uchun  n iisollarn in g  ja v o b la r i
9.1.  -   9.2. 
-
  9.3.  — .  9.4. 
-
  9.5.  2  9 .6 .4 1 .9 .7 . 
5 -
  9 . 8 .2 - ,






15
9.9.  lnf--\9.10.  l - e ”  9.11.  1 + l i   9.12. 
4 2
- 1 .9 .1 3 .2 -  — «0.56.
U J  

In 2
9.14.  1  + —= 0,97  9.15. 
л
ab 
9 .1 6 .
 
a + fiz£),9.17. 


л
 

na 
a
 
ulna
9.18.  i+ inf— ). 9.19.  9.

L  2  J
9.20  а) ||(лг + 
2 ) - x 1\dx, 
b) 
\[yfy-{jy)\dy 

j[y ly -lv -2 )] d x .
-1 

1
2
 


/ 1  V /2
9.21.  a)}(
2
.t: - x ’ Kv, 
Kv.
9.22.  a) J[
0
-(- 
Jx)\dx+
 J[
0
- ( x -
6
)]
b)$[(y + 6 ) - y 2]dx.
0  

- 2
9.23. 
a)
 J[^£-(-.r)]c/x + |[^i^-x]rf.Y, 
b)
 |[v- ( -
y)]dy
 + [y -  (3y-
8
)l
dy.
137

9 .2 5 .  a) j
 
[2.т 
-  ( * -  l)]<6r + 

[(9 -  * ) -  (x -  l)]tir, 
b)
 J 
[(у  + 1 ) - ly \ d y  + J[(9 -  
y) 
-  \-yVy
-I 

- 2  
4
9 .2 6 .  a ) j [ x ' n  -(x 2 + x -\ \ lx ,
-1
9 .2 7 .  9/ 8,9.28.  4  9 .2 9 .  - .   9 .3 0 .  2 -V 2 .  9 .3 1 .  8 
9 .3 2 .  -   9 .3 3 .  4
12 
5
9 .3 4 . 
9 .3 5 .  2 7 ,9 .3 6 .  4 ’.  9 .3 7 . 
-L
у]ф

л/З
9 .3 8 .  л  = } [ V w -(2 -> / 4 Г ^ % !г .  9 .3 9 .  J L .   9 .4 0 .
ff 
ft +1 
jt
  8
9 .4 1 .  £  9 .4 2 .  1 - 1 .   9 .4 3 .  lfe-2 - 2   9 .4 4 .  *1+2*.  9 .4 5 .




3
9 .4 6 .  -   9 .4 7 .  V I - l   9 .4 8 .  — . 9 . 4 9 .   6*-6arcsin

48 

9
Зж + 2
9.50.
9 / r - 2 '
9.51. 
« ' - [ l - J l i J S  + J l Y
 
— 1п(7з+-Л)|,  a 2[— +— Ink/J + VlV
6
4
'  
6
4
'  

 
3
4
'  
'
9.52.  9.  9 .5 3 .  2—.  9 .5 4 .  2 .  9 .5 5 .  з™ 2.  9.56. 
ъ
- л а \
  9 .5 7 .  —  9.58.  8



60
9.59. 
w(b'+2ab)
  9 .6 0 . 
Ц-а\
  9 .6 1 . 
Ц -.
  9.62.
9.63.  а 2^л/з+^-41п(2+7з)].9.64.  а 2  9.65. 
| ™ 2 9 .6 6 . 
J - j.
9.67. 
-<
р
1)
  9 .6 8 .  — (е2^  - е 2*” ) .9.69. 
а \ - п - М .
  9.70.  1Z1.
24л-- 
4А- 

4

Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   13   14   15   16   17   18   19   20   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling