A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet19/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   39

1 1 .1 . 
у
 = sin,x, 0 < дг < л’ : 
a)  Ox
  o ‘ q  atro fid a. 
b

Oy
  o ‘ q atro fid a.
11.2 . 
y  = 2 x - x ‘ , y  = 0 :a )   Ox
  o ‘ q  atro fid a. 
b)  Oy
  o ‘ q  atro fid a.
11.3.
  y = sin2x, 
0 < x < ~ ,
 >- = 0: 
Ox
  o ‘ q  atro fid a.
- j   . 0

  o.ro‘q atrofida.
11.5.
 
xy =
 4, 
x
 = l, 4, 
у  =
 0 
Ox
  o ‘ q atro fid a.
11.6. 
у = 
4 x e "

у
 = 0, 


a  Ox
 
o ‘ q  atrofida.
11.7 .
 


a c h -   Ox
 
o ‘ q  va 


±a
 
to‘ g ‘ ri  chiziq  atrofida.
a
11
.8.
  v = arcsinx 
у
 = 0, .v = i :  a)  Ox  o ‘ q atrofida. 
b)  Oy
 
o ‘ q atrofida.
11.9 . 
y'-
  = 
4x,  y  = x  Ox
  o ‘ q  atro fid a.
Q u yidagi  ch iziq lar  bilan  chegaralangan  figuralam i  ko 'rsatilgan   o ‘ q 
ulroflda  aylan tirish dan   hosil  bo‘ lgan  aylan m a  jism la rn in g   hajm larini
loping:
11.10.
 
x :  + ( y - b f   =a*
  (0
< a < b ),  Ox
  o 'q   atro fid a.
11.11. 
xy 

k \ y  

0 ,x  

a ,x  

b , 0 < a < b , 0 y
 
o ‘ q  atrofida.
1 1 .1 2 .
 
2py 

a - - { x - b ) \
 
j  =o, o<ь, 
Oy
 
o 'q   atrofida.
1 1 .1 3 .
  - — 4  = 1, 
a
  o ‘ q  atrofida. 
а2  ь-
11.14.
  4  + 4  = l . a>*>  Q xo'q  atro fid a.
a ‘
b2
11.15.
 
y 1  = 2 p x ,y  = 0 ,x  = a , 0 x
  o ‘ q  atro fid a.
1 1 .1 6 .
  у 2 (x-4a) = 
ax(x-3a), 0 < x < 3a, Ox
  O'q  atrofida.
1 1 .1 7 . 
y 2 
=(x+4)3, 
x = 0 ,  Oy
  o 'q   atro fid a.
11.18.  2
py = ( x - a ) 2,  2py = a 7

a)  Ox
 
o ‘ q  atrofida. 
b)  Oy
 
o ‘ q  atrofida. 
Q u yidagi  ch iziq lar bilan chegaralangan  figu ralam i  k o 'rsatilgan   o ‘q
iiim lk la aylan tirish d an  hosil  boMgan aylan m a jism la rn in g  hajm larini 
toping.
11.19. 
x =
 a(f-sin/), 
у
 = 
a
 (l-cosf)  (
0<1 <2л
): 
a)  Oy
  O'q  atrofida; 
м  i 
2
a
 
to‘ g ‘ ri  chiziq atrofida.
11.20 
x = a
sin
' I,  у  = b
cos
31
  (0 < ( S 
2ir):  a)  Ox
 
o ‘ q  atrofida; 
b)  Oy
 
o ‘ q 
iilio lid a.
Mustaqil yechish  uchun  misollar
11.4.
-b\
147

11.21. 
x = 2 i - r ,
  _v = 4 f - ( 3: 
a)  Ox
  o 'q   atrofida; 
b) 
Oy
  o ‘ q  atrofida. 
Q u yid agi  c h iziq lar  bilan  ch egaralan gan   fig u ra lam i  k o 'rsa tilg an   o ‘ q
atrofida  aylan tirish d an   hosil  b o 'lg an   aylan m a  jism la rn in g   hajm larini 
toping:
11.22.
  /• = a s in : 
tp,
 
qutb o 'q i  atrofida.
11.23.
 
r
 = a  sin 



qutb o 'q i  atrofida.
11.24. 
r = aip  (a>
 0,  0 < 


  (A rxim ed sp irali),  qutb o 'q i  atrofida.
11.26. 
a < r <
 <3^/2sin
2


,  qutb o 'q i  atrofida.
11.27.  0 < /■ < 
a

  0 < 


 < 
л
,  qutb o 'q i  atrofida.
11.28. 
0
 < 
r
 < acos2 
rp
  ,  qutb  o 'q i  atrofida.
11.29.  0< /■ <
a\Jcos3

  H < J   ,  qutb  o 'q i  atrofida.
11.30. 
0
 < /• < 
2
a
S1"  1/1.  о < 


  ,  qutb o 'q i  atrofida.
cos 


 
з
11.31. 
a< r<  ciyjsmip,
 p = y   nur atrofida.
11.32. 
a < r < a
 Vcos3«9, |p|< —, 


 —  nur atrofida.

2
11.33. 
о 

\

 < —,  p = —  nur atrofida.
co sp  

3
Q u yid agi  sirtlar bilan  ch egaralan gan  jism n in g   hajm ini  toping:
1 1 .3 5
1 1 .3 6
X
2
a '
V

• + ^ r  
b 2
= i.  |-|=я , H  >0.
x l
a~
V
2

1
.  Г = - x ,   : 
a
о
II 
11
o
'
II
x
2
y2
у
2

 +  T- 
b 2
_2
c ‘
±c.
£ 1 +Z l_
a
2
 
b 2
~  = l,  z = c  + H. 
с
,  x + y  + z 2 
1
, * = 
0
у  := 
0
, г = 
0
.
a
2
x + 
+
 —  
a
-  = 1, 
x  
= 0, 
V
’ = 
0
,  г = 
0
.
, x2  + y 2
 + г
2
 + xy  + y z  +zx = a ' .
1 1 .4 0 .:
1 1 .4 1 .  .V3 + r 3 
= a \
  y J +.-3 = a2.
1 1 . 4 2 . 4 + 4  =  1.  z - £  =  o . ^ + i  = o . ( r > o ) .
a  
c  
b e  
b e  
Q u yid agi  egri  ch iz iq lar  bilan  ch egaralan gan   figu rani 
Ox
 
o 'q  
atrofida aylan tirish id an   hosil  b o 'lg an   jism n in g hajm ini  toping:
1 1 .4 3 .* 4 + / = e V .  
1 1 .4 4 . 
x4
 + 
y"  = 2axy2
1 1 .4 5 .  (г’ ч У ) 1  =e3*\ 
1 1 .4 6 .  (x3+ r ) ! 
= a ’ (x2 - y 2)
148

Q u yidagi  egri  ch iziq lar bilan ch egaralan gan  figurani 
Oy 
o‘ q 
atrofida aylan tirish id an  hosil  boMgan  jism ning hajm ini toping:
1 1 .4 7 .  .t4 
+ / = а у \
 
1 1 .4 8 . 
x"  + y A
  = 2
axy2.
1 1 .4 9 . 
{x2  + у 2)"  = a 2{x2  -  y 2)2 ■
 
1 1 .5 0 . 
(x2 + y 2J   = a 2{x2  -  y 2)2  .
M u sta q il yech ish  uchun  m iso llarn in g  ja v o b la ri
1 1 .1 .  а)0,5гг2. 
b)  2 л 2.
 
1 1 .2 .  а) — гг.  b)—л.  1 1 .3 .  0,25гг2.  1 1 .4 . 
—ira b 2.
15 

7
1 1 .5 .  12Л-.  1 1 .7 .  0,25гг[1-е'2°(1 + 2а)].  1 1 .8 .  0,25гга3(е2+4-e~2)
1 1 .9 . 
а)
 0,25гг(гг: -8 ) 
b)
 0,25  гг2.1 1 .1 0 .  ^ г г .  1 1 .1 1 .  
2 л 2 a 2b.
1 1 .1 2 .  2
л  k 2(b -a \
  1 1 .1 3 .  —  
л а ’Ь.
  1 1 .1 4 . 
- ^ л Ь 2( т - а У ( т  + 2а).

р
 
За*
1 1 .1 5 . 
^ л а Ь 2.
1 1 .1 6 . 
л р а 2.
  1 1 .1 7 .  0,5гга3(15- 1 6 In2).  1 1 .1 8 .  58,5гг.
1 1 .1 9 .  а) у^-гтр3. 
Ь)
 ^ггр3  1 1 .2 0 .  а) 6гга\  />)7гг2а3.
1 1 .2 1 . 
а ) - ^ - л а Ь 2.  Ь) 
л а 2Ь.
  1 1 .2 2 .  а ) — гг. 
Ь )^ ~ л.
105 
105 
35 
105
11 .2 3 .  —  гта3. 1 1 .2 4 . 

.  1 1 .2 5 .  —(гг4 -6гг2)а\  11 .2 6 .-гг
105 


г
 
3
1 1 .2 7 .  2(гг4-6гт2)а3/3.  1 1 .2 8 .  4гта3/21.  1 1 .2 9 .  ла3/24.
1 1 .3 0 .  ж 5(51-б41п2)/4.  1 1 .3 1 .  —
.  1 1 . 3 2 . ^ 1 .
х 
'
 
15 
4
11 .3 3 .  ла’ (Згг-8)/3.  1 1 .3 4 . 
2лаЬН.
  1 1 .3 5 .  -абс  1 1 .3 6 .

3
11 .3 7 . 
^ н 2{н  + 3с).
  1 1 .3 8 .  - .   1 1 .3 9 .  — .  1 1 .4 0 .  ± ^ « 1 .
Зс2 
15 
15 
3
1 1 .4 1 .
16a3
1 1 .4 2 .

abc
1 1 .4 3 .
2гта3
1 1 .4 4 .
2 гш3
1 1 .4 5 .
4гта3
3
3
~ 3~'
21
1 1 .4 6 .
т ъ
  f
ln (V 2 + l)
'— I
1 1 .4 7 .
гг2а 3
1 1 .4 8 .
4гта3
1 1 .4 9 .
8гга3
U 2 \
3  J
16
3
~Т5~
1 1 .5 0 . 
4 л а 3(16л/2-9)/105.
12-§.  A n iq   in te g ra l y o rd a m id a   ay la n m a jism   sirtin in g  yu zini
hisoblash
12 .1. 
D e k a rt  k o o rd in a ta la r  sistem asida  b erilg an   a y la n m a   s irt 
vu/ini  hisoblash. 
y = f( x )  
fu n k siya 
[a;6 ] 
kesm ada aniqlangan u zluksiz 
v a  
u zlu ksiz 
f  (x)
  h o silag a eg a  b o 'lib , 
v * e [ a ;6 ]  
uchun,  /(*)>0  boMsin.  Bu
149

fu n k siya  g ra fig in in g  
A(a\f(af)
  v a  
B(b;f(b))
  nuqtalar o rasid agi 
a b
 
y o y in i 
Ox
 
o ‘ q  atrofida aylan tirish  n atijasid a hosil  boMgan sirtning  y u z i,
Q.=2x\f(xHl + 
 
(1 2 .1 )
form ula orqali  hisoblanadi.
A g ar 
ab
  egri  ch iziq,  * = 


 y/(f), 
a < t< p ,
  tenglam a bilan 
berilgan  boMib, 
y(t)>
 o, 


  fu n k siya, 
t  a
  dan 
(3
  gach a o ‘zgargan d a, 
a 
dan 
b
  gach a o ‘ zga-rib , 


  boMsa,  u  holda,  (1 2 .1 ) 
form ulada, 
x = 

  alm ashtirish  n atijasid a,
ft = 
+ ( y / { t ) f d (
 
(12.2)
a
form ulani  hosil  q ilam iz,  y a ’ ni 
AB
 
egri  ch iziqn in g  ten g lam asi  param etrik 
shaklda  b erilgan da,  uning 
Ox
 
o ‘q  atrofida  aylan ish i  n atijasid a  hosil 
boMgan sirtning yuzin i  topish  form ulasini  hosil  q ilam iz.
1 2.1-m iso l,  Ushbu 
y 2  = 2 p x
 
(o<.va)Ox
 
o 'q   ; 
b)Oy 
o ‘ q atrofida  aylan ish i  n atijasid a  hosil  boMgan  sirtning yu zin i  toping.
Y e c h ilis h i. 
a)
 
B erilgan   ch iziq n in g 
Ox
 
o 'q   atrofida  aylan ish i 
n atijasid a  hosil  boMgan  sirtn in g  yu z i,  (1 2 .1 )  form ulaga  asosan  topiladi,
bunda,  / W = V /  W = - j = ,   V>+(/W)2 
+
Shunday  q ilib ,  b erilgan ch iziq n in g 
Ox
 
o 'q  atrofida aylan ish i 
n atijasid a hosil  boMgan  sirtning y u z i:
f t  
= 2 n \ f{ x \ h + ( f\ x )y  dx = 2nfip  y p  + 2xdx =

0

[V (p  + b „ ) ’  -  
J
p
" l= ~ [ { p  +
 2^0 
)\I
p
2 + 2 P\,  -  P 71
b) 
B erilgan  ch iziqn in g  Ox  o 'q q a  nisbatan  sim m etrik ligin i  e ’ tiborga 
olib,  izian ayo tgan   sirtning  yu z in i,
______
£>„  = 4я- 
$x(y)J\+[x(y)fdy
0
form ula o rqali  topam iz:
150

,   Л «  

~Г 
,
____—
О,
  = —   f v2  II + 
~ d v  = —
  J V2 
p2 + v2dy =
p  i
 

p

p
i
= [u = 
y, dv =  Vy]p2  + y 2dy, du
 = 
dy,
 v = j
(p2  +
 y2): ] =
v
j —
T ^ - T  
•n(v+V 7 ^ 7 ) i } | ^  =
= j[ (p  + 4
x0) p x 0(p + 2x0) - p 2
12 .2-raiso l. 
Ushbu 
x=a(<-sinf), y = a(l-cost)(0o.vo‘ q atrofida aylan ish i  natijasida hosil  boMgan  sirtning yuzin i  toping.
Y ech ilish i. 
Izlanayotgan 
sirtning  yu zi, 
(1 2 .2 )  form ula  orqali 
hisoblanadi:
x,  =
 a(l -  
cos 
t),  y,
  = 
a
 
sin 
(, ds
 = 
*J(.x,)2  + (yt)2dt =

^а2(
l - c o s ( ) 2 
+ a2 
sinrrff 

a -v / JV l-co st 
dt
 = 
2asin~^dt,
1X 

7K 
t
О = 2к
 Ja(l-cosf)-2asin 
—dt = 2л j 4 a 2
 sin3 
-d t
 =
о 

„ 
2

>
 г 
64
= 16 ж г ls in 3vJ„ 
3
12 .2 . 
Q u tb 
k o o rd in a ta la r 
sistem asida 
b erilg an  
aylan m a 
Nirtning yu zin i  hisoblash. 
A gar 
ab
  egri  chiziqning  tenglam asi,  qutb 
koordinatalar  sistem asida, 
r = r(

  ko 'rin ish d a  berilgan  boMib, 
/ (yj)  -  [
a ,p
]  kesm ada  uzluksiz,  uzluksiz  h o silaga  ega  boMsa,  u  holda, 
(  12.2)  form ula,
i> 
___ ;_______
Q = 2n\r(

 
(12 .3)
a
ko 'rin ish d a boMadi.
12.3 
-m isol. 
Ushbu  /-2 
=a2cos
2


  chiziqning: 
a)
  qutb o ‘ qi; 
b)  tp =
 j
o'q  
atrofida  aylan ish i  n atijasid a hosil  boMgan  sirtlam in g  yu zlarin i
toping.
Y echilish i.  a)
  MaMumki, 
r = a j
cos
2
p  - B em u lli  lem niskatasi  boMib, 
koordinatalar  o‘ q larig a  nisbatan  sim m etrik  jo y la sh g a n ,  koordinatalar 
boshi  -  qutb  bilan,  m usbat  y arim   o ‘ q  -  qutb  o 'q i  bilan  mos  tushadi. 
Slum ing  uchun,  izlan ayo tgan   sirtning  yu z i,  (1 2 .3 )  form ulaga  asosan 
topiladi:
151


______________________
Q
 = 
4 л
 J 
r(tp)smtp,Jr2 (tp)+ (r'(tp))2 dtp,  rsmtp =
 o,/cos
2
(z>  sin $
9
,
К
asm ltp 
~,— ,  .  , 
a 
, r  
,(  
'\
V''  + (^)‘  = -;= = = , б,,  =4ж  fs m p ^  = 
2
^a-(
2
-V
2
)
^Jcosltp
 
^cos
2

;
i)  Xuddi  yu q o rid agi 
a) 
banddagidek,
4
О  ,  = 
4 л - я 2 
fcos^ = 
24 2лa'.
f>=— 
J

0
Bu  holda,  p = ^   nurni, 
rK,o
 
sistem ad agi  qutb o ‘ qi.  deb qabul  q ila ­
m iz,  u holda,  г,
(в) 

r(




  Sh un day  q ilib ,  izlan ayo tgan   sirtning 
y u z i:  о  = £?, + й   bo‘ lib, 
o,
  v a
Q2
  ,m os  ravishda,
О,  =4я- 
J  
/•, (
6
»)(sin 
0

■Jrl'(0) + (r\ (в))2 dO,
 
(   *  )
Q2=4 
л
 
jV, (Jr?(e)+ (r;(0))2d0
fo rm u lalar  orqali  to p ila d i^ .tfsiste m a sid a , 
t)
  , 
dan 
0
  gach a
o ‘ zgargan d a,  sin£  fu n k siya  m an fiy  q iy m atlar  qabul  q ilad i).  (* )  form ula- 
larda 
i\,e
  dan, 
r
  v a 
tp
  larga o ‘ tsak,  u  holda,
Q,
  = 4
na- 
j  
J .
COS 
l(p
sin(^--y) 
4
dtp
4  cos 2 tp
—  
= 4 л а :
  f 
7  m
 
J_
л.
s i n ( p - - )
dtp
 =
= 4
л а :
  J  s i n ( p - - ) ^ = - 4 ^ a 2  c o s ( p - —) ' 
= 2 л а 2 4 2 ,
Qi
  = 4  я-а2| s i n ( p - —) dtp = -
4
л а
2
 js in ( t p - — ) dtp  -■
о 
4
= 2 л а 2 {2-42).
M u staq il  yech ish   u ch u n   m iso lla r
Q u yid agi  chiziqlarni  k o 'rsa tilg a n   o ‘ q  atro fid a  aylan tirish d a  hosil 
boMgan  aylan m a  sirtlarin in g  y u z la rin i  h iso b lan g:
152

12.1.  у = у   parabolaning  у = 1,5  to 'g 'ri  chiziq  bilan   kesilgan
qism ini,  x = 2  o ‘q atrofida.
12.2. 
у
2  = 

+ .г  parabolaning 


2
 
to‘ g ‘ ri  chiziq  bilan k esilgan  
qism ini  Ox  o 'q   atrofida.
12.3.  v = cos——
  ch'iziqning,  x, 
= - a
  dan  *,  = 
a
 gach a bo‘ lgan

a
qism ining 
Ox
 
o ‘ q atrofida.
12.4.  3x2 + 4y2 = 12ellip sn in g 
Oy
 
o ‘ q  atrofida.
12.5.  у = 
igx
 
^o< x< yj. 
Ox
 
o ‘ q  atrofida.
12.6.  у = 
e~*
 
(o < x 12.7.  2
ay
 

a1
 + x2  (o < x < 
a). 
Ox
 
o 'q   atrofida.
12.8.  x = i y 2-^ in y(l< y< e), 
Oy
 
o 'q   atrofida.
12.9.  x = 4 -
yjy

<у < |j, 
Oy
  o 'q   atrofida.
12.10. 
y-
 
+4x = 2lny(i< y< 2), 
Oy
 
o 'q   atrofida.
12.11.  v = 
ach—,
 
(|xl < 
b\ 
Oy
 
o ‘ q atrofida..
a
12.12. 
у  
= -  (l < x < 
a),
  o x o 'q   atrofida.
X
Q u yidagi  ch iziq lam i  k o 'rsa tilg an   o 'q   atrofida aylan tirish d a hosil 
b o 'lgan  sirtlarn in g  y u zlarin i hisoblang:
12.13.  x = a(3cos(-cos3(), 
У  
= a(3sin(-sin3f),  0 < r< y, 
a) 
Ox
 
O'q
atrofida; 
b) 
Oy
 
o 'q   atrofida.
12.14.  x = t,
 
0 < t
< - , 
Ox
 
o 'q   atro fid a .
2
12.15.  x = a(f-sin<), у = o(t-cos/)  (о < r < 2ж), 
a) Ox
 
o 'q   atrofida; 
b) 
Oy 
o 'q   atrofida;  c )y  = 2a  t o 'g 'r i ch iziq atrofida.
12.16.  x = a cos’ 
i, у
 = asin31
, у
 = x  to 'g 'r i  chiziq atrofida.
t

t~
12.17.  x = .y ,y  = 4 - y ,
\i\<2yf2, 
Ox
 
o 'q   atrofida.
12.18.  x = 2-Уз cos/, у = sin2/ 
Ox
 
o 'q   atrofida.
12.19. 
x = a(l+t
2\ y  = y ( 3 - r J)  Ox  o 'q   atrofida.
12.20.  x = - A - ,  у = 
ak
Ox o 'q   atrofida.
r + t  
<2+i
12.21 . 
x = 
a(cost + tsint), у  

a(sint 

 
tcost),
 
(O < / < 
л)  OxO‘ (\
  Strofidci.
153
1   ...   15   16   17   18   19   20   21   22   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling