A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet20/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   39

.
2 2
.
 
r -
 2asin 
,
 о < 


 < ^ ,  qutb o 'q i  atrofida.
12.23. 
r
 = ,/cos2f?. o < 


 < 
qutb o 'q i  atrofida.
12.24. 
r'
  =a: sin2^, 
o
  qutb o 'q i  atrofida.
12.25.  r = a sec: ^ , o < p < y ,  qutb o 'q i  atrofida.
12.26.  r 3 
=2a-  ws2

  a )q u tb o 'q i  atro fida;*) 


  nur atrofida;
c)

  nur atrofida.
4
12.27.  r = ci^/cos2p  (lem n isk ata), 
y = x
  t o 'g 'r i  ch iziq atrofida. 
Q u yid agi silin d rik  ch iziq larn i  k o 'rsa tilg a n  o 'q  atrofida ay la n ti­
rishda hosil  b o 'lg an   sirtlam in g   yu z larin i  hisoblang:
X2 
v2
12.28  —г + 
~
 = I 
a
 > 
b , 
Ox
 
o 'q   atrofida.
a~ 
b~
12.29 
= i. 
a >b, 
Oy
 
o 'q   atrofida.
a- 
b-
 
1
12.30.  iL _ 2 L  = if 
- h <  v < h , 
Oy
 
o 'q   atrofida.
a' 
b‘
12.31. 
а < х < т  = Ла, 
Ox
 
o 'q   atrofida.

b*
12.32.  y : = 
2px, 
0 <
x

Ox
 
o 'q   atrofida.
12.33. 
у'  = 
px\
 
0

Ox
 
o 'q   atrofida.
Q u yidagi  silin d rik   sirtlam in g  b elgilan gan   qism id agi  sirtlari 
y u zlarin i  h isoblang:
12.34. 
x 2
  +  v 2  = 
a 7 ,
  0  < 
г 
<  - - 
x
.  ,T  >  0.
a
1 2.35 v = 
b ~  X2.
  0 < :  < 
—x,  x
 > 0,  v>0. 

a
12.36. 
+ ^rr=i.  0 < г< —д\ 
x >
 0,  v > 0, 
a > b.
cr 
b~ 
a
M u sta q il yech ish   uchu n  m iso lla rn in g  ja v o b ia r i
12.1.  — .  12.2.  — .  12.3. 
+j g l i
nl ± J ? 1+Aa''
  .


л  
2 a
154

12.4. 
2я-(4 + 31п2).
1 2 .6 . л
12.5.
V 2 - e ' “V l+ e Jj  -  In
е~“ + -Jl + e
1  +  V 2
4 / 5 - л ) + | П(л + 1 р - ‘)]
1 2 .7 .—  
(3In(V2  + l)+ 7 V 2 )
12 .8 . 
—(e-l)(< ?2 

е 

4 ) 
12 .9 . 
я ( - 5 - 9 1 п 2  + 161пЗ)/6. 
12 .10 .
1 2 .1 1 . 
98л-/3.
12.12.  л
л/2+1
1 2 .1 3 . 
а ) 9 я 2 а 2 ,Ь)  24л а 2.
1 2 .1 4 . 
- 2 ) . 
1 2 .1 5 . 
o ) y i a ! .  6) 
16 л 2 а 2.  с ) ^ ж а 2.
12.16.  l ^ fl2(4V2-l)  12.17.  59,2*12.18.  ^ ( 4  + ln5)

о
1 2 .1 9 . 
1)Ъжа2
.
12 .2 0 . 
ли’ (б 1 п 2 -4 )/ 3 . 
1 2 .2 1 . 
6
л 2а 2.
 
12 .2 2 . 
4
ж2а 2
12 .2 3 . 
2
л
{ 2 - 4 2 )
 
12 .2 4 . 
4 л а 2. 
12 .2 5 . 
^ж<,2{2^2-\\
12 .2 6 . 
а)  А ж а '{2 -4 2 \ ь ) 4у[2жа‘ .
 
с)  8 л а 2. 
12 .2 7 . 
4 л -а 2.
п   т е  
гх.з 
,  arcsine 
\1а7  - Ь2
12 .2 8 .  2
я[Ь  +ab
-------- ], 
£ =
£
12 .2 9 . 
2л-  [ а 2 

—  
£ -
2
е
 
\ - е  
и
12 .3 0 . 
2
ж а И [ ^ М и + ^
\ .  и =

и
 
0‘
Ь
 
I ,  е + л / л У   - 1 .  
V<2* 
+b2
а
■Ja2 - b 2
1 2 .3 1 . 
лаЬ[Л\1
А2
1
Г   - 1 ------------- In--------
-
-------
а 
е
 
е + ч/е2- !
1 2 .3 2 . 
—ж
  [(2 а + 
р)-]2ар
 + р ' 
-  
р 2).
12 .3 3 .
ж  (
 8 
u l  9
4 р J   V  4 р
2  +2
12 .3 4 . 
2ah.
12 .35.  А [ Х Ч 4 6 = 7 - а 3]. 
2b 
'
12.36.  £ * fi+ iz £ linl±£
2г 
1 -г

£   =   -
V a 2  -  6 2
10
13-§.  A n iq   in te g ra ln in g   m exan ika  m a sa la la rig a   tadbigM
13.1  S illiq   eg ri  ch iziq n in g  s ta tik   m om enti  v a   ogMrlik  m ark azi.
11
11
 < >r 
m -
 
massaga ega  boMgan  m oddiy  nuqtaning biror  p  o ‘ qqa  nisbatan 
iiniik  momenti  deb,  uning  w m assasi  bilan  undan  p  o ‘ qqacha  boMgan 
d
155

m asofaning  k o 'p ay tm asig a,  y a ’ ni 
Mr
  = 
md
 
so n ga  a y tila d i.  T ek islik d a 
yo tgan   m assalari  mos  ravishda, 
p
  o ‘ q g a  nisbatan  m asofalari
d ,,d : ,
.....
d„
 
b o 'lgan  
и
 
ta  m oddiy  nuqtalar sistem asin in g statik  m om enti,
Mp
 = 
'ZmA  
(=1
b o 'lad i,  bunda  o 'q n in g   bir  tom onida  yo tgan   nuqtalarning  m asofalari 
m usbat  ishora  bilan,  ikkinchi  tom onida  yo tg an larin in g   m asofalari  esa, 
m an fiy  ishora  bilan  olinadi.
A gar  m assa,  ayrim   olingan  nuqtalarda  tarqalm asdan,  biror  silliq  
ch iziq  yo k i  tek is  fig u ra  b o 'y la b   tekis 
tarqaigan   b o 'lsa ,  u  holda,  statik  m om entdagi 
y ig 'in d i  o 'rn ig a  integral  olinadi.
F araz 
q ila y lik , 
xOy
 
te k islik d a 
m 
m assali  biror  (.4 B )silliq   egri  chiziq  berilgan 
b o 'lib ,  uning u zu n ligi 
I
  b o 'lsin .
(AB)
 
s illiq   egri  ch iziq n in g har bir nuq-
13.1-chizm a. 
tasid agi  ch iziq li  z ic h lik  
p =
 p(s)  - 
5
  o 'zg aru v -
ch in in g  u zlu k siz  fu n ksiyasi  b o 'lsin   (1 3 .1 -  chizm a).  U  holda,  (/45)silliq
egri  ch iziq n in g  m assasi  q u yid agi  form ula b o 'y ic h a  topiladi:
/
m =
 

,
u
bunda, 
dl
 

y](dx)2 

(dyf 
-
  yo y   d ifferen siali,  /  esa,  b erilgan   ch iziqn in g 
uzun ligi.
E s la tin a .  A g ar 
( AB)
 
silliq   egri  chiziqni 
b ir jin s li
 
deb  faraz q ilsak ,  u 
holda,  uning 
p
  ch iziq li  zic h lig i  (b ir  b irlik   u zu n likd agi  m assa,  uning 
uzun ligi  bilan  o 'lc h an a d i),  o 'z g arm as,  deb  q araym iz.  So d d alik  uchun, 
p =
 
1
  deb  olam iz.
(A B )
 
ch iziq n in g  elem ental- 
ds
 
b o 'la g in i  ajratam iz.  Y uqoridagi 
farazim iz  b o 'y ic h a , 
ds
 
elem entar  b o 'la k d a g i  m assa, 
m
 
son  orqali 
ifo dalan adi.  C h iziq n in g elem entar 
ds
 
y o y in i,  ta q rib iy  m oddiy  nuqta,  deb 
qabul  q ilsa k ,  u  holda,  uning 
Ox
 
o 'q q a   nisbatan  elem entar  statik 
m om enti,
dM x  = yds
b o 'lad i.  Erkli  o 'zg aru v ch i  sifatid a, 
A
 
nuqtadan  boshlab  hisoblanadigan, 
ds
 
yo yn i  olib,  elem entar statik  m om entlam i y ig 's a k ,  n atijad a
I
Л/,  = J y (^ ) p ( i)iis
0
156

b o 'lad i.  Xuddi  shunday, 
Oy
 
o 'q q a  nisbatan statik  moment,
м  у
  = J 4 s ) p ( s ) *
0
b o 'lad i.
m
 
m assali,  chiziqli  zich ligi 
p = p(s

b o 'lgan  
(AB)
 
egri  chiziqning 
\i{xs,\yu )
 
o g 'ir lik  m arkazi  koordinatalari  esa,  ushbu

I
, ,  
/-Ф И *)*
X\r  = 
-  
~ 1 -------------. 
------------
]p(s)ds
 
J / ’(-sV s
form ulalar yordam ida xisoblanadi.
m
 
m assali, ch iziq li z ich lig i 
p = p(s)
 
b o 'lgan  
(A B )
 
egri  chiziqning 
Ox 
va 
Oy
 
o 'q la rg a   nisbatan  in e rsiya m om entlari,

I
/,  =|y2(i)/o(i)£fe, /,  = |лг‘ (л)р(я)с&
i) 
0
form ulalar yo rd am id a hisoblanadi.
X u su siy  holda,  birjinsli  (/>(-') = 0   b o 'lgan  
(AB)
 
egri  chiziqning 
m 
m assasi, 
Ox
 
v a 
Oy
 
o 'q la rg a   nisbatan, 
mx,  m
vstatik va 
l x,
 /„inersiya 
m om entlari,  ham da 
\f(xu ,y sl)
 
o g 'ir lik   m arkazining koordinatalari,  mos 
ravishda,


I
m
 = Jds = /, 
Mx
 = J у (.?)<& ,  iV/(  = J„x(.s)cis
о 
о 
0
Ix
  = J y 2(s)d!s,  /,  = J x 2
(s)ds
 
( 1 3 . 1 )
xt r =—jL,
  v,,= ^y-  form ulalar yordam ida  hisoblanadi.
T eorem a  (G u ld in n in g   b irin ch i  teorem asi). 
(Л#)  egri  chiziqni, 
uni  kesib  o 'tm ayd igan ,  o 'q   atrofida  aylan tirish   n atijasida  hosil  b o 'lgan  
aylan ish   sirtin ing  yu zi,  uning  o g 'ir lik   m arkazi  chizgan  aylan a 
u zun ligin in g shu  egri  chiziqning  /  yo y   u zu n ligiga k o 'p aytm asig a teng:
I
2 x y Kll = 2 x jy d l
 

( 1 3 . 2 )
0
13 .1-m iso l. 
Ushbu  ~  + 
ellip s  yuqori  qism ining 
Ox
 
o 'q q a
a'  b~
nisbatan statik  mom entini  toping.
Y ech ilish i. 
E llips  yuqori  qism ining 
Ox
 
o 'q q a  nisbatan  statik 
momenti
157

Mr  = f  ydl
- a
form ula b o 'y ic h a  to p ilad i, bunda 
d l -
 
e le m e n ta ry o y  u zu n lig i.  Shartga 
k o 'ra ,  v^ o ,  u holda,
vdl 
=  
vJ\ 
+  
у  
'
dx 
=
 J v j   + ( i t , )
:
dx,  v 2
 

b2 
-
я г ,  v t   = 
——r x ,
a

a'
vdl
 = 
Jb 2 —
 —^x2 + ~ x 2dx = --Ja~  - e 2x2dx, e ‘  -  —
—Д-,



a'
e -
  ellip sn in g  ek ssen trisiteti.
Shunday  q ilib ,
A
f x  =
  |  
\ l a 2  -
e
2
x
2 d x   =   l ^ b   - — a r c
s i n
e
j .
13 .2 -m iso l. 
U shbu  x = a(/-sin<),  v = a(i-cosr)(0r),  egri  ch iziq n in g 
o g ‘ irlik   m arkazin i  toping.
Y e ch ilish i. 
B erilgan   b irjin sli  egri  chiziq, 


n a
 
to‘ g ‘ ri  ch iziq q a 
nisbatan  sim m etrik  b o 'lg a n i  uchun,  uning  o g ‘ irlik   m arkazi  shu  to ‘ g ‘ ri 
ch iziq d a yo tad i, y a ’ ni 
xu  = m
.  10.2  -  va  12.2  -  m iso llam i  e ’tib o rga olgan
holda,  G u ldinning  birinchi  teo rem asig a asosan, y a ’ni  (1 3 .2 ) fo m iuladan ,
64 
4
2
я у и
  -8
a = - - m 2,  >l = - a
ek an lig in i  o lam iz.  D em ak,  sik lo id an in g  o g 'ir lik  m arkazi, 
м \ я а ;^ а ].
13 .2 .  T ek is  fig u ra n in g   s ta tik   m o m e n tla ri  v a   o g ‘ ir lik   m a rk a zi.
T ekis 
figu ra, 
yuqo rid an  
>■,=/(*), 
qu yid an  
y, = g(*) 
fu n k siyalar, 
yon
tom onlaridan  esa, 


a
 
v a 


b
 
vertikal 
c h iziq lar  bilan   ch egaralan gan   boMsin. 
m 
m assali 
tek is 
figu ran in g 
har 
bir 
n uqtasida  ch iz iq li  z ic h lig i 
p
 

p
{
x
)  
x
 
o 'z g aru v ch in in g  
u zlu ksiz 
fu n k siyasi 
b o 'lsin  (1 3 .2 -ch izm a).
13.2-chizm a.
T ekis  fig u ran in g  
m
 
m assasi, 
Ox
 
v a 
O y
 
o 'q la rg a   nisbatan, 
Mx,M y 
statik  v a  /„ /,  in e rsiy a   m om entlari,  ham da 
M(xu ;y u )
 
ogM rlik  m arka- 
zin in g  k o o rd in atalari,  m os ravish d a, q u yid ag i,
m = \(j{x)-g(x))p{x)dx,
158

I,  =
 ||t/3 M -  g'(xM-vV&,  /„  = J-r’ [/(jc)- 
g(x)]p(x)dx
,

<.
M. 
M
= — ,  Уд,  = —
m  
m
fo rm ulalar yordam ida  hisoblanadi.
1 3 .1 -e slatm a.  T ekis  figu ra  bo‘y la b   m assa  tek is  tarq algan ,  y a ’ni 
uning  sirt  zich lig i 
p
  o 'zgarm as  boMsin.  U m u m iylik n i  buzm asdan, 
p  =
 1 
deb  olam iz.  U  holda,  tekis  figuranin g 
m
 
m a ssasi, 
Ox
 
va 
Oy
 
o 'q la rg a  
nisbatan 
M ,,M y
  statik  va  / „ /v  in ersiya  m om entlari, 
ham da 
M(xu ;yu ) 
o g 'ir lik   m arkazin in g  koordinatalari,  mos  ravishda,
«  = }(/(*)-*(*))&  = S,
(/ '(*)-.? Ч*))*,  Л/,  =J.vt/(x)-g(x)]dLr,
К
  = { j l / 4 0 - s ’ MW*.  /, 
=\xl [f{x)-g(x)Wx,
О 
a
My 
Mx
*u 
s   ■
  Уи 
s
b
form ulalar yo rd am id a  hisoblanadi,  bu  yerd a, 
s
 = J.v(x)yuzi.
O g 'irlik   m arkazin in g  ordinatasi  form ulasidan,  2,t
yu  s = n^y'dx
m unosabatni  hosil  q ilam iz.  Bu  form ulaning  o 'n g   tom oni, 
abcd
  figurani 
Ox
  o 'q   atrofida  aylan tirish   n atijasid a  hosil  b o 'lg an   jism n in g  hajm ini 
ifo d alayd i,  chap  tomoni  esa,  o g 'ir lik   m arkazi  v a  u  chizgan  ay lan a 
uzunligini,  figu ranin g  y u z ig a   k o 'p aytm asig a  teng  b o 'la r  ekan.  Shunday 
q ilib ,  qu yid agi  G uldinning  ikkinchi  teorem asiga kelam iz.
T co rem a  (G u ld in n in g   ik k in c h i  te o re m a si  ).  T ekis  figurani,  uni 
k esm aydigan   o 'q   atrofida  aylan tirish   n atijasid a  hosil  b o 'lgan   jism n in g  
hajm i,  uning o g 'ir lik   m arkazi  chizgan  a y la n a   uzunligini  tekis  figuraning 
y u z ig a  k o 'p aytm asig a teng, y a ’ni 
v ^ i n n - s .
Qutb koordinatalar sistem asid a sektor,  о < 
r < r(
 
te n g siz lik lar  orqali  b erilgan   b o 'lsin ,  bunda  о 
< p - a <  in  

r()
 
fu n ksiya 
I

 
kesm ada  uzluksiz.  M assa  sektorda  tek is  tarqalgan  b o 'lsin ,  y a ’ ni 
uning 
p
 
z ic h lig i 
o 'zg arm as  b o 'lsin .  Bu  erda  ham,  um um iylikni
= ^ j { f 2(x)-g'(x))p(cx)dx,
  W,  = 
\x[j(x)-g(x)[f>{x)dx
  , 
(13 .3)
i

buzm aslik  uchun, 
p  =
 1  deb  o lam iz.  U  holda, 
O x\

Oy
 
o 'q la rg a   nisbatan 
statik  m om entlar v a o g 'ir lik   m arkazin in g koordinatalari,  q u yid agi
1  r 
I
''
Mx
  = 
—^P((p)sm

M, 
M
xu  = y - >   У и  = - y .
form ulalar orqali  to p ilad i,  bunda 
s  -
 sektorning  yu z i,  y a ’ ni
S = ^\r'‘ (fp)d

13.3  - 
m isol. 
U shbu  —+ — = 1.  x = 0,  v = 0.  a > 0 ,6 > 0   ch iz iq lar bilan 

b
ch egaralan gan   tek is  figu ran in g 
Ox
 
v a 
Oy
 
o‘ q larga  nisbatan  statik 
m om entlari  v a o g ‘ irlik   m arkazin in g koordinatalarini toping.
Y ech ilish i. 
(1 3 .3 ) fo rm u lalarga asosan,
a'b 
ab1

- М
у
  -   ~
6~ 
a .
  „  _ 
_  ~6~  _ 
b 
"  
5  
ab
 
3 ’  •  ”  
S  
ab
 
3 '
2
D em ak, 
A / ( x „ ;y „ ) = A / f| ;| J .
13 .4-m iso l. 
U shbu 
x = asiiw,y = 6cos/,  |f|ch iz iq lar  bilan
ch egaralan gan   sohaning  a w a  
Oy
 
o 'q la rg a   nisbatan  statik  m om entlari  va 
o g 'ir lik  m arkazin in g koordinatalarini  toping.
Y echilish i. 
(1 3 .3 ) fo rm u lalarga asosan,

5 = 1  
b
 cos 
l  a
 cos 
tdt
  = 
ab
  J c o s : 
tdt
  = 
+ s fo-—j  

ab
2 - л )   аЬл
~ Y '
la b 1
M,
 

„ 
M
 
T ~  

b 
x>i  =  ~ г  =
 -г = 0; 
У и   =
 -r-=
~71— г
 = r--
5  
5  
5  
ab ■
 к
 
3  л-
2
13 .5-m iso l.
 
G uldinning 
ikkinchi 
teorem asidan 
foydalanib, 
x- + (y -b )1  =a'-,  a < b ,
 
doiraning  a v o ’ q  atrofida  aylan ish i  n atijasid a  hosil 
boMgan to m in g hajm ini  toping.
Y ech ilish i. 
M a ’ lum ki,  berilgan  doiraning  yu zi 
S - л а
2,
  doiraning 
ogMrlik  m arkazi,  uning  m arkazida  boMadi.  D emak,  doiraning 
Ox
 
o ‘q 
atrofida  aylan ish i  natijasida,  uning  ogMrlik  m arkazi  ch izgan   aylan an in g 
u zun ligi, 
2
nb
 
ga teng.  U  holda,  G uldinning  ikkinchi  teorem asiga  asosan, 
izian ayo tgan   hajm,

ж a 1  ■ 2 л Ь - 2 л 2а 1Ь.
1 3.6-m iso l.
 
Ushbu 
A- 

a ( f - s in r ) ,  y  = c/ (i-c o sr)  ( o < r  <
2л)
 
siklo id a  tar- 
mogM  bilan  chegaralangan  soha  ogMrlik  m arkazining  koordinatalarini 
toping.
Y ech ilish i. 
Y uqoridagi  9.5  -  va  11.3  -  m isollar,  ham da G uldinning 
ikkinchi  teorem asiga  asosan,
2 л у И  ■ S
 = 5 a 5
л
7; 

 vJf 
Ъла1
  = 
5 а 'л 2,
  i
\ , = —a ,
6
sohaning sim m etrikligid an , 
xu 

л а   .
Sh un day qilib,

i  r.
M,
  = 
~ - ( л 2
  - б )   , 
My  = -^a'tpzosdip
 = а ’ ( 4 - л - 2) 
,
3
а'  л 
а 'л
5  = — Г 
a 2

2 {
 


6
boMadi  v a
xu
  = - у = бД( ^ 3*   ^ = б (4
- л 7)а / л \ у и
  = y "  = 2
(л 1
  - 6
)а/л2.
M u staq il yech ish   uchun  in iso lla r
Q uyida berilgan chiziqlarning 
м
r  va 
Mv
  statik m om entlarini toping:
13.1. 
— + — = 1,  x > 0, >  > 0, 
13.2. 
x 2  + y 2
  = 4, 
у  >
 0

b
x 1
 
v 2

Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   16   17   18   19   20   21   22   23   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling