A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet29/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   39


bo'
 
lg anda.
Ф0 bo'lganda, 


.
0
(
0
;
0
)  v a  /
1
(
1
; -
1
) .
x4 

y 4
  =0 
bo’lganda,
<2  Ф
 0 
bo'iganda, 


,  .
0(0,0) ea
 
Л(0;1).
20.18.
 
и = 
л- + у  
’ 
'  

'  0(0;0) va 
a\
[l. 
x+
  v = 0 
b o ' l g a n d a ,
Q uyidagi  fu n ksiyalarn in g k o 'rsa tilg an  sohada chegaralangan yo ki 
ch egaralan m agan  ekan ligin i  aniqlang:
20.19.
 
и = x 2 - у 2,
 (М} = 
{(х-,у): 
x 2
 +.v!  
2 5 } .
20.20.
  и   = 
x2 
- у 2 ,
  {A/} 
= {(x, 
v ) :  
x2 
+ y 2
  >  2 5 } .
20.21.  и = ах; +^а  ,x: +y2
1
.
0
, (a  va  ь  h aqiqiy sonlar).
X
  ■+■ 
у
20.22. 
„ ,
0
.
xy
X V
x 2  + y 2  Ф
 0 
bo'lganda,
20.23.  Ushbu 
и
 
= j 
x 2
 

y 2
[0, 
x: +j-‘ =0 
bo'lganda
fu n k siya 
0
(
0
,
0
)  nuqtada:  1)  л  b o 'y ic h a  uzlu ksiz;  2 )  у  b o 'y ic h a  uzluksiz;
3)  ik k ala argum enti  b o 'yich a  bir y o 'la  u zlu ksiz b o 'lad im i?
20.24.  a  ning qanday  q iym atid a ushbu
—^-r, 
x 2
 + 
v 2  Ф
 0 
bo'lganda,
X
  + y ‘
<
1

x 2  + у 2
  =0 
bo'\ganda
fu n k siya 
0
(
0
,
0
)  nuqtada:  1)  *  b o 'y ic h a  u zlu k siz;  2)  у  b o 'y ic h a  uzluksiz;
3)_v = k^fx,  (£ *
0
)  ch iziq  b o 'y ic h a  uzlu ksiz;  4 )  ik k ala  argum enti  b o 'yich a 
b ir y o 'la  u zlu k siz b o 'lad im i?
20.25. 
a
 
ning qanday q iym atid a ushbu
242

р Ц —
х 2  +
  v 2 
*■
 0 
bo'\a,anda, 
и =
 < 
х' +
 у
[а , 
.г2  + у 2  = 0  
bo' \ganda
fun ksiya 
0
(
0
,
0
)  nuqtada:  1) 
x = at ,   y  = p t
  ( а 2 
+ p 2
 
*
0
)  ch iziq  b o 'y ic h a  
u zluksiz;  2)  ik k a la  argum enti  bo‘y ic h a  b ir y o ‘ la  u zlu k siz boMadi?
X" V
x J  + y 4 
Ф
 0 
b o ' l g a n d a .
20.26.U shbu 
u = |x4+y4
(0, 
x4+y4 =0 
bo' \ganda
fun ksiyanin g 
0
(
0
,
0
)  nuqtada: 
x = t cosa,  у = 
1
 sina  (0<( < «)  chiziq 
bo‘yic h a  u z lu k siz lig in i;  ik k ala  argum enti  b o 'y ic h a   b ir  yoMa  u zilish ga 
e g a  ek an lig in i  ko ‘ rsating.
2 0 .2 7 .  a  n in g q an d ay  q iym atid a ushbu
I
-------
e
  1 

x + v
 
* 0  
b o ' i g a n d a ,
x +
 
y
a, 
x
 + у  = 0 
bo' \ganda
fun ksiya  R2  da u zlu k siz boMadi.
20.28.  a  v a   * n ing q an d ay  q iym atlarid a  ushbu
I
а,
 
.г2  + у 2  < 4  
bo ' i g a n d a .
4/9 -  x 2  -  у 2  -  V x2  + у 2  - 4 ,  
4 < x 2  + у 2  < 9 
bo'
 Ig 
anda.  
b,
 
x 2 
+ y 2 > 

bo' \ganda
funksiya  R7  da u zlu ksiz boMadi?
Q u yid agi  fu n k siyalarn in g   k o 'rsa tilg an   sohada  ch egaralan gan ligin i 
isbotlang,  uning  aniq  ch egaralarin i  toping  ham da  fu n k siyan in g  aniq 
ch egaralariga erishishi yo k i  erish m aslig in i  an iq lan g:
20.29.  u = 
x2 + 
у 2 
ф 0  .

+ У '
20.30.  u = ~ 
{
m
}= {(x.y): 0 < x2 + v2  <9}  .
X - 
+y
20.31.  и = - Й ^ г . 
x 4 
+ v4  * 0  .
x
  4- у
20.32.  u = xyev ,  {M} = 
{(x, 
y ) : 

> 0,  v > 0}  .
Q u yidagi  fu n k siyalarn in g   koM'satilgan  to 'p lam d a  tekis  u zlu ksiz 
ekan ligin i  ta ’ rifg a asosan  isbotlang:
20.33.  и -  
ax 

b y  

с,  (а 
* 0 ,6 * 0 ),  R~  .
20.34.  u = x7 +y2,  {m}= {(x,y):x2 + y 2 
< l}  
.
20.35.  и = J x 7 + 
у 2
,  {м}= {(x,y): |x| < 
с о , 
|y| < ooj  .
20.36. 
и 
.Jx2 + y 2 + r 2,  R1.
20.37.  u = x3- y ! , 
{A/} 
= {(x,y): 1 < x <2,  0243

20.38. 
и  -  
- ; -  ' ■
,  , 
[М)=
 {(л, 
у
): 0 < 
х 2
 + 
у 2
  < 25}  .
20.39.  н = лу sin- .   {.'/}= {(-V, v): 0 < ,v < 1.  О < v < l}  .
у
20.40.  и -  ln(x'2 + у : ).  {М} = {(.т.у): л': +у:  > l)  t.
Q uyidagi  fu n ksiyalarn in g  k o 'rsatilg an   to 'p lam d a  tekis  uzluksiz 
e m aslig in i  k o 'rsatin g :
I  4  I
2 0 . 4 1 .  
и = —-— 4 —,  {Л/} = \{x, v ): 0 < x2 +  v2  < 1 j  .
x‘ +y*
20.42.  и = xsin —,  {Л/}= {(.v, v): 0 < x < 1,  0 < v < l{  .
у
2 0 . 4 3 . 1 1  

^
1
,  
{м}= 
{(
x

t) : 0 < 
дг: 
+ у


l}  .
20.44. 
11
 = sin----------{м} = {(лг. v): x2 + 
1
:  < l]  .
20.45. 
11
 = sin —;— ----,  {M 

= {(jc. v): x2 + 
1
:  .t'  + у  -1 
’ 
1
Q u yidagi  fun ksiyalarn i  k o 'rsa tilg an   to'plam da  tekis  u zlu k sizlik k a 
tekshiring:
20.46.  и = 2x- 3j> + 
5. 
{А/} = {(.v,у ): 
|x| 

00, 
|y| < 
0 0 } 
.
20.47.  и = JT -x 2 -  у 2,  {Л/} = {(-v,y): jc-  + y :  <4}  .
20.48. 
11
 = arcsin —, [
m
) = 
: |jj < .v}  .
20.49.  u =/(x.y)  fu n k siya  R2  da  uzluksiz  b o 'lsa ,  и = fix,v) 
r
2  da 
tekis u zlu k siz b o 'lad im i?
M ustaqil yechish  uchun  m isollarning ja v o b la ri
20
.
1

0(0;0).
20.2.  0(0:0).
20.3.  ,r: + y : =9-  aylan an in g  ham m a  nuqtalari.
20.4.  x+)' = ochiziqning  ham m a nuqtalari.
20.5.  у = о  to 'g 'r i  ch iziqn in g  ham m a nuqtalari.
20.6.  K oordinata o 'q la rin in g  ham m a  nuqtalari.
20.7. 
0
(
0
;
0
)- yo 'q o tilish i  m um kin  b o 'lg an  u zilish   nuqtasi.
20.8.  0(0:0).
20.9. 
x+у = 
0
  ch iziqn in g  (1 ;-1 )  va  (-1 ;1 )  nuqtalardan  boshqa 
ham m a  nuqtalari  uzilish  nuqtalari  b o 'lad i,  (1 ;-1 )  v a  (-1 ;1 )  nuqtalar  esa, 
y o 'q o tilish i  m um kin  b o 'lgan   uzilish   nuqtalari  b o 'lad i.
244

2 0 .1 0 .  {лк;яп\ k,n e Z.
20.11. 
0
(
0
;
0
)  yo 'q o tilish i  m um kin  boMgan  uzilish   nuqtasi.
2 0 .1 2 .  (nk,7ni), k.neZ.
2 0 .1 3 .  U zilish   nuqtalari y o ‘ q.
20.14. 
о 
v a 
a
 
nuqtalarida funksiya liar bir argumenti bo'yicha uzluksiz.
20.15. 
о 
va 
a
 
nuqtalarda  fu n k siya  har  b ir  argum enti  v a   ham m a 
argum entlari  b o 'y ic h a  b ir y o 'la  uzluksiz.
2 0 .1 6 .  о  nuqtada  fu n k siya  har  bir  argum enti  v a  ham m a 
argum entlari  b o 'y ic h a   b ir  y o 'la   uzlu ksiz, 
a
  nuqtada  esa,  har  bir 
argum enti  v a ham m a argum entlari  b o 'y ic h a   b ir y o 'la  u z ilish g a ega.
20.17. 
о 
nuqtada funksiya  *  argumenti  bo'yicha uzluksiz,  у  argumenti 
va  hamma  argumentlari  bo'yicha  bir  y o 'la   uzilishga  ega.  a  nuqtada  har  bir 
argumenti va hamma argumentlari bo'yicha b iry o 'la  uzluksiz.
2 0 .1 8 . 
о 
nuqtada  fu n k siya  har  b ir  argum enti  v a   ham m a 
argum entlari  b o 'y ic h a  bir y o 'la   u zlu k siz;  л  nuqtada  har b ir argum enti  va 
ham m a argum entlari  b o 'y ic h a  b ir y o 'la  u z ilish g a  ega.
2 0 .1 9 .  C h egaralan gan.
2 0 .2 0 .  C h egaralan m agan .
2 0 .2 1 .  C h egaralan gan.
2 0 .2 2 .  C h egaralan m agan .
2 0 .2 3 .  l)  Ha. 
2
)  Ha.  3)  Y o 'q .
2 0 .2 4 .  i)  1 .2 )  -i\   3)  - l .   4)  M avju d   em as.
2 0 .2 5 .  l)  0 .2 )   o.
2 0 .2 7 .  о .
2 0 .2 8 . 

= 4ь,  ь = -45.
20.29. 
supu = l ,  bunga  erish ad i,  m asalan ,  (ко)  nuqtada,  infu = - l ,  
bunga erishadi,  m asalan,  (o,  l)  nuqtada.
2 0 .3 0 . 
sup« = 8 l,  bunga  erish ad i,  m asalan ,  (0:3)  nuqtada,  inf и = 0, 
bunga erish m aydi.
20.31. 
sup» = 0,5,  bunga  erish ad i,  m asalan ,  (l. l)  nuqtada,  infu = o, 
bunga erishadi,  m asalan ,  (o,i)  nuqtada.
20.32. 
supu = - ,   bunga  erish ad i,  m asalan ,  (l; l)  nuqtada,  infu = o,
e
bunga erish ad i,  m asalan ,  (o,o)  nuqtada.
2 0 .3 3 . T ekis uzluksiz.
2 0 .3 4 . T ekis uzluksiz.
2 0 .3 5 . T ekis u zlu k siz em as.
20.36.  Y o 'q .
245

21  -§. Ko‘ p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy 
hosilalari va difTerensialiari
21.1.  Ko'p o'zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari.
u = f(M)=/(x„х2,...,хя)  fu n k siya  ochiq  {м}  ( {Л/} с  л " )  to 'p lam d a 
an iq lan gan   b o 'lsin .  Bu  to 'p lam d an  
m
(
x

x
2 ,
nuqtani  olam iz  va 
fu n k siyan in g 
xt 
argum en tiga 
дх<. 
orttirm a 
beram iz 
(qolgan 
argum entlarini  o 'zg arm as,  deb  h iso b laym iz ).  N atijad a,  fu n k siya  ham  
Д1 
и
 
orttirm a  o ladi.  Ushbu
A<."  _ f(xx.x2,...,xt_x,xk + Axk,xktl,.,x „)-f(x ,,x 2,...,x„) 
^21
  J)
А** 
Дх» 
’ 
nisbatni  q araym iz,  bunda 
M ( x l . x 1 , . . . , x t _i , x i   +
  Д х * , х ^ .......
, x „ ) e { M } .
2 1 .1 -ta ’ rif.  A g ar  Дх,-^0  da  (2 1 .1 )  nisbatning  lim iti  m avjud  va 
ch ek li  b o 'lsa ,  bu  lim it  f(x„x2,. ..,x j  fu n k siyan in g   M(x„x2,...,xJ  nuqtadagi 
xk  argum enti  b o 'y ic h a  xususiy hosilasi d e y ila d i  va
.... u
  /:.
ox„ 
oxk
kabi  b elg ilarn in g  biri  orqali yo z ila d i.  T a ’ rifg a k o 'ra ,
д и
 
,. 
А ,, 
и
—   =  lim 
8xt 
Axk
k o 'rin ish d a yo zish  m um kin.
2 1 .1 -m iso l.  2 1 .1 -ta’rifdan fo yd alan ib ,  ushbu
/(*.r)= 3J" J
fu n k siyan in g  o(o,o)  nuqtadagi  / ’,  f'y  x u su siy  h o silalarin i  hisoblang.
Y e c h ilis h i.  2 1 .1 -ta ’ rifga  k o 'ra ,  f[,  /,  x u su siy  h o silalarin i  topam iz:
3/(0,0) 
/ (0  + A x ,0 )- / (0 ,0 ) 
3 ^ - 1  


 
lim — --------- 
’  J
  v 
'
 =  lim ---------- = 2 In

=  ln 9 ,
ox
 
Ar-“l 
Ax 
■'MU 
Дх
V M  =  lim 
=  lim l l r l =ln3.
c> 
Ду 
A»-»0  Ay
D em ak,  /;(o,o)=,ln9  /,'(о,о) = in
3
.
2 1
.
2
-m isol.U shbu
fix, у)=yl(x- i)j +0’ - i ) 3 
fu n k siyan in g 
4 1
,
1
)  nuqtadagi 
/',  /, 
x u su siy   h o silalari  m avjud 
e m aslig in i  ko 'rsatin g.
Y e c h ilis h i.  Faraz  q ila y lik ,  (x ,j)*  (l; 
1
)  b o 'lsin ,  u  holda, 
f x,  f y 
x u su siy  h o silalarn i  topam iz:
246

f ,  U, у )
 =  , 
*   =   ■
 

f  'y (х, у )
 = 
=   ■ =------ -  ■
■J(x-i)
  +Cv-i) 
V(x_1)  +0'-0'
D em ak,  (x ,y )* (l;i)  da  b erilgan  fu n ksiyan in g  x u su siy  h o silalari 
m avjud.
2 1 .1 -ta’ rifg a  ko‘ ra,  b erilgan   fu n ksiyanin g  /,(i;i),  / Д и )  x u su siy 
h o silalarin i topam iz:
дх
 
Лг-*о 
Дх 
м
  Дх
2 М
, Вт Д 1 ± * Ж ! ) . И т М .
д\>
 
Лу-+0 
Ду 
\у-+0
 Д
у
B unda 
lim 
lim 
^   lim itlar har x il q iym atlarg a eg a boM ganligi
A*-*0 
Ax  Ay
-*О Ду
uchun,  lim itlar m avjud em as.
D em ak,  b erilgan  fu n ksiyanin g  л(1, 0  nuqtada x u su siy h o silalari 
m avjud em as.
2 1 .3 -m iso l. Q u yid agi:
1)  / (x , v) = arcsin —;  2) 
f ( x .
 v ,r )  = 
e "'
У
fu n k siyalarn in g  xu su siy h o silalarin i toping.
Y e c h ilis h i. 
l)  (arcsinu)' 
=-FL = f o r m u la g a  asosan, 
/ r'( x , y )  
va
y J\ — U 2
/ ,'( x ,y )  
x u su siy  ho silalarn i topam iz:
df 

1
.

5f 

x  ) _ 
yx
d x  

У
 
V.l' !  - - vI  ’ 
^  

f x ) : 
y l
m
'
2)  (e")=e“u'  form ulaga asosan,  b erilgan  fun ksiyanin g x u su siy
h o silalarin i  topam iz:
du 

du 
du
-— = 
e  

 vr.  —  = 
e
 

 xr,  —  = e 
-xy. 
cx 

dy 
dz
2 1 .4 -m iso l.  Ushbu 
u = - ( x 2  + v 2) + « > (x - y ) 
fu n k siya  — +— = 


v

’ 
dx 
d\>
tenglam ani  qanoatlantiradim i?
Y e c h ilis h i. 
D
h o silalarin i topam iz:
Y e c h ilis h i. 
D astlab, 
b erilgan  
fu n ksiyanin g 
—,  — 
x u su siy
Sx  0.-
Oil 
,( 

OU 
\
-  = x + 
  —  = 
y - < p ( x - y ) .  
dx 
a
у
Endi  bu x u su siy h o silalarn i ten g lam aga olib borib q o ‘yam iz :
x + 
 x  + y  => x  + y  ■ x  + y.
247

h o silali  d ifferen sial  ten g lam an in g yech im i ekan.
2 1 .1 -e s la tm a .  B erilgan   nuqtada  fu n k siyan in g  ham m a  x u su siy 
h o silalarin in g  m av ju d ligid an ,  un ing  shu  nuqtada  u zlu k siz lig i  kelib  
ch iq averm ayd i.  M asalan ,

XV
D em ak, 
u = - ( x l + y ' ) + < p ( x - y )
  fu n k siya  birinchi  tartibli  x u su siy
0

-
(0 ,0) 
СУ
=   o ,
(0 .0 )
x" 
+ v 2  *
 0 
b o ' l ga n d a ,  
и
  = •! 
x ‘  + y -

0  , 
x 2 + y 2  = 0 
bo' \ganda 
fu n ksiya  л/„(о,о)  nuqtada  u zlu k siz  em as,  lek in   bu  fu n k siya  ko ‘ rsatilgan  
nuqtada  x  v a  у  argum entlari  b o 'y ic h a   x u su siy h o silalarg a ega:
du
dx
  ,
chunki  /(x,o)=o,  /(o,y)=o.
21.2. 
K o ‘ p 
o'zgaruvchili 
funksiyaning
differensiallanuvchanligi  sh arti. 
u = / (u )
  fu n k siya 
{M}  ({M\c:Rm) 
to 'p lam d a 
b erilgan  
b o 'lsin . 
M a ’ lum ki, 
и
 = /(.w) 
fu n ksiyan in g 
m
(
x,,x2,...,x j  nuqtadagi  to 'liq   orttirm asi:
Ди  = /(дг,  +Лдг,,дг3  + Дх2,...,д:,„ 
+ A x „ ,)-f(x l,x2,...,xm) 
ifodadan  iborat (20 -§  g a  q aran g).
2 1 .2 -ta ’ rif.  A g ar 
u = f(M )
  fu n k siyan in g   M  nuqtadagi  to 'liq  
orttirm asini
Ди = 
А,
 Дх, + АДх, +... + 
АтЛхш
 + 
а 2Лх2 + ... + атАх^,
 
(2 1 .2 )
bunda, 
А,,А2....,Ат
  lar,  дх,.дх,,...,дхш larg a b o g 'liq   b o 'lm ag an   o 'zg arm aslar, 
a,,a2,...,a„  lar  esa,  Дх,,Дх3,...,Дх„  la rg a   b o g 'liq   v a  Ax, ->0,Дх, ->о,...,Дх„ -» 0  
da 
a,  ->o,a2 - » 0,...a„  ->о 
( Дг, = Дх, = ...Axm
 = 0 
b o 'lg an d a 
esa, 
or, = a , =... = a .  = о  deb  o lin ad i),  k o 'rin ish d a  ifo d alash   m um kin  b o 'lsa , 
f(\f)  fu n k siya  M (x,,x,,...,xJ  nuqtada differensiallanuvchi d eyilad i.
21.1-teorem a.  A g ar 
u   =  
/ ( m )  

/ ( x , , x , , . . . , x „ )  
fu n k siya  A/(x,,x,, ,.,x j  
nuqtada  d ifferen siallan u vch i  b o 'lsa , 
bu  fu n k siyan in g  
m ( x , , x , , . . . , x J  
nuqtada  barcha  argum entlari  b o 'y ic h a   x u su siy   h o silalari  m avjud  v a
—  =A,
  (i = l,2 ,...,» i) 
b o 'la d i,  bunda 
A
,.(1 = 1,2,...,
m)
 
lar  (2 1 .2 ) 
shartdan
ox,
topiladi.
21
.1-n atija.  (2 1 .2 ) d ifferen siallan u v ch an lik  shartini,
Ди = -^-Дх, + -^-Дх, + ... + -^-Дх„ 
+о(р)
 
(2 1 .3 )
дх, 
дх

'  
дхш
248

ko ‘ rin ish da 
yozish 
m um kin, 
bunda 
p -
 
m
( x | ; x , „ . . , * „ , )  
va 
л/,(.г, +д.г,,л-, 
+ Д х,,. , . , i .  + + Д х „)е 
{м} 
nuqtalar  o rasid agi 
m asofa,  y a ’ ni 
P
 = д/ах,3  + Д.х22  +... + 
Axm2.
21.2-n atija. 
A gar 

= f ( M
) 
fu n k siya 
M(x,,x,....* J  
nuqtada
d ifferen siallan uvch i  boMsa,  uning  toMiq  orttirm asi  (2 1 .2 ) 
sh ak lida 
tasvirlanish i  yago n adir.  A gar 


f { M
)  fu n k siya 
M ( x „ x 2,...,xm)
 
nuqtada 
d ifferen siallan uvch i  boMsa,  u  shu  nuqtada  u zluksiz b o ia d i.
21.2-teorem a.
 
A g ar 
и
 = / ( л / )  
fu n k siya 
м 0(х",-,х’’,)
 
nuqtaning  biror 
atrofida  barcha  argum entlari  b o 'y ic h a   x u su siy  h o silalarg a  eg a  bo‘ lib,  bu 
h o silalar  л/„  nuqtada  u zlu ksiz  bo‘ lsa,  u  holda,  berilgan   fu n k siya  M„ 
nuqtada differensiallanuvchi  boMadi.
21.6-m isol.  Ushbu  J(x,y) = lfx>-  fu n ksiyan in g 
0
(
0
.
0
)  nuqtada xusu siy 
h o silalarg a  eg alig in i  va  u  shu  nuqtada  d ifferen siallan uvch i  em asligin i 
k o 'rsatin g.
Yechilishi.  T a ’rifdan  foydalanib,  berilgan  fu n ksiyanin g 
0
(
0
.
0

nuqtadagi  x u su siy  h o silalarin i  topam iz:
g/(Q- 
0
) =  lim /(
0
+At,
0
) - /(
0
,
0
) =  Hm УдГо  =
дх
 
Ax 
''-x '  Ax
a/(° ’ 0) 
li m / ( a   0 + M - / ( 0 , 0 )  
q
dy 
Av->° 
Ду 
Ai->О
  Ду
0(0, о)  nuqtada berilgan  fu n ksiyan in g to ‘ la orttirm asini  topam iz:
4/"(0>  0) = /(Д х,  Д>)~ /(О,  О) = 
\[Kx&y 
.
 
( * )
F araz q ila y lik ,  berilgan   funksiyao(o, 
0
)  nuqtada d ifferensiallanuvchi 
boMsin.  U holda,  (* ) orttirm a  ushbu
Л/(0,  0) = 
/■
 (0,  0)Дх + /,' (0,  0)Av + 
o ( p )
k o 'rin ish d a  ifodalanadi,  bunda  p = 
^/лх2 
+ Av2  .  Q u yidagi  lim itlarni 
q araym iz:
Д/(0,0) -  
f x
 (O,  0)Ax + /   (O,  0)A_v 
lim ---------------- ------------   —------------- =  lim 
=  *  0.
A g ar  л* = Ay
- » 0
  da 
=
V
a x
2 + A
v

|A
x
|V2
Demak,  berilgan  fu n ksiya 
0
(
0
,
0
)  nuqtada  differensiallanuvchi 
em as.
21.3. 
K o‘ p  o ‘zgaruvchili  funksiyaning  differensiali. 
и = /(м) 
funksiya  {м}  ({W}O/tO

A/(x,,Xj,...,x„)e{w} 
n u q tad a  d iffe re n s ia lla n u v c h i  boM sin.  U  h o ld a  u = / (
м

fu n k s iy a n in g   Ди toMiq o rttirm a si  u ch u n   (2 1 .2 ) fo rm u la  o 'r in li:
Ди = Л,Дх, + ... + Л„Дх„ + а,Дх, +... + 
а„Ахт 
.
2 1 .3 - ta ’ r if . 
и
 = 
/ (м )
  f u n k s iy a   л н  o rttirm a sin in g   лх,,лх,,...,лх„,  la rg a  
n isb atan   c h iz iq li  bosh  q is m i,  u = / ( u )   fu n k s iy a n in g  
м
  n u q tad ag i 
differensiali  (to ‘liq  differensiali)  deb 
a ta la d i 
v a 
y, 
du,   d f
 
y o k i 
d f ( x „ x , , . . . , x , )
 
k a b i  b e lg ila n a d i.
D em ak,
d u - d f  

d f ( x , , x 2
......
■*„)= 

^гДхг +... + 
A„Axm
 
(2 1 .4 )
2 1 .1 -teorem ani 
e ’tib o rga 
o lsak, 

holda, 
(2 1 .4 ) 
fu n k siya 
d ifferen sialin i  q u yid ag i,

du
  , 
Su 
c u
 
n t
du
  =  — 
Ax.
  +  —  Ал,  + ... + 
Ax., 
(Z I . J  >
av, 

5x; 

dxm
ko 'rin ish d a 
ham  
vozish 
m um kin. 
x,  (/ = 1,2,...,яг) 
o 'zgaru v ch in in g
d ifferen siali  dx,  (; = 
l,2,...,m) 
deb,  ix tiy o riy   (x,,x,....x j   larga  b o g 'liq
boMmagan  son  tush un iladi.  Bu  sonni,  bundan  k ey in,  Ax,  (/ = i.2,...,m)  g a
teng deb  o lish g a k elish ib  o lam iz, y a ’ ni  dx,—дх,  (< = 
1,2
....«<).  B u kelishu vni
e ’ tiborga olsak,  (2 1 .5 ) ni  q u yid ag i,
d u  = —■
  dx,
  + —  
dx2
  + ...+  

dxm
 
( 2  
1
. 6 )
dx, 
ex. 
ex.,
ko 'rin ish d a yo zish   m um kin.
5 .6 -m iso l.  Ushbu 

= e'2'’  fu k siya n in g  
dz
 
birinchi  tartibli  toMiq 
d ifferen sialin i toping.
Y e c h ilis h i.  B erilgan   fun ksiyad an   x  v a   v  o 'z g a ru v c h ila r b o 'y ic h a  
xu su siy  h o silalarn i  topam iz:
— = 
У 

e*2yl Ix y -,
  — = L‘V  
У 

2x: v.
dx 
f  
1
 

d y   ~ 
1
T opilgan 
birinchi 
tartibli 
x u su siy 
h o silalarn i 
dz = zxdx+zydy 
form ulaga k eltirib  q o 'y a m iz
dz -  e *2y~ 2xy ' d x + e ’r y ‘ 2x ' v d y  = e x~'  2xy( ydx
 + 
x d v ) .
2 1 .7 - 
m is o l. 
F u n k siyan in g orttirm asini  uning d ifferen sialig a 
alm ashtirib, 
ush b u   (о,98)гм 
sonni  taq ribiy  hiso b lan g.
Y e c h ilis h i.Q u y id a g i 

xy
 
fu n k s iy a n i  q a ra y m iz .  B u   fu n k s iy a n in g  
(
1
:
2
)  n u q ta d a g i  q iy m a ti 
u (i;
2
)= i  boM adi. 
u = xy
  fu n k s iy a n in g   (0,98.2,01) 
n u q tad ag i  q iy m a tin i  h is o b la y m iz .
D astlab  
и = xy
  f u n k s iy a n in g   (i;
2
)  n u q ta d a g i 
и,, u\
  x u s u s iy
h o sila la rin i  to p am iz :
250

u ,  = 
у х 1" ' ,  u x(
 1 ;2 ) = 2; 
u'y  = xy
 Inx,  « „ ( l; 2) = 0.
B erilgan   sonni 
n(x+ Ax, y+Ay
) *  u(x, 
у ) + и ж( х, у )Ах
+ « '  (дг, 
у )  Ay
 
form ula 
bo‘y ic h a  hiso b laym iz,  bunda 
Дх = 
-о,
02, 
Ay =
 0 ,0 1 ,
(0,98)!01 = n(l -0 ,0 2 ,2  + 0 ,0 1) *  u(l;2 )+  u j(l:  2)Дх + и'„(1;  2)Д
y  =
= l + 2  (-0 ,0 2 )+ 0   0,01 = 0 ,9 6 .
21.4.  K o ‘ p  o'zgaruvchili  m urakkab  funksiyaning  hosilasi.
и = /(w ) = f(xl,x1,...,xm)  fu n k siya  {
m
}  ({M}
cz
R"')  to 'p lam d a  b erilgan   b o 'lib ,
x,,x2.... xm
 
o 'z g aru v ch ilam in g  
har 
biri, 
o ‘z 
navbatida,
o 'zg aru v ch ilarn in g   fun ksiyasi  sifatida,  {v}  ({N}
c
R“)  to 'p lam d a  b erilgan 
fu n k siya lar b o 'lsin :
*i  = tP\ 
),
X,  =(3,(<|, <„... гД 
( 2 1 7 )
= «>„(',,f2.~A)
Bunda, 
(f,,t2, . ) e  {/v} 
b o 'lgan d a, 
unga 
mos 
kelgan 
т)е.{м}  b o 'lsin ,  deb faraz qilinadi.  N atijada,  ushbu
И=/(Р|(',>*2.-Л). 
....‘Л
-
.....O)
k o 'p  o 'z g aru v ch ili  m urakkab  fu n ksiyaga eg a  b o 'lam iz.
21.3-teorem a.  A g ar  (2 1 .7 )  fn k siyalarn in g  har  biri  w0(f,V?,...,r'’)e {w} 
nuqtada  d ifferen siallan uvch i  b o 'lib .  и = 
/ ( x ,,x ,,....x J  
fun ksiya  esa,  unga 
mos 
(*? = * ( « , . . . , / ; )  xj = * > , ( « , *!   = л . ( М . - л в))
nuqtada  differen siallan uvch i  b o 'lsa,  u  holda,  /(«>,(/, 
,t,,...,tk 
m urakkab  fu n k siya 
ham 
$,...,$)  nuqtada  d ifferensiallanuvchi 
b o 'lad i  va uning  x u su siy h osilalari
(
2 1
.
8
)
du
du dxl
d u
d x .
d u
d x m
dt, 
'
d x .
dt,
d x 2
d f,
d x m d t
,  ?
du
du dx,
d u
d u
dt7
dx,
V
**2

~
d t 2
du
du dx
,
дм <**2
d u
d x m
dt,
dx
,
d x .
d x m
form ulalar orqali  topiladi.
21.4-eslatm a.  X u su siy  holda,  (2 1 .8 )  dagi  fu n ksiyalarn in g  har  biri 
faqat  bitta  t  g a  b o g 'liq   b o 'lsa ,  u  holda,  biz  faqat  i  g a  b o g 'liq   b o 'lgan  
u = /{x„x„...,xm),xl =pl(t)  (* = 
1
,
2
,...,*)  m urakkab  fu n k siya g a  eg a  b o 'lam iz. 
Bu  m urakkab fu n k siyan in g hosilasi
du   _  d u   dx,  ^  d u   dx, 
d u   dxm
dt  
dx\  dt 
dx,  dt  
dxm 
dt
251

form ula b o 'y ic h a  topiladi.
Ikki  o'zgaruvchili funksiya  uchun  zanjir  qoidasi:  A gar  w = 
f ( x , y )  
d iferen siallan u v ch i  fu n k siya,  .r  va  у  lar  esa,  /  erk li  o 'z g aru v ch in in g  
d iferen siallan u vch i  fu n k siya lari  b o 'lsa ,  u  holda,  w funksiya  ham  t  erkli 
o 'zg aru v ch in in g  d iferen siallan u v ch i  fun ksiyasi  b o 'lad i  va 
^  = dW_dx_+dW_dy_ 
dt 
dx 
dt 
d y  
dt 
form ula o 'rin li.
Bu  tasd iq n in g  «d arax t 
d iag ram m asi» 
q u yid ag ich a:
  ni  topish  uchun,  w  dan
boshlab,  har  b ir  y o 'l  b o 'y ic h a  
pastga  qarab  h arakat  q ilin ib , 
y o 'ld a  
uchragan 
h o silalar 
k o 'p a y tirilib , 
so 'n g ra  
u lar 
q o 'sh ilad i:

81V d y  
dt 
dx  dt 
d y   dt
Uch  o ‘zgaruvchili  murakkab  funksiya  uchun  zanjir  qoidasi:  A g ar 
w = 
f ( x , y , : )
 
d iferen siallan u vch i  fu n k siya,  * ,  у  va  г  lar  esa, 
t  erkli 
o 'zg aru v ch in in g   d iferen siallan u v ch i  fu n k siyalari  b o 'lsa ,  u  holda,  w 
fu n k siya  ham   t  erk li  o 'z g aru v ch in in g   d iferen siallan u vch i  fu n k siyasi 
b o 'lad i  va
dW__5V^dx  (W_dy  dW dz 
dt  
dx  dt  
d y   dt 
dz  dt
form ula o 'rin li.
Bu 
tasd iq n in g 
«d arax t 
d iag ram m asi»  q u yid ag ich a:
ni  topish  uchun,  w  dan  boshlab 
har  bir  y o 'l  b o 'y ic h a   pastga 
qarab  h arakat  q ilin ib ,  y o 'ld a  
uchragan  h o silalar k o 'p a y tirilib , 
so 'n g ra  u lar q o 'sh ila d i:
 
dt 
dx  dt 
d y   dt 
dz  dt
Ikkita  erkli  о ‘zgaruvchi va  uchta  о ‘rta  о 'zgaruvchilar  uchun zanjir 
qoidasi: 
A gar 
w = f ( x , y , z ) 
x = g ( r , s ) ,  
y  
= h(r,s) 
v a  
z = k( r , s )
w  -  A x . r . z )
 
eticsiz o’zgennrchi
erkli o’zguuvchi
1г = Лкг)
trk a z   o’zgaruvchi
—  
air
d,
a , /
<
dx
dl

у
 
o’rta o’zgMUVchilar
/
dt
252

d iferen siallan uvch i  fu n k siyalar  bo‘ lsa,  u  holda,  iv  fu n k siya  ham  /•  va  .v 
erkli  o ‘zgaru v ch ilarga  nisbatan  x u su siy  h o silalarg a  eg a  b o 'lad i  va  ular 
uchun,
aw 
dlV dx  dW d y   dW dz 
IV  _  dW dx  ^
  dW d y
 

dlV dz 
d r  
dx  d r  
d y   dr 
dz  d r
 ’ 
ds 
dx  ds 
dy;  ds 
dz  ds 
fo rm ulalar o 'rin li.
dW 
dW
Bu  tasdiqning  «d araxt  d iagram m asi»  q u yid ag ich a:  — ,  -—  ni
d r  
ds
topish  uchun,  w  dan  boshlab  har  bir  y o 'l  b o 'y ic h a   pastga  qarab  harakat 
q ilin ib , y o 'ld a  uchragan  h o silalar k o 'p aytirilib ,  so 'n g ra u lar q o 'sh ilad i:
dW 
d W dx  c W  d y   dW dz 
dW  _  dW dx
 ^  
o W dy>
 + 
dW dz
dr  
dx  d r  
d y   d r  
dz  dr
 * 
ds 
dx  ds 
d y   ds 
dz  ds
A g ar 
w  = f ( x ) ,   x 
= g(r.s)  diferensiallanuvchi  fu n k siyalar  b o 'lsa,  u 
holda,  w  fu n k siya  ham  r  va 
5
  erkli  o 'z g aru v ch ilarg a  nisbatan  xusu siy 
h o silalarg a eg a b o 'lad i  va u lar uchun,
dW
  _ 
d W dx 
dW  _ d W dx 
dr  
dx  d r  
ds  
dx  ds
fo rm ulalar o 'rin li.
Bu  tasdiqn in g  “daraxt  d iagram m asi”  q u yid agich a:  — ,  —   larni
di■ 
ds
topish  uchun,  w  dan  boshlab  harakat  q ilin ib ,  —   hosila  x  o'rta
dx
o 'zg aru v ch in in g  
r 
va  ^ 
erkli  o 'z g aru v ch ilar  b o 'yich a  xusu siy 
h o silalarig a k o 'p a y tirila d i:
253

Г  = 
f i x)
e rk az o'zgeruvchi
d W
  = 
d W dx 
d r  
dx  d r '
o ’rta o’zg aruydii
erkli  o'zgaruvchilar
d w
  _  
d i v  dx 
ds 
dx  ds
w = / ( * i . j c i , = -x,(r), 
x2  = x,(t),
.....
,x„  =x„(i) 
(п  t a o ‘ rta
o 'z g aru v c h ilar,  bitta erk li  o ‘ zgaruvch i  holi)  boMsa, d araxt diagram m asi
erksiz o ’zgaruvchi
о ’tie  o ’zgaruvchilar
erkli  o’zgaruvchi
ko 'rin ish n i  o lad i  v a  w  fu n k siyan in g  t  erkli  o ‘ zgaru vch i  bo‘y ic h a   to‘ liq 
hosilasi,
d w   _  d f   dx, 
d f   dx, 
d f   dx

d l  
dx,  dt 
dx,  dt
 
fix,, 
dt
form ula bo‘y ic h a  hisoblanadi.
w  = f ( x , , x , , . " , x „ ) , x ,
  = 

,(/,,t2,...,/„)

.......
,x„
fu n k siya uchun “daraxt d iagram m asi”
254

eric six o’xgaruvchi
o’rta o’zgamvdular
erkli o'zgaiuvthilar
b o 'y ic h a  x u su siy  h o silalari,
oil’ 
c f  dx

d f  dx,
--- --- ----- ^ +
8w  _  df  ox, 
d f  dx2
= 1,2.

df
dx„
dx„
dt.  ’

5f
dx„
dx„ dt2
dx,,
5»  _ 
c f
  <3x, 
Bf  dx.
5tm
 
Эх, 
8 t d x
 j 
8t„ 
dxn  dtm
fo rm u lalar yordam ida  hisoblanadi.
21 .8 -m iso l. 
Ushbu 
IV =.x2 -  xy,  x = \ - r ,  y  = t4 
m urakkab 
fu n ksiyan in g  o)zanjir  qoidasidan  foydalanib:  ь)  bevosita  t  b o 'yich a 
d ifferen siaiab . 
ni  t  ning  fu n k siyasi  sifatid a  ifodalang,  so 'n gra  ^
ning berilgan  t = 1  nuqtadagi  q iym atin i  toping.
Y e c h ilis h i.
,, 
dW 
a)
 ----- 
dl
П1
efksiz
o'zaanivcln
topish 
uchun, 
«d arax t  - 11 
* К  
d iag ram m asi»g a asosan,  iv  dan 
boshlab,  har  bir  y o 'l  b o 'yich a 
p astga 
qarab 
harakat 
qilib, 
y o 'ld a  
uchragan 
hosilalarni 
k o 'p aytiram iz ,  so 'n g ra  ularni 
q o 'sh am iz:
v  o'rtn 
o'zearuvcbilar
erkli  o'zaaruvclii
dW = 3IVdx + W d y  = (3 _ 6/: 
2t)+^  _  у  = ^   , 
у
dt 
dx  dt 
dy  dl  V 
Л 
  V 
r  
\ 
/
255

= 2 t ( 4 r - 3 )
 
= 2. 
t =
 1 
1, = 1
M urakkab  fu n ksiyan in g  —   h o silasin i  f ^  = £ !L f^+£ iL ^   form ula
dt 
dt 
dx  dt 
m   dt
bo‘y ic h a topam iz:
dJ L  = 3x ' - y  = i \ - , ' ] - t ' = 3 - 6 , ' + 7 , \   ™ = - x = r - \ ,
  —  = 
-2/,
 
—  = 4 ( ', 
dx 
dy 
dt 
dt
^  = Э £ ^  + £ £ ф  = (з_ 6(:+  ^  

^  
^
dt 
dx  dt 
dy  dt
 

/
Endi,  —   ning b erilgan   < = i  nuqtadagi  qiym atin i  topam iz:
dt
dW 
dt
2 1 .9 -m iso l.  Ushbu  г = e V ,  


u7 - v \   y  


v  m urakkab 
fu n ksiyanin g x u su siy  h o silasin i  toping.
Y e c h ilis h i. 
z(x(u,v),y(u,v))
 
m urakkab  fu n ksiyan in g  x u su siy 
hosilasini  topish  form ulasidan fo yd alan am iz:
dz 
x
 
2
 
fix 
dx 
dx 

dy 
dy
- = e   v   , 
—  = 2w ,  
—  = - 2 v   ,  —  = 2ve  , 
—  = v, 
—  = u,  
dx 
du 
dv
 
fiv 

du 
dv
dz 
dz  dx 
dz  dv
 
,  

i  
j
 

—  = --------- + --------
— ~ e   v   ■2u + 2 y e   v - 2 e  
и  v   +2uv   e  
-
ou 
dx  du 
dy  du
= 2u v * (ir + l)e" 
,
c r  
fir 
dx  dz
  fiv 
, 1
 
.   „ 



r
 
,   !  ;
—  = 
- ----- -  = f   v   ■(-2v) + 2ve  • 
и  = 2e  y ( u  -
 vj’) = 
2e 
u v ( u - v ' u )  =
dv 
dx  dv  dy  dv
= 2 e “, - V v ( l - v : ).
u = f(xt,x2,...,xj  fu n k siya  {M) <= R"  to 'p lam d a b erilgan   bo‘ lsin.
21 .4 -  t a ’ rif.  A g ar  {а/}  ({Л/}с 
Rm)
 
to 'p lam n in g   har  bir  n uqtasida  va 
"har bir 
t
 
la r uchun
f(tx„tx,....,tx") = t l’f ( x i,x
 
О  
( 2 1 . 9 )
te n g lik   b ajarilsa, 


f ( x „ x .
.....x j   fu n k siy a 
[
m
]  ({M}
 
to 'p lam d a 
p -
d arajali birjinsli funksiya d e y ila d i.
2 1 .4 -te o re m a   ( b ir jin s li  f u n k s iy a la r   h a q id a   E y le r   te o re m a si). 
A gar  и = /
( * , , f unks i ya  {M}  to 'p lam d a  d ifferen siallan u vch i  p- 
d arajali  b irjin sli  fu n k siya  b o 'lsa ,  u  holda  {M}  to 'p lam n in g   har  bir
m
{
x
,,
x
2....,
x
„)
 
n uqtasida 
—  
+... + — - х я = pu
 
te n g lik  o 'rin li.
dxx 
ox2 
dxm
2 1 .1 0 -m iso l.  A g ar 
f( x .y .z )
 
fu n k siya  {M}  to’ plam da  d ifferen sialla­
nuvchi 
p
 
-d arajali  b irjin sli  fu n k siy a  b o 'lsa , 
f x(x,y,z),  f ( x ,y ,z ) , f ( x ,v ,z )  
xu su siy  h o silalari  p - i- d a r a ja li  b irjin sli  fu n k siy a lar ek an lig in i  isbotlang.
Y e c h ilis h i.  Sh artga k o 'ra ,
f(tx,C\>,tz)
 = 
t r f(x ,y ,z )
2 5 6

b o 'lib ,  ten g likn in g  chap  tomoni  differen siallan uvch i.  T englikni 
x 
b o 'y ic h a d ifferen siallaym iz:
/,(«, iy, ’-)f = t"f'Ax>y>: )  y°ki  /X», V, ft) = ''"'/X*, >',-)•
Bundan  / (x,y,r)  fun ksiya  p - l -   d arajali  b irjin sli  fu n k siya  ekan ligi 
k elib   chiqadi.  /,,(*,y,r)  va  / ’(*.y>-)  fu n k siyalarn in g  ham   p - i -   darajali 
b irjin sli  fun ksiya ek an ligi  xudi  yuqo rid agid ek k o ‘ rsatiladi.
21.5. 
Differensial  shakli  invariantligining saqlanishi. 
u = f(M) = f(x„x7,...,xm)  fu n ksiya  {л/}  ( ( M } c f )   to 'p lam da  berilgan 
b o 'lsin .  B iz  yuqo rida  ko 'rgan   edikki,  ag ar 
argum entlar  erkli
o 'z g aru v ch ilar b o 'lsa,  fun ksiyanin g d ifferen siali  (to 'liq   d ifferen siali)
du = —- dx, +  °U dx, +... + —--- dx 
(2 1 .1 0 )
obc, 
dx,  - 
dxm
k o 'rin ish d a  tasvirlanadi.  Endi  x,..r2. . ,.v„  argum entlar  erksiz  o 'zg aru v ch i­
li, 
y a ’ ni 
biror 
N„(t",t",...,tk)e {N} 
nuqtada, 
differensiallanuvchi
x,  = 
  (/ = 1,2....m) 
fun ksiyalar,  и = /(*,.*.,...,x j   fu n ksiya  esa,
....л^)  nuqtada  differensiallanuvchi  b o 'lsin .  deb  faraz q ila y lik .  Bu
holda,  u = f(x„x.....x.)  fun ksiyani,  tut2,...,tk  o 'zg aru v ch ilarn in g   m urakkab
fu n k siyasi  deb  q araym iz.  2 1 .3-teorem aga  asosan,  bu  m urakkab  fun ksiya 
N„  nuqtada d ifferensiallanuvchi  b o 'lad i v a uning d ifferen siali,
du = dudl] + 8u di,+...+  du  dtm
 
(2 1 .1 1 )
at
dt,  ■ 
dt„,
k o 'rin ish d a  tasv irlan ad i,  bunda  ^ l a r   (2 1 .8 )  form ulalar  orqali  topiladi.
du
—  lam in g   ifodalarini  (2 1 .8 )  dan  (2 1 .1 1 )  g a  keltirib   q o 'y ib   va
dti 
dxt
lam in g  ko effisien tlarin i jam lab ,  natijada
du ( dx.  , 
dx.  . 
ax, 
,  'I 
du  f dxm
 
дхт 
дхш
du =---   —'-dt, +—-dt, +... + —-dtk  +.- + - —  -r^-dt+~-dt2 + ... + ——dtk
dx\dt,  1  dt,  - 
dtk  k) 
dxm{ dt, 
dt, 
dt,
(
21
.
12
)
m unosabatni  hosil  q ilam iz.  M a ’ lum ki,  —   (< = 1,2,...,m)  ning  koeffitsiyenti,
dx,
x,  =^,(f1,f,,...,ft )  (i = 1,2,...,m) 
fun ksiyanin g 
dx,  (i = l,2,...,m) 
d ifferen sialin i 
ifo d alayd i.  Shuning uchun,  (2 1 .1 2 )  ning k o 'rin ish in i,  (2 1 .1 1 ) ko 'rin ish d a 
yo zish   m um kin.  D em ak, 
x,.x,,....x„
 
lar  erk siz  o 'z g aru v ch ilar  b o 'lgan d a 
ham ,  u = /(x„x2,...,xm)  fu n ksiyanin g  differen siali  (2 1 .1 1 )  ko 'rinishda 
b o 'la r  ekan,  y a ’ ni  k o 'p   o 'zg aru v ch ili  m urakkab  fu n ksiyanin g  birinchi 
tartibli  d ifferen siali  shakli  inv arian tligi  (k o 'rin ish i) saq lan ar ekan.
257

и = /(м)
  va  v = g(u)  funksiyalar  ochiq  {м}  ( | « ! с Г )   to‘ p!amda 
berilgan  boMib,  {a/}  to‘ pIamda  differensiallanuvchi  bo‘ Isa,  u  holda, 
u±v, ov,-(vseo)  funksiyalar ham shu 
м
  nuqtada  differensiallanuvchi  va 
ulaming differensiali  uchun,  quyidagi,
d(cu) = cdu 
(c = const) 
d(u± »') = du± d v
d(uv) = tidv + vdu, 
vdu-tutv
G - !
V
fo rm u la la ro ‘ rin li  b o 'la d i.
; 21.6.  Y o ‘ nalish  bo‘yicha  hosila.  G rad ien t.  M a ’ lu m ki,  b ir 
o 'z g a ru v c h ili  v = f(x)  (xeR,  yeR)  fu n k siyan in g 
—  h o silasi,  b erilgan
dx
fu n ksiyan in g 
o ‘ z g arish  
te z lig in i 
b ild irad i. 
Ko‘ p 
o 'z g a ru v c h ili
u = f(x„x.,...,xm)=f(M ) 
((x„x,,..,xm)eR",ueR) 
fu n k siyan in g 
x u su siy 
h o silalari  ham   b ir  o 'z g a ru v c h ili  fu n k siyan in g  h o silasi  kabi  ek an lig in i 
e ’ tiborga 
olib, 

Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   25   26   27   28   29   30   31   32   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling