A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet3/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39

'  t'yfa + t
\lax~
 
+1 
2a 
л/ах
2 +1
+  C
18

M isolni Maple tizintidan foydalanib yechish:
> I n t ( l/(t A2 * sq rt(a + tA2 )),t)= in t(l/(tA2 * sq rt(a + tA2 )),t);
t2
 л/ tf + Г
2
Га
7 )  J"
X
2  +1
4 x b - l x 4 
+ x '
shaklini o ‘ zgartiramiz:
dx 
integralda  avvalo,  integral  ostidagi  ifodaning
1+ Л
------ dx =
*  7г':;д': 
f-iT'
d\  x  —
di
X-~ x)
 
" 5
■J? - 5
bunda,  r = x - i .   Endi  integrallar  jadvalining  17-formulasiga  asosan.
X
integralni  hisoblaymiz. Natijada,
X2 +1
fln | » W r J 
-s| + C.l
=  In
J .
f 2 - 7  + - V
v l  
1 7
1
 
V
x ‘
+ C.
boMadi.
Misolni Maple tizimidan foydalanib yechish:
>  
In t((x A2 + l)/s q r t(x A6 -7 * x A4 + x A2 ),x )= in t((x A2 + l)/s q r t(x A6- 
7 * x A4 + x A2),x);
J x 6 -
 7 Л
-4  + 
P
dx -
x  ' j x 4
 -  7 
x 1
 
+ 1  Hnj^“  
j
 
+ -v2 + v *** -  7 .r2 +  1  | + arctanh...j j
./.Vй -  7 ,v
4 + дг
2.2. 
BoMaklab  integrallash  usuli. 
Integrallarni 
hisoblashda 
boMaklab  integrallash  usuli  muhim  usullardan  biri  hisoblanadi.  Bu  usul 
quyidagi tasdiqqa asoslangan:
u(x)  va
 
v(.r) 
funksiyalar  biror  x   oraliqda  aniqlangan  va 
differensiallanuvchi  bo'lsin.  Agar  shu  oraliqda
 
v
(* )
u
'(
jc
)  
funksiyaning 
boshlang'ich  funksiyasi  mavjud  bo'lsa,  и  holda
 
u U ) v ’ ( x )  
funksiyaning 
ham  boshlang 'ich funksiyasi mavjud bo 'ladi va
jt4 (x)v '(x)d x = u (x )v (x ) -  

v (x)u '(x)d x 
(2.8)
19

+ с
yoki
formula  o ‘ rinli.  (2.8 )  yoki  (2 .8 ')  formula  bo'laklab  integrallash 
formulasi  deyiladi.  (2 .8 )  formula  J«(x)v’(x)rfr 
integralni  hisoblash
masalasini, 
jv ( x )u '(x )d x  
integralni  hisoblash  masalasiga  olib  keladi.  K o‘ p 
hollarda, 
oxirgi 
integral, 
oldingi 
integralga 
qaraganda 
osonroq 
hisoblanadi.
2.3 - m isol.  Ushbu
j x “ ln x d x ,  a e R
integralni  hisoblang.
Y echilishi.  1)  A vva lo,  integralni 
a * -\
  b o ‘ lganda  xisoblaym iz.


ln x ,  dv 

x “ dx 
deb  belgilab, 
du 

- , v  

- — formulalarga asosan,
x 
ar + 
1
ar+l 

y*+l 
^a+l 
1
  /  
j
 =   [ x "   1плго!г =  —----- 1плг------------ Гx " d x   = -------- - I n - - -------—r  +  C   = --------  I n x ---------- -

a  +  l 
 +
1

a  +  l 
(ar +  l ) ‘ 
ar +  l v  
or +  
1
ekanligini topamiz.
2)  a = - i   boMsin.  Bu  holda
f x " ’  In xdx = 
=  f In x rf(ln x ) = 1  In
2  x  + C.

 
2
2.  4 -  m isol.  Ushbu
j x ! 3 'd x
integralni  hisoblang.
Y echilishi.  u = 
x 2 ,d v 
=
 
' dx 
deb  belgilab,  (2.8)  formulaga  asosan, 
topamiz:
du  =  2xd x,  v = ——   ,
ln3r 
(2.9)
\ x2  . ? d x  =  ?— ¥ —  —
\ x - y d x .

In3 
ln 3 J
Oxirgi  integralga  yana  (2.8 )  formulani  qoMlaymiz: 
u =  x ,d v  

y d x  
deb belgilab, (2 .8 )  formulaga asosan,
du  = d x,  v = —— 
ln 3

i . j  

_ *   3* 
3*
V_  1пЗ 
1пЗ^ 
ln3 
(ln3):
ekanligini olam iz.  Oxirgi  natijani  (2 .9 ) ga keltirib q o ‘ ysak,  natijada
t x 2 .
3
.   _ _ L  . x i y - ™
L + 2 ^ L = * L ( x 2 - b L

In з 
n . « !  
In з 1 
ln3
boMishini topamiz.
judv = u v -  jvdu
 
( 2 . 8   )
In3 
(ln 3 )J  T (ln 3 )3 
I n 3 ^  
In3 +  (|n3)2
20

Misolni Maple tizintidan foydalanib yechish:
>
  resta rt:w ith (stu den t):J = In t(((x)A2 )* (3 )Ax,x);
J  = j x 2 V d x
>  J = in tp a rts(In t(((x )A2 )* (3 )Ax ,x ),x A2);
J  =  — --------------f x - 3  Xdx
ln3 
ln 3 J
>  in tp a rts(% ,x );
>  v a lu e (% );
2.5 -  misol.  Ushbu
r  2 
3
ln(3) 
(In 3
) 2 
J  On 3)
J = x 2 >X
 
23-
lnl3)  ln(3
)2  1п|3)Г

j x 'a r c t g x   dx
integralni  hisoblang.
Y echilishi. 
u = arctgx

dv
 = 
x2dx
 
deb 
belgilaylik. 

holda,

x3
du =
 j—
-dx,
 v = y  . 
formulalarga 
asosan, 
integralning 
qiymati
x  2arctgx dx =  i  x 3 a rctg x- j J -
I  , 
1  r f  
x  
 
1  , 
x 2 

+
- x   arclgx
 
-  -  

x  -  
-----
-\dx 

- x   arctgx- 
—  

- I —---- --  ■

3
1  (  
1 +  дr  
J 


1 
1  +  x "
= -  x 3 a rc tg x -  —  + — In(l + x : ) + C





bo'ladi.
2.6-m isol.  Ushbu
Jx: sinxdi
integralni  hisoblang.
Y echilishi. 
Berilgan  integralni  hisoblash  uchun  u = x\  deb olib, (2.8 ) formulaga asosan, 
du 

2 x d x , v = - c o s x ,  
bo'lishini  topamiz. 
Unda
Jx2 sin 
xd x  = - x 2 
cosx + 2 jx cos 
xdx 
(2.10)
bo'ladi.  Oxirgi  munosabatning o 'n g  tomonidagi  integralni  hisoblash 
uchun  unga yana bir marta  (2.8) formulani qo'llaym iz:
и = x, dv = 
cos 
dx,  du =  dx, 


sinx
Bundan
J x ■
 cos 
x d x  

x  

 sin 
x  

 j
 sin 
x d x  -  x 
sin x + cosx.
ekanligini topamiz.  Olingan  natijani  (2.10) ga keltirib qo'yam iz.
21

Natijada,  Jx2 sin xdx = - x 2 cosx + 2xsin 
x  
+
 2cos.r =(2 - x 2)cosx + 2xsinx + C.
2.7-m isol.  / =  JVx2 
+a'dx
  integralni  hisoblang.
Y echilishi. 
и 

-Jx2
 
+ a2 
dv 

dx
 
deb  belgilab,  (2.8 )  formuladan 
foydalanib, berilgan integralni  quyidagi holga keltiramiz:
[V.Y2 + a 2 dx =  x - J  x 2  +  a 2  - f  
(
2 - 1 1 )
Vx: 
+ u :
(2.11)  ning  o ‘ ng  tomonidagi  integralni  hisoblashda,  integrallar 
jadvalining  17 - formulasidan  foydalanamiz:
f'T  ,+ a 
a  dx = I -  a '
  [  . 
dx
 
= / 
- a '
 Inlx + 
\l x 2  +a~
 I. 
(
1 2 )


4 7 7 7  
1
 
1
(2.12) ni  (2.11) ga olib  borib q o ‘ yish  natijasida,
JVx2 
+a'dx- ---*-^+Q 
+— Injx + 
\lx2
 + a*j + с 
(2.13)
ekanligini 
topamiz. 
2-bandda
  yechilgan 
misollarni 
tahlil 
qilish 
natijasida,  b o ia k la b   integrallash  usuli  bilan  hisoblanadigan  integral- 
larning  k o ‘ proq  qismini,  shartli  ravishda,  quyidagi  uch  guruhga  ajratish 
mumkin.
1.  Birinchi  guruhga  integral  ostidagi  funksiya  tarkibida  k o'pay- 
tuvchi  sifatida
In x. 
arc sin x,  a rc 
cosx, 
a rctg x, 
(arcsinx)'.
(arccosx)2, (arctgx)2,  lnp(x),...
funksiyalardan  biri  qatnashgan  integrallar  kiradi  (2.3,  2.5-misollarga 
qarang).
1-eslatm a.  Integral  ostidagi  funksiya tarkibida  ko'paytuvchi sifati­
da  (arctgx)2, (arccosx)2,...  funksiyalar qatnashsa,  integralni  hisoblashda (2.8) 
formula  ikki  marta  q o ‘ llaniladi.
2.  Ikkinchi  guruhga  f
p (x )c a s ( k x )d x

jp (x )s m (k x )d x ,  j p ( x ) a l'dx 
k o ‘ ri-
nishdagi  integrallar kiradi,  bunda
p(x) -
 o ‘ zgarmas  koeffisientli 
n -
 dara- 
jali  k o ‘ phad, 
к
  -  o ‘ zgarmas  son.
2-eslatm a.  Ikkinchi  guruhdagi  integrallarni  hisoblashda 
p(x)
  k o ‘ p- 
hadning  darajasi  qancha  b o ‘ lsa,  shuncha  marta  (2.8)  formula  qo'llan i- 
ladi,  bunda 
u(x)
  sifatida 
p(x)
  ni  olish  maqsadga  m uvofiq  b o ia d i.  (2.8) 
formula  har  bir  qoMlanganda, 
p(x)
  k o ‘ phadning  darajasi  bittaga 
kamayadi.  (2.4,  2.7-misollarga qarang).
3.  Uchinchi  guruhga,  quyidagi
j e * sm b xd x,
  Je" 
c o sb x d x ,
  jsin(lnx)c£c,  jcos(lnx)A\....
integrallar kiradi (2.6-m isoIga qarang).
22

Endi,  yuqorida  keltirilgan  uchta  guruhning  birortasiga  ham 
kirmaydigan,  lekin  (2.8)  boMaklab  integrallash  formulasi  yordamida 
hisoblanadigan  iutegrallarning ba'zilarini  qaraymiz.
2.8 - m isol.  Quyidagi
J
 = 
s'mbxdx.
 J,  = Je“ cos
bxdx 
(a ,b  = const) 
integrallarni  hisoblang.
Y echilishi. 
u = e " \  dv =  sin bxdx
 
deb belgilab,  (2.8 ) formulaga asosan,

,lv  . 
cos bx 
du = ae  d x ,v  = ------------
.  

Й 
(2-14)


cos 
bx 
a  г  a
 
,  ,
J
  = ---------------- и — 
\e
  cos 
bxdx

b }
boMishini  olamiz.  Oxirgi 
(2.14)  munosabatning  o ‘ ng  tomonidagi
integralni  hisoblash  uchun,  unga  yana  bir  marta  (2.8)  formulani
qoMlaymiz:  Bunda  u = e“ , 
dv
 

cos b xd x
 
deb  belgilaymiz.  U  holda,


sin 
bx
du  = a e   dx,  v
 = -------
b
|V“ cos 
bxdx =  -
—----- - - - - fe”  
s'mbxdx
 = -  
smi.v- — /. 
(2.15)

b 1 

b
 

'
(2.15) ni  (2.14) ga olib borib q o ‘ ysak,  natijada,
e "   ■ cos bx 


a~
1  = ------------------ + —  e  sm o.r------ r / ,

b 2 
b-

ga  nisbatan  birinchi  tartibli  chiziqli  tenglamani  hosil  qilamiz.  Bu
tenglamadan,

a s m b x - b c o s b x
  „

= ------- _---- 5------e
b~  + a '
ekanligi  kelib chiqadi.
Shunday  qilib,
t  ...
  .  ,  , 
a s i n b x - b c o s b x
 
„ 
,
e
  sm 
bxd x
 = ------- ;-----;-------
e  
+ C.
 
(2
.
16)

b ‘ + a -
 

1
Xuddi shunday usul  bilan,
г  „  

b sm b x +  a c o s b x
  ... 


!,  =  \e  c o s b x d x  = --------- -------:--------
+ C  
( 2 . 1 / )

a '
 
+
6

ekanligiga  ishonch  hosil qilish  mumkin.
2.9-m isol.  Ushbu
Jsin  X
integralni  hisoblang.
23

Y ech ilish i. 
Bu  integral  yuqoridagi  uch  guruh  integrallarning 
birortasiga  ham  kirmaydi,  lekin  u,  (2.8)  bo'laklab  integrallash  formulasi
yordamida, osongina hisoblanadi.  Bunda 


x,  dv 


^
  deb  belgilab,
sin" л"
r  x d x  

, 
r co s .r   ,
-----;—  =  - x c l g x  +  clg xd x = - x c lg x  +  ------- dx =
J sin ".r 

‘ 
J  sin.r
=  - x c l g x  + 
J — 
=  - x c l g x  + ln|«|_asmj  +  С  = -x c t g x  +  ln|sin x| +  С
bo'Iishini  topamiz.
2 .10-m isol. 
Ushbu
/„   =  f — ------- -—  
(a = const,  n =  
1,2,...,)

^  (x   + a   )"
integralni  hisoblang.
Y ech ilish i.  Bu  integral  ham  yuqorida  keltirilgan  uch  guruh 
integrallarning  birortasiga  ham  kirmaydi.  Bu  k o ‘ rinishdagi  integrallarni 
hisoblash  uchun 
rekurrent
  formula  keltirib  chiqaramiz:  buning  uchun 
и
 =  — ' 
dv 

dx 
deb belgilasak,
(x* +  a 2 J
du  =  -2 n x (x 2  + 2)  "  ' dx, 
v =  x.
bo'ladi.
U  holda,  (2.8 ) boMaklab  integrallash  formulasiga asosan,
/

dx 
 
_  r 
x~dx
{x2 + a2)' 
{x2 + a 2)‘
 
J (xI + » T  
+ 2/i/„ - 2
na2!.,.
(.v2 +a2)"
bo'ladi.  Bundan  /„+l  ni  topamiz:
^ ----- т-- h ——
I
n. 
(2.18)
2 n a 2( x !  +  a 2) ' 
2
 na~
Bu  rekurrent  formula,  /„+,  integralni  hisoblashni  /„  integralni 
hisoblashga.  y a ’ ni  indeksi  bitta  kam  bo'lgan   integralni  hisoblashga 
keltiradi.  (2.1 8)  rekurrent  formula, 
/, 
integral  hisoblanganda, 
/. 
integralni  hisoblashda 
hech  qanday  qiyinchilik  tug'dirm aydi.  O 'z  
navbatida,  / 2 
berilganda,  (2.1 8)  formulada 


2
 
deb,  /,  integral 
topiladi,  va  hokazo  и  ning  qolgan  boshqa  istalgan  qiymatiga  to 'g 'ri 
kelgan  integralni  hisoblash  hech  qanday  qiyinchilik  tug'dirmaydi.  /, 
integral  esa,  integrallar jad\alning  14-formulasiga asosan,  hisoblanadi. 
2.11  -m isol. 
Ushbu
/  =   JV a
-  x 2dx, 
a *  
0 .
integral  hisoblansin.
24

Y echilishi.  Berilgan  integral  yuqoridagi  uch  guruh  integrallaming 
birortasiga  ham  kirmaydi,  lekin  u  boMaklab  integrallash  usuli  bilan 
hisoblanadi.  Haqiqatan  ham, 
и  =  -Jn2 
-
x 2,  dv 

d x 
deb olinsa,  u holda 
du =  — j X~ -  
\  =  x , 
boMadi  va (2.8) formulaga asosan,
yla2-x 2
I
=  jVa; 
- x '  ix  

x -la 2 - x 2
  + 
J
x 'd x 
\Ja2 -  x
Oxirgi  munosabatning  o ‘ ng  tomonidagi 
integralni  hisoblash 
uchun,  integral  ostidagi  funksiyani  quyidagicha shakl  almashtiramiz:
x ' + a ' - a '  
a ‘ 
r~2
 
7*
т = г = - г г = ; - < а
  “ *'■
•Ja2 - x 2 
\la2 - x 2 
\la2- x
va hisoblaymiz:


dx
 =  f  , 
“■
  - 
dx
 -   f Va:  -  x
2 dx
 = ^-arcsin Д- -  /.


4 7 ^ 7
 


|a|
Shunday  qilib,  berilgan  integralni  hisoblash  uchun,
I  i 
A e 2 

  x 
i
l  =  x\a  - x
 
1+ —
a r c s m r - : - I

|a|
munosabatni  hosil qilamiz.  Bundan,
I =  ? i a± Z *L  + ° L a K 8 i a * + e .
 
( 2 . 1 9 )


H
2.12-m isol. 
Ushbu
1)  /   =  f 
^   dx,  n
 > 
2;  2) /,,  =  f sin" 
x d x,  n
 > 

J sin" jt 
J
k o ‘ rinishdagi  integrallarni  hisoblash  uchun  rekurrent  formulalar  keltirib 
chiqaring.
Y echilishi. 
1) 
f—
integralni  boMaklab  integrallash  usuli
Jsin"x
yordamida hisoblaymiz:
sin 
 
s i n ' i

^ ____ =
s i n "  
x
 
s i n "   2  x s i n ‘ 
x
du
 = 
(2 - «)sin'  " x ■ 
cosd x,
 
v = 
-ctg x\ =
 —
+
s m  
x
\r  c o s 2  X   , 
COSX 
/ -  
\r 
dx
+ (
2
- n )\   — ^ - d x  =  - — ^ -  +  ( 2 - n ) —
----
s in  
x
 
sm  
x
 
s m  
x
- ( 2 - » ) J - ^  = - ^
 + (2-»)/„-(2-«y„.,
s in  
‘  
x
 
s m  
x
Bundan,
/   = _ 
r + l z l L 
(2.20)
(n-l)sin" 
x
  n -l
25

(2.20)  rekurrent  formulani  qoMlashda,  avvalo, 
n =
 3  deb,  /,  =  f—
J  sin x
integrallar  hisoblanadi. 
integralni  hisoblash  yuqorida  ko'rsatildi
(2.7  formulaga qarang).
2 )/„ = jsin“ 
xdx
 
integralni 
hisoblashning 
rekurrent 
formulasini 
chiqarish  uchun,  uni  quyidagicha  bo'laklab  integral lay miz:
/ „   =  Jsin" x d x  = -J s in " -1 
xdcosx 
= [u = 
sin""' 
x,  dv = d c o s x , 
du 
(it- l)sin"‘ J .x  cos
x d x , 
v = cosx] = -co sx   sin
" '1 x +
+  ( /i - l ) J s i n " 'J x c o s -  x d x  =  - c o s x - s i n
"-1  x + ( n - l ) J s i n “"J x(l -  sin  x\jx = -  
=  -  cos x  ■ sm 
 + (n - l)/„ _ ,  -  (n - 1) /_ .
Bundan

cosxsin
" ' 1 

I t -
1 ,
/. = ---------------- + ------
L-2
n 
/7
ko'rinishdagi  rekurrent  formulani  topamiz.
M ustaqil  yecliish  uchun  tnisoilar
Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
.
\ x j ? ^ l d x .
 
..  Г
- j L = d x .
 
.. f- 
dx

J  s / 7 _ T 7  
J  ,
- V 3 - x ! 

2-4. 
2
.
5
.
.. j   2x~ - \ dx.
J  Jf  + *  
J  -X-  + x - 5  

8
 +  3 X -.X -
2.7. J
T - ^ - 5 
dx. 
2 .8 .J T £ r L = rfx, 
2 . 9 . г 1 ^ = М л .
V3x- -  5x + 
4  
J V2xT- 
x : 
J  -X
5
 
-  5x 
Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
5
1 0 . /- ! ф *  
"  
1 1 . J ^ d x ,  
1 2 . f—!— dx.
+ 7  
J  л- 

I n 
x
2.13.  f ^ d x .  
2.1 4 .  fx V
"*1 dx. 
2 .1 5 .f -5-jft-

x  
j  
J 9
 + 
5
* ’
л 4 ; г п г 7 л - 
2 .1 7 . 
2.18. f— --dv,
J 4 - e  
V i r + i  
J x i g x
Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
2 . 1 9 .  |tgxdx 
2 . 2 0 .   jctg xd x. 
2 . 2 1 .  j  sin XCOS
5
 
xdx.
.2 2 . J ^ d x .  
2 .2 3 . J. 
,s m *
dx.  
2 . 2 4 . 0 ^ - d x ,
л/ S i n x  
COS"  Y j c c \ 4 r  

ГПЧ  r
vSinx 
COS'X V c o s x  
J  COS  X
2.25. j   - - .;fr 

2.26. f ^ d x .  
2.27. f -   cos*
y c t g   x sin  X 
*  
J  sin" xVsiri
Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
2 6

2.28. J
2.31. 
fe
I - 4  arcsin л:
J l - x 2
dx
2 . 2 9 .   f 
^
x dx.
1
  l +  x ‘
1 sin xdx.
2.34. f —
j
 ?-
co sx d x
2.32. j  
2.35. j
sin хЛг 
c o s
2 x - 5  
dx
2.38. f - ^ A .
1  c h x
2.41. Г
J  c/t* r
1  2 + sin: x 
J  x\/ln
2 x - 5
Quyidagi  integrallarni  hisoblang:
2.37.  |
ch ' xshxdx.
2.40. f - ^ A .

sh  x
Integrallarni  hisoblang:
2.43. 
}x s in x < iY  
2.45. Ja 
-4 x )s in x < iY .
2 .4 7 .
} ( x  + 5)6*  dx 
2.49. 
} ( x
2  + 3)sinx*£r.
Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling