A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet30/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   39
§L t QL.... QL 
fu n k siy a la r 
ham , 
u = f(x.,x,,..,x)
oxx  oxz 
dxm
fu n ksiyan in g,  m os  ravish d a, 
Ox,,Ox2„..,Oxm
 
o ‘ q lar  b o 'y ic h a  
R"
 
da 
o 'z g arish  te z lig in i  ifo d ala y d i, deb qarash  m um kin.
Endi  k o ‘ p  o 'z g a ru v c h ili  fu n k siyan in g  ix tiy o riy   y o 'n a lis h   b o 'y ic h a  
o 'z g arish   te z lig in i  ifo dalo vch i  tushuncha  bilan  tanisham iz.  S o d d alik  
uchun,  uch  o 'z g a ru v c h ili 
fu n k siyan i  q araym iz. 
u = f{x,y,:)=f(M )
fu n k siya  ochiq  {
m
to 'p la m d a  b erilg an   b o 'lsin .  7 = 7(cosa,cosp,cosy) 
b irlik   vektor 
b ilan   an iq lan ad igan   biror  7  y o 'n a lish n i  q a ra y lik .  {A/} 
to 'p lam d a  ix tiy o riy   M0(x0,y0,:0)  nuqtani  olib,  bu  nuqta  o rqali  o 'tu v ch i,
y o 'n a lish i,  r = 7(cosa,cos p,cosy)  vekto r  y o 'n a lis h ig a   m os  kelgan   7 
yo 'n a lish n i  q a ra y lik .  7  y o 'n a lish d a   M0(x0,y0,:0)  nuqtaga  y a q in   yo tgan  
ix tiy o riy   o 'z g aru v ch i  M(x,y,z)  nuqtani  o lam iz  (Me{M\).  л/„л/y o 'n a lg a n  
kesm a  [
m
]c/?3  to 'p la m g a  te g ish li,  u holda,
—^ —^2—г = cos 
a ,  
=
 cos 
p .   - j
-— — r = co s/  
( 2 1 . 1 3 )
p ( M 0, M )  
p ( M 0, M )  
f i ( M0, M )  
'
b o 'lad i.
2 1.5 -ta ’ rif.  A g a r  M(x,y,=)  nuqta  7  y o 'n a lg a n   t o 'g 'r i  ch iziq   b o 'y la b  
M„(x„,y„,:0)  nuqtaga  in tilgan d a  (m ->M„), ushbu
2 5 8

p
(
m
0
m
)  
М и , . У о - = о Х х - у - - ) )  
nisbatning  limiti  mavjud  bo‘lsa,  bu  limitga 
f(x,y,
r)= /(w)  funksiyaning
A/0(x0,.v0,r „ )  
nuqtada 

yo'nalish bo'yicha hosilasi
 deb ataladi  va u 
# 1 * 0
dl
yoki 
kabi  belgilanadi.
5/
21.5-ta’rifga ko‘ ra,  uni
of  _  )jm  / М - / ( к )
ei
ЛГ-*Л/и
k o 'rin ish d a yo zish  m um kin.
2 1 .6 -te o re m a .  A g ar  u = f(x,y,z)=f(M)  fu n k siya  ochiq  (И )с л ’ 
to ‘p lam da  berilgan  boMib,  u 
Mn(x„,y„,:„)e{M) 
nuqtada  differen- 
siallan u v ch i  bo‘ lsa,  u  holda,  u = f(x,y,:)=f(M )  fu n k siya  shu  nuqtada  har
qan d ay  1  y o ‘ na!ish  bo‘y ic h a  h o silaga ega boMadi  va bu  hosila,
5u(Ma) _  df(x0,y„,:„)  d/(xa,y„,:„)____ d / ( x „ , y „ , „ ,
■  — 
*  
■  ™
 C O S  u  
т  
v O o  
IJ
 
i
e l 
e l 
8x 
%
+ f ( w
J cosr 
(2 1 .1 4 )
dz
form ula orqali  topiladi.
21.11-m iso I.  Ushbu 
f(x,v)=arcig—  fu n ksiyanin g  0(0,0)  nuqtadan
у
Ar0(l,l)  nuqtaga qarab y o 'n a lg a n   i  y o ‘ nalish b o 'y ic h a h o silasin i  toping.
Yechilishi.  /  birinchi  kvadratning  ,v„(u)  nuqtasidan  o 'tuvch i  va 
o(o.o)  nuqtadan  Af/i i)  nuqtaga  qarab  y o ‘ nalgan  bissektrisadan  iborat 
b o 'lad i.  (2 1 .1 3 )  form ulaga  asosan,  
  B erilgan   funksiva  M0(l.l)
4
nuqtada  d ifferen siallan u vch i  boMgani  uchun,  uning  y o 'n a lish   b o 'yich a 
h o silasin i  (2 1 .1 4 )  form ula b o 'y ic h a topam iz:
М ы )  = M t . ^ COi£  + M M ) cos£  = f ^ 2 --------
- “—COS — ч-------—cos-


dx
 

o y
 

\x  + y 2 
x
  + 
у   J
  2
D em ak,  М У 1 = о. 
dl
2 1 .1 2 - misoi.  Ushbu  /(*,j') =  [х: + 
у г
 
fu n ksiyan in g 
w0(o.o) 
nuqtada
ix tiy o riy   7  y o ‘ nalish  bo‘y ic h a  hosilasi 
= i  ekan ligin i  ko ‘ rsating.
a ?
Yechilishi. Q uyidagi  nisbatni tuzam iz:
2.59

,1 х 2 + у 2 
р  
х 
р ( м 0, м )  
Р  
р
5/(0,о) 
,|m/(A /)-/(A /„)  t 
5 7 
.-о  р{м„,м)
2 1 . 1 3 - misol.  Ushbu  f(x,y) = x+\y\  fu n k siyan in g  м 0(о,о)  nuqtada  Ox 
va  Oy  koordinatalar o 'q la ri  bo‘ y ic h a h o silasi  m avju d m i?
Yechilishi.  B erilgan   f(x,у) = *+1 у |  fu n k siyan in g   m0(0,0)  nuqtada  Ox 
ko o rdin atalar  o ‘qi  b o 'y ic h a   h o silasi  l  g a  teng  b o 'lib ,  Ov  koordinatalar 
o 'q i  b o 'y ic h a  h o silasi  m avjud  em as.
21.4-eslatm a. 
F un ksiya 
biror 
nuqtada 
d ifferen siallan uvch i 
b o 'lm asa  ham ,  u  shu  nuqtada  biror  y o 'n a lis h   b o 'y ic h a   va  hatto  har 
qanday  y o 'n a lis h   b o 'y ic h a  h o silag a e g a  b o 'lish i  ham   m um kin.  M asalan , 
ushbu  f(x,у) = л[х2 + у 2 
fu n k siya  M„(0,0)  nuqtada  d ifferen siallan u vch i 
em as,  lekin  biz vuqorida  k o 'rd ik k i,  bu  fu n k siya  л/„(о,о)  nuqtada  ix tiyo riy 
y o 'n a lish   b o 'y ic h a  h o silaga ega.
2 1.7 -  ta ’ rif.  K om ponentalari  (k o o rd in atalari)  du, 8~ , °“  b o 'lg an
cx  oy  cz
vektor,  u = f(x,y~)  fu n ksiyan in g  л/0(.т0,у 0,г0)  nuqtadagi  gradienti,  deb 
atalad i  v a u
grarfu(Mj =M ^ 7 +^ i 7  
(2
i
.
i
5)
5x 
dy 
dz
kabi  b elg ilan ad i,  bunda 
x u su siy  h o silalar  M0(x0,v0,:0)  nuqtada
dx  d):  dz
hisoblangan.  7 = 7(cosa,cos/3xosy)  ek an lig in i  e ’ tiborga  olsak,  u  holda
(2 1 .1 4 ) n i,  ushbu  ^  = [7,gmdu)  (2 1 .1 4 ) k o 'rin ish d a yo zish   m um kin.
d l  ^ 
'
bundan,
i w « ;  = 
( 2 1 Л б )
^dx) 
l^dy)
ek an lig in i  h isobga olib, (2 1 .1 5 ) form ulani,
= 1 I ‘ I 
g r a d u
 | • cos 
(p
д  I
ko 'rin ish d a  ham   yo zish   m um kin,  bunda  
  bilan   gradientning 
o rasid agi  burchak.  | r |=i  b o 'lg an i  uchun,
=\ gradu | ■
 cos 

д  I
2 6 0

Bu  form uladan  ko ‘ rinadiki,  y o ‘ nalish  b o 'y ic h a  h osila  o 'z in in g  
m aksim um  
q iym atig a  cos
 \  boMganda.  y a 'n i  v  vektorning
U 7 ,L
y o 'n a lish i 
gradientning  y o 'n a lish ig a  
mos 
tushganda  erishadi,
du
d I
=1 
g r a d u
 
|.  A g ar 
r
 
ning  y o ‘ nalishi  grad ien tga  perpendikulyar
y o ‘ n algan   bo‘ lsa,  —  = o  bo‘ ladi,  chunki 

 
cos* 

o.
81 
2
2
2 1 .1 4 - 
misol.  Ushbu 
и
 = .r v: +r:  sk a lar  fu n ksiyan in g  p(i, l, i)  va 
0
(
1
, - 1, i)  n uqtalardagi  gradientlari o rasidagi  burchakni  toping.
Yechilishi.  D astlab.  berilgan  fu n ksiyanin g 
p(i, 
1
,
1
)  v a  2 0.-*. 0 
n uqtalardagi  x u su siy  ho silalarin i  topam iz:
—  = 
2x,
<3//
= 2,
CH
= 2
,
dx
d„r
P
dv
0
— = 2 
V.
du
- - 2
,

-2.
dr 
-
¥
P
3v

 = 2r.
dw
- 
2,
du

2.
dz
cc
P
ct
0
(2 1 .1 5 ),  (2 1 .1 6 )  form ulalarga  asosan. н = .v  +>-: +r3  sk alar  funks
uchun 
g r a d u ( P ) ,   g r a d  и ( 0 )
 
hamda
adu(P)\,
larni  hisoblaym iz:
g r a d u  (P)
 
= 2 / +
2
 
j + 2 k ,   g r a d u( O)
 
= 2 i -  
2 j  
2k,
\gradu(P)
 | 
= л/3,  |grarfu(0)| 
= 2
-УЗ.
Endi  grad ien tlar orasidagi  burchakni topam iz:

g r a d u ( P) g r a d { 0
)  2 ■
 2 + 2 • (-2) +2-2 _  l_
P ~ \ g r a d ( P \ g r a d ( 0 } ~
 
2 V 32 V 3 
~  3 
D em ak,  berilgan  и  sk a ly a r  fun ksiyanin g  p(i. 
1
,
1
)  va 
0
(
1
, -
1
,
1
)
nuqtalardagi  gradientlari  orasidagi  burchak
1

 arccos-
M ustaqil yechish  uchun  m isoliar
Q u yidagi  fu n k siyalam in g  xu su siy  h o silalarin i toping:
2 1 .1 .  H = .r2  + v: + W .  
2 1 .2 .  U = ^4£ZZ).
y~
21.3.  u = x)- + ~ .
2 1 . 5 .  
и
 = 
lg (x  + y )  e*
21.4. 
и
  = sin(xv + j r ) .
21.6. 
и
 = sin—  cos —.
261

2 1 . 7 .  
и
 = 
2 1 . 8 .  
и
 = 
x '
Vx:  + y ’ 
- x
2 1 .9 .  и =  —  . 
21.10. 

= In
+ y  + x
2 1 . 1 1 .   w 

  a r c s in  

” —
2 1 . 1 2 .   ы  =  ( l + s i n 2  л.)11"   .
\ x 2  + y 1
2 1 .1 3 . 
u = x yy ' z x.
 
21.14.g(r,# ) = 
/ c o s #  
+ /sin0,
21.21.  f(Rl,R2,R,)=-L+-L +±-. 
2 1 .1 6 .p{n,R,T,v)=
t\| 
2 
J
Q u yid agi  fu n k siya lam in g   b erilgan   nuqtadagi  x u su siy  h o silalarin i 
toping:
21 .1 7 .  u = p -, (l;l)  . 
2 1 .1 8 . 
H = ln^l + ^ j,(l;2 )  .
21 .1 9 .  « = лзе™”’ ,(1;1)  . 
2 1 .2 0 .  и = (2x + y)2~\ (l;-l)  .
21 .2 1 .  Ushbu 
u = \fxy 
fu n k siyan in g  
0
(
0
;
0
)  nuqtadagi  xu su siy 
ho silalarin i  toping.  Bu  fu n k siy a   0(0; o)  nuqtada  d ifferen siallan uvch i 
boM adimi?
Q u yid agi  b erilgan   u(x,y)  fu n k siy a lar  0(0; o)  nuqtada  x u su siy 
h o silalarg a eg am i;  0(0; o)  nuqtada d ifferen siallan u v ch i  boMadimi?
21 .2 2 .  u = 
21.23.  u = J ? T ? ~   .
21 .2 4 .  u = \fc 
2 1 .2 5 .  u = \ J 7 7   .
x :  + у 2 
Ф
 0 
bo'\%anda.
0, 
x~
 
+y2 =0 
bo'lganda.
I
x*
  + у 4
—— =-r ,  .v2  + v ‘ 
*
 

bo'Xganda,
X-
 + 
y -
0, 
x 1
 
+y2  = 0 
bo'iganda.
21.28.  u{x,y)  fun ksiya;
a )  и — - j = l .
 — ; 
6)  u = ln (x 2 +д5  + у 2)
yjx2 +V2
ko ‘ rin ish lard a bo‘ lganda.  — +v—  ifodani  hisoblang.
3x 
cv
21.29.  u(x,y.z)  fu n ksiya:
a

и = ( x -
 
yXy 
-  
z\z
 -  дг); 
b)  и = x +
x
 -  у
v -r
k o ‘rin ish lard a boMganda,  — +— +—  ifodani  hisoblang.
ox  5 y   dz
2 1 .3 0 -2 1 .3 5 - m iso llard a 


f ( x x, x 1?...,xm)
 
fu n k siya uchun qu yid agi 
ta sd iq lam in g  q aysi  biri to‘ g ‘ ri, q a y s i  biri  noto‘ g ‘ ri?
262

21 .3 0 .  / (лг,,дг2,
fu n k siya  biror  nuqtada  ham m a  argum entlari 
b o 'y ic h a  x u su siy  h o silalarga ega  b o 'lsa,  u shu  nuqtada  u zlu ksiz b o 'lad i.
21.31.  A g ar  funksiya  R"‘  fazoning  har  bir 
nuqtasida  ham m a 
argum entlari  b o 'yich a  xu su siy  h o silalarg a  eg a  bo’ Isa,  u  R"'  da  u zlu ksiz 
b o 'lad i.
2 1 .3 2 .  A gar  fu n ksiya  biror  nuqtada  d ifferen siallan u vch i  b o 'lsa ,  u 
shu  nuqtada  ham m a  argum entlari  b o 'y ic h a  x u su siy  h o silalarg a  ega 
b o 'lad i.
21.33.  A gar  funksiyaning  biror  nuqtada  ham m a  argum entlari 
b o 'y ic h a  
x u su siy 
hosilalari 
m avjud 
b o 'lsa , 

shu 
nuqtada 
d ifferen siallan u vch i  b o 'lad i.
21.34.  A gar  fu n ksiya  biror  nuqtada  d ifferen siallan uvch i  b o 'lsa ,  u 
holda,  shu  nuqtada  fun ksiyanin g  ham m a  argum entlari  b o 'y ic h a   uzluksiz 
x u su siy  h o silalari m avjud  b o 'lad i.
2 1 .3 5 .  A g ar  fu n ksiyanin g  biror  nuqtada  u zlu ksiz  xusu siy  hosilalari 
m avjud  b o 'lsa ,  u  holda,  fu n k siya  shu  nuqtada  differensiallanuvchi 
b o 'lad i.
21.36.
 
A gar 
f ( x , y ) - x O y
 
tekislikd agi 

ochiq  sohada  aniqiangan, 
uning  f x  v a  / .x u su siy   hosilalari  G  da  ch egaralan gan   b o 'lsa,  u  holda, 
f(x,y)  fu n k siyasin in g 

da u zlu k sizlig in i  isbotlang.
Q u yidagi  berilgan fu n ksiyalarn in g d ifferen sialin i  toping:
21.37. 
и = 2r4 -3.t:_v: + .vIv. 
21.38. 
и = (v’ + 2x2 + з)\
21.45. 


(l+.n’)'.
Q uyidagi  fun ksiyalarn in g  berilgan  nuqtalardagi  differensialini 
toping:
21.39. 
и
21.40.  „ = 
*
V-r + v3
21.41. 
и 

a  *
21.42. 
и = In{x + yjx2 + vJ )  .
21.44. 


wctg
 'r + -v .
x - y
2 1 .4 6 . 
и 
--—

a)
  (l;l): 
b)
 (0,l). 
21.47.  и 
= Jx y  
+ —,  (2;l).
2 1 .48 
u = c o s fe   + vr), 
, w ( x , y , : )  
va  Л]1;£ Д ]  nuqtalarda.
и =
 cosl
v  6  6 J
2 1 .4 9 .  u = e" 
м (х ,у )
 
v a  o(o,o)  nuqtada.
2 1 .5 0 .  « = 
дг\  м (х ,у) 
v a  л/„(2; 3)nuqtalarda.
21.51. 
и -  
x
in(ri'), 
м ( х . у )
 
v a  .w0( - l;- l )   nuqtalarda.
263

2 1 . 5 2 . , ,   =   - ----- * ------- Л / ( 1, 0 . 1) .  
2 1 . 5 3 .  u = a r c l g ~ .  
M ( 3 ,  2 ,  l)   .
x  +y ~+z*
 
г
21.54.  н=^лт + —j  ,  A/(l,l, l).
Q uyidagi  b erilgan   /(„)  fu n k siyan i  d ifferen siallan u vch i  va uning  f, 
ho silalan i  aniq  deb  faraz  q ilib , 
/(«)  fu n k siya  fu n k siya  uchun  /,,  f y 
x u su siy  h o silalarn i  toping:
2 1 .5 5 . 
и
 = 
x2
 +e‘  . 
21.56.,/ = 
\Jx'
  + лт:  . 
2 1 .5 7 .u 
= arctg(x +
 In y).
Q u yidagi  b erilgan  /(„), 
/(u,v),  /(u .v .w ) 
fu n k siyalarn i  d ifferen sialla­
nuvchi  va  u larn in g 
/„,  /„.  x u su siy  h o silalari  aniq  deb  faraz  qilib, 
q u yid agi  p  fu n k siyan in g d ifferen sialin i  toping:
21.58.(3 = f(u\  u = .n' +— .
x
21.59.2) 
 = f(u, v),  и = —-—, v = x2 -  у 5.
x + у
21 .6 0 .(3  = /(u ,v ,u ), 
и
 = -v2 +.v'  + r 2,  v = 
x  +  y  + z,
 ii> = 
xyz.
21.61.  A g ar  w = sm{x) + л),х = e'  va  y = in(r + i)  bo‘ lsa,  t = о  da  ~
hosilani  hisoblang.
21.66.  A g ar  fr = sin(2.r-y),x = r + sins,  у = rs  bo‘ lsa,  r = n  va  5 = 0
bo‘ lganda,  mos  ravishda,  —  va  —  x u su siy  h o silalarn i toping.
8t 
ds
21.67.  Ushbu  w(x,y,:)=xy+y: + x:  fu n k siyan in g
x —
 cost, у = sin/, z —
 cos2/  egri  ch iziq d agi  с  b o 'y ic h a  h o silasin in g  t = l  dagi 
qiym atin i  toping.
21.68.  w = f(=,a), r = j x : + 
V 2
,  a = arctg-  b o 'lsin . 
U  holda,  ^   v a

cx
—   larni  toping v a  jav o b in g izn i  ,•  v a   a  o rq ali  ifodalang.
8y
Q u yidagi  m iso llard a:  a)z a n jir  q o id asid an   fo yd alan ib ;  b)  bevosita  t
b o 'y ic h a   d ifferen sialab ,  —   ni  /  n in g  fu n k siya si  sifatid a  ifodalang,
dt
so ‘ ngra  —   ning b erilgan   t =t„  nuqtadagi  q iym atin i  toping:
dl
21.69.
 
W=x2+y2, 
,x = 
cos(, 
у  = 
sinf; 
t0 = x .
r  
V 
1
21.70.
 
W = 
 + 
—, 


cos2f,  v 

sin 
(, 
:  =
 
f„ = 3 .
г  г 
‘ 
t
21.71.
 
IV = 
2ye‘
-ln r, 
x 
= ln(<2 +1), 
у  

arctgtt,
  r = e';  f0 =l.
264

vW
Dr
21.72.  A g ar 
w  

( x + y + z f ,   x = r - s ,   _v = c o s ( r + s ) ,   :  = s i n ( r + s )
 
b o 'lsa, 
toping.
-Ф0-0
21.73.  A g ar 
W = x 2 + 
x = u -
2v 
+ l,  >- = 
2 « + v - 2  
bo‘ lsa,  —
X  
c u
П1
(wH».0)
toping.
8 IV
21.74.  A g ar  H’ =arcigx  va  x = e" + inb o 'lsa,
8u
ew
(»,v).(InM)  3'’
.vHlnM)
larni  toping.
21.75.  A g ar  a  v a i  - o 'zgarm as  sonlar,  w = u3 +rfa( + 
cosu 
v a  и =ax + by
b o 'lsa,  a — = b ~   m unosabat o 'rin li  ekan ligin i  ko 'satir.g.
д у  
dx
21.76.  A g ar  /(и)  ix tiyo riy  differensiallanuvchi  fu n ksiya  b o 'lsa,  u 
holda, 

 
funksiya. 
y2^  + xy^- = x
 
tenglam ani
qanoatlantirishini  isbotlang.
21.77.  A g ar 
/ (
h
)  
ix tiyo riy  differensiallanuvchi  fun ksiya  b o 'lsa,  u
holda, 
<р(х,у )  

х у + х / { ц
 
fun ksiya, 
x ^ -+ y ^ - = xy+
 
tenglam ani
\x J  
dx 
o y
qanoatlantirishini  isbotlang.
21.78.  A g ar 
/ (
h
)  
ix tiyo riy  d ifferensiallanuvchi  fu n k siya  b o is a .  u
holda, 
tp(x, j ) = sin дг + /(sin у -  sin x) 
funksiya, 
c o sy^  + cosx^  = xy> + 

tenglam ani  qanoatlantirishini  isbotlang.
2 1 .7 9 .  A g ar  /(«,v)  ix tiyo riy  differensiallanuvchi  fu n k siya b o 'lsa,  u
holda, 
t p ( x, y , : )  

f [ - , x 2
 
+ y - r : l  
fun ksiya, 
2 x : ^ -  

2 y : ^ -  

(2x2
 
+y
) ^ 7
 = 0
dx 
8y 
'  5:
tenglam ani  qanoatlantirishini  isbotlang.
2 1 .8 0 .  A gar 
h
- = /(
j
) -
j
 
ning  d ifferensiallanuvchi  fun ksiyasi,
s  
=  v + 5jc  b o 'lsa ,  u holda  - - 5 — = о  m usbat b ajarilish in i  ko 'rsatin g.
dx 
8y
21.81.  A g ar 
a
 
v a 
b -
 
o 'zg arm as  sonlar, 
u  
= uJ 
+ t h u + c o s u
 
v a 


a x + b v  
b o 'lsa ,  a — = 6—  m usbat o 'rin li  ekan ligin i  k o 'satin g.
d y  
dx
265

2 1 .8 2 .  A g a r  f(u,v,w)  d iferen siallan u vch i  fu n k siya va  u = x -y ,v  = y - z  
ham da  w =z-x  b o 'lsa , 
f~+f ^ +~
5
~ = 0  ek an lig in i  k o 'rsa tin g .
2 1 .8 3 .  F araz  q ila y lik ,  tv = f(x,y)  d iferen siallan u vch i  fu n k siyad a 
x —
 у 
cos 
0  va 


/ sin tf 
qutb ko o rd in atalariga o 'tish  a m a lg a  o sh irilgan   (qutb 
alm ash tirish lari  b a jarilg an ) bo‘ lsin.  U  holda
dW 

 
dlV
a )
----- = /   cos# + 
f
  s i n # . --------- = - /   sin <9 + /   cos 
в,
dr 
v  5в 
' 

ek an lig in i  k o ‘ rsatin g;
6) 
a)  banddagi  tenglam alarn i  f t  v a  f y  la rg a   nisbatan  Y echib,
u lam i  —   v a   —   lar orqali  ifodalang;
dr 
дв

Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   26   27   28   29   30   31   32   33   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling