A. g a z I y e V, I. Is r a IL o V, M. Y a X s h ib o y e V matematik analizdan misol va masalalar


Download 9.01 Mb.
Pdf просмотр
bet5/39
Sana15.12.2019
Hajmi9.01 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39

 
ko'phadning  haqiqiy 
ildizlariga teng bo'lm agan  hamma qiymatlarida o'rinli.
(3.6 ) dagi  nom a’ lum  koeffisientlarni  topish  uchun  (3.6 )  ni  umumiy 
maxrajga  keltirib  (umumiy  maxraj  0„(x))  ikki  ko'phadning  tengligi 
haqidagi  teoremaga  asosan,  o 'n g   tomonidagi  suratdagi  hosil  bo'lgan 
ko'phad  bilan  p„(.y)  ko'phaddagi    ning  bir  xil  darajalari  oldidagi 
koeffisientlarni  tenglashtirish  natijasida,  nom a’ lum  koeffisientlarga 
nisbatan  chiziqli  algebraik  tenglamalar  sistemasi  hosil  bo'ladi.  Bu 
sistemadan  nom a’ lum  koeffisientlarni  topib,  topilgan  qiymatlarni  (3.6) 
tenglikka 
keltirib 
q o'yam iz. 
Kasrning 
yoyilm asidagi 
nom a’ lum 
koeffisientlarni  topishning  bu  usuli,  /
70
/па 'lum  koeffisientlar  usuli 
deyiladi.
Shunday  qilib,  /М = т ? т 4   rasional  kasrning  integralini  hisoblash, 
>v(*) = c0x* +c,x‘ *1 +....+ak  shakldagi  ko'phadni  integrallashga va quyidagi
34

1 . - * - .   п . * - .   IU.  2Мх + N  ,  IV. 
Mx+N
  у 
(3.7)
x - a  
(дг— or) 
x   +  p x  +  q 
(x 2 + p x  +  q )
2
(/■>i)  (bunda 
A,M
, N , a ,
p,q  -   haqiqiy  sonlar,  q - ^ - > 0 )   k o ‘ rinishdagi
sodda 
kasrlami 
integral lashga 
keltiriladi. 
Bu 
sodda 
kasrlarning 
integrallari  quyidagicha hisoblanadi.
Quyidagi, 
A
 

Bx + C 
^  
c , 
a,  p , q e R   , 
k . m  

N)
( x - л )  
(x7 + px + q)
k o ‘ rinishdagi  sodda kasrlami  qaraymiz.  U  holda:
1)  m = 1  boMganda,  \—^—d x= A  \ - <*X— = A\v\x- a\ + С .
1 x - a  
x - a
2 )w > l  boMganda,  f 
A  dx=A\(x-a)"'dx = -^ —7
— Ц^г + С.
1 (x-a) 

I-in [x-a)
2
3) 
к
 = I  boMganda, 
a2=q
-£ ~ , 
x+ ^ = t
  almashtirish  olib,  kvadrat
uchhadni, 
x2 + px+q = a2+r
  k o ‘ rinishga  keltiramiz,  va  berilgan  kasrning 
aniqmas  integralini  topamiz:

B x + D  

n r 
tdt 
( 2 D - Bp)  r 
dt

=
=  ^-\n{x2  +  p x  +  q ) +   2 0  
B p   a r c t g   2 x  +  p  = +  c  

^ - P
4)  /t> lboMganda. 
a2= q - — ,  x+—=t
  almashtirish  olib,  kvadrat
4  
2
uchhadni 
x2 + px+q = a2+t2
  ko'rinishga  keltiramiz  va  berilgan  kasrning
aniqmas  integralini  topamiz:
Г 
Bx + D 
В
  1 

( 2 D - Bp) r 
dt
3 { x 2  +  p x  + q J   X ~ 2 l - k { a > + C - ) - '  
2  
V
  +  ' T
Oxirgi  ifodadagi  integral  esa,  quyidagi
rekurrent  formula orqali  topiladi.

va  II  tipdagi  kasrlarning  integrallari, 
t = x - a
  almashtirish 
yordamida hisoblanadi:
—^— dx =   A j —  =  A ln|f|(_r_^  + c  =  Aln\x-a\ +  c.
г 


r dt 
(   A
 

A
 

~
I -------- - d x  = A  —  = ---------- — + C 
=-7------r  -------- г-т + с -
■ '(.r-a r)' 
t‘ 
l c
- 1   t‘ 
J 
( ' " - l )   ( x - a )
III 
tipdagi  kasrning  integralini  hisoblash  uchun,  kvadrat  uchhadni 
quyidagicha shakl  almashtiramiz:
35

a = J q - — > 
t = x + —
  deb belgilab olib,  integralni  hisoblaymiz: 

4  
2
Mr +|
f2 +a2
M r   Mat 

л /р У  
at 
2  3 t2  + a :
 
I  
2  P  t‘  + a 2
Mx
 + 
г
 

2  J 
-
----------
dx=
  I------
i
-----5----- d
r  + p x  + q 

f + a '
\<  f  2tdt 
( . .  
M p \  
dt
_ M   rd(t2+a7)  ( N _Mp\\  r
2  1  Г + а 2 
V  
2  ) a ]
d
i)
+ 1
,    , 

2N  -  Mp 

\
In  t  + a   + ----------- —artng — +  c   =
2  J "\  
2a
X + R
M
r ,  

2 N - M p  


^
= —
In(x' 
+ p x  +  q ) + — = = = ? a r c t g - = = = = =  + C.
(3.8)

2~ 
Г 
2
IV 
tipdagi 
kasrning 
integralini 
hisoblashda 
yuqoridagi
t = x + j ,  
a = ^ q - £ -
  belgilashlardan  foydalanamiz:
A A + f j v - ^ ]  

ЛЛ +  JV 
_   f 
I  
2  ) M _


7 1  
Ту
•,(x-+px + V  +«•/
M  rd{t2 +a2)  f

АфУ 
rff 
Л/ 

,
Л/р 
У  
<Л 

Л/ 

'  " " r j j ( , : + e :)r  _ 2 (г - 1 ) '( г +а’ у-'
Mp\ 
dt 
M
 

(
Mp\ 
dt
T
~
) j ^
 = - * ^ ) { x 2+px + qr
  + Г “   2  JJ(r +a0'
keyingi  integral  (2.18)  rekurrent  formula orqali  hisoblanadi.
Shunday  qilib,  har  qanday  haqiqiy  koeffisientli  haqiqiy 
o'zgaruvchili 
rasional 
(rasional 
kasr) 
funksiyaning 
boshlang‘ ich 
funksiyasi  -   logarifm,  arktangens  va  rasional  funksiya  orqali  ifodalanar 
ekan.
3.1-m isol.  Ushbu

integralni  hisoblang.
Y echilishi.  Integral  ostidagi  kasr  -   n oto‘ g ‘ ri  kasr  boMganligi
uchun, 
(3.2 ) 
ga 
asosan, 
P6(x)
 
= x ‘  -  2 x J +  Зх3 -  9 x :  +  4  
k o ‘ phadni 
0 5
(x) = x s
 - 5.r3  + 4* 
k o ‘ phadga 
boMib, 
w (x)= x
 
boMinma 
va 
Р4(дг)=3дг4 + Здг3  -  13x3  + 4  qoldiqni topamiz, ya’ ni
xh -  2 x ‘  +  3*  -  9 x ! + 4  
3xJ +  Зх
3 - 1  Зх  + 4
----------------------------------- — X -]--------------------------------
a
-5
 -  5 x
3
 +  4.x 
  -  5.x
3
  +  4.x
Ravshanki,  0 5( x ) = дс5 — 5
jc
3  + 4
jc
  k o ‘ phad  дг = 1  haqiqiy  ildizga  ega,
O j(.x )
= x5 -
 
5 x
3
 

4.v 
k o ‘ phadni  x - 1   ga  boMib,
0 5(x) = x(x  lX* + lX* -  2X* + 2)
k o ‘ rinishga keltiramiz.
3.1-teoremaga  asosan, 
kasr  (3.6 )  k o ‘ rinishdagi  sodda  kasrlar
yigMndisi sifatida tasvirlanadi, y a ’ ni
3 x  

3
jc
 
— 
13
jc

+ 4 
= ±  + J L  + J L  + _ £ _  + 
E
(3.9)
x ( x -
 lX* + lXx _
2X-x' + 2
-x 
x + 
1 
x + 
1 
x - 2  


2
Oxirgi  tenglikni  umumiy maxrajga keltirib,  ushbu
3xJ  +  3.x
3  - 1 3.x2  + 4 =  /t(.x5  -  lX-V2  -  4 )+  Bx ■ (.x + l)(xJ  - 4 ) +
+ C  x ( x -  l)(x 2  - 4 ) +  D   x (x !  - l ) ( x  +  2) + £   x (x ‘   - l ) ( x - 2 )
tenglikni  hosil  qilamiz.  Tenglikning  o ‘ ng  tomonidagi  qavslarni  ochib, 
k o ‘ phadlaming  o ‘ zaro  tengligi  haqidagi  xossadan  foydalanib, 
x
  ning  bir 
xil darajalari  oldidagi koeffisjentlam i tenglashtiramiz:
x J|3 = A +  B + C  +  D  +  E
x 3| 3 = B +  C  + 2 D - 2 E  
x 'j  - 1 3  = - 5 Л - 4 В - 4 С - 0 - £  
x|  0 - - 4 B  +  4 C - 2 D  + 2E 
x"|  4 =  4.4
(3.10)
Natijada, 
A,B,C,D,E
  nom a’ lumlarga  nisbatan  beshta  chiziqli 
algebraik  tenglamalar  sistemasi  hosil  qilindi.  Bu  sistemani  yechib, 
nom a’ lum koeffitsiyentlami topamiz:  bunda, 
A  
=
 1,  (3.10)  sistemaning 
ikkinchisi  va  to‘ rtinchisini  birga yechib, 
B  

C -
1  eqanligini,  birinchi  va 
uchinchisini  birga yechib, 
D  =  - E  
ekanligini  topamiz.  Bularni  e ’ tiborga

1
olib,  to‘ rtinchi  tenglamadan, 
c  
= ~, 

= ~
 
ekanligini  topamiz. 
Shunday qilib,  nom a’ lum koeffitsiyentlarning hammasi topildi:
Demak,

rx6 
—2лг4 +Зх3 - 9т2 + 4  
_  
/  
Зх*
+ & - 1 Ъ ? + 4  
' ] j   _  
х5- 5х 3+ 4х  
^  
Д х —
l )( x
+
l)( x
—2)(х+ 2) 
J
=   (x d x +   Г *  +  1   r * _ + 3  с _ ^ _ +  r _ ^ L _   f _ ^ L = fEl +  lnu +

J X 
2 Jx - l  
2 ] x + l  
] x - 2  
Jx  + 2 

11
x ( x - 2 ) ( x  + l ) J
+  i  ln|x - 1| +  lln|jr + 1| +  ln|x -  2| - 1  n|.v + 2| + С  =  —  +  In
x  + 2
T o ‘ g ‘ ri 
rasional 
kasrlarni 
nom a’ lum 
koeffisientli 
(3.6) 
ko'rinishdagi  sodda  kasrlar  yig'indisi  shaklida  tasvirlaganda,  undagi 
nom a’ lum  koeffitsiyentlarni  yuqorida  ko'rsatilgan  (3.1-m isolga  qarang), 
nom a’ lum  koeftltsiyentlar  usulidan  foydalanib  topishda,  chiziqli  algeb- 
raik  tenglamalarni  yechishga  to 'g 'r i  keladi,  lekin  chiziqli  tenglamalar 
sistemasini  yechish,  har  doim   ham  engil  bo'laverm aydi.  Xususiy 
hollarda,  nom a’ lum  koeffitsiyentlar  usuliga  qaraganda,  qulayroq  b o 'l­
gan,  ya’ ni  nom a’ lum  koeffitsiyentlarni topishda  osonroq b o'lgan,  usullar 
mavjud.  Masalan, 
Xevisayd  usuli,  Gorner  sxemasi,  differensiallashdan 
foydalanish  usullari,
  shular jum lasiga kiradi.
P j x )
3.1.1.X evisayd   usuli.  A gar  q  ^  

  t o 'g 'r i  kasrning  maxraji 
£?„(*)>  ushbu
G, M =
a„ { х - щ \ х - а 2\ . . . { х - а
п), 
an
 =1, 
(3.11)
ko'rinishda 
tasvirlansa, 
a,,a2,...,an
 
— 
haqiqiy 
sonlar 
b o'lib , 
£?„(«,) = 0,  (/ = 1
,
11),
  uning  (3.6 )  shakldagi  sodda  kasrlarga yoyilmasidagi 
koeffitsiyentlarni,  X evisayd  usulidan  foydalanib,  topish  maqsadga 
m uvofiq  b o'ladi.  Bu  usulni,  qisqacha,  quyidagi  tartibda  amalga 
oshiramiz:
  ( x )
1-qadam. 
' (m
  to 'g 'ri  kasrning  maxraji  Q,(x)  ning  (3.11)
Q n \x )
ifodadagi  ko'paytuvchilari  orqali yozish, y a ’ ni
PJ X) 
P j?c )
Q,(x)  ( x - q  \ x - a
,).. (x -a ;,) ‘
2-qadam.
 
Q,(x)  ning  (х-с^)(г =1,/?)  ko'paytuvchisini  vaqtincha 
yopib, 
i
 ning har bir qiymatida yopilm agan ko'paytuvchilarda x ni  a,  son 
bilan almashtiramiz.  Bu esa,  har bir  a,  ildiz uchun 
a
 
sonni  beradi:
38

А
( a , - a j . . ( a r , - a j ’
А = _______ рЛа2)_______ _

~ а ,\ а г - а ,) ...( а ,  - а , ) ’
А 
Р^ а - ) ____________.
(а „ -  а , Х « „   - а , ) . . .  . ( а „ -  а„_,) '
Р  (х)
3-qadam. 
(т < п)  rasional  kasrni
Q„
 W
P . M . .  


4  


Д.
0 „  (x ) 
x - a ,  
x - a ,  
-x-ar„
ko'rinishda yozish.
M isol  uchun,  bu  usulni 
3.1  -  misolga  tatbiq  qilsak, 
a
,
b
,
c
,
d
,
e
 
koeffitsiyentlarni osongina topish  mumkin:
1  - qadam.
P4 (.x) 
3 x J + 3 x 3 - 1 3 x 2 + 4
Q 5(
x
) 
x ( x - l ) ( x  +  l ) ( x -
2 )(x  + 2 )
,  a,  = 0,  a 7  =
 
1, ,  = - 1,  a 4  = 2,  a ,  = -2 .
2  -  qadam. 
a = ------- - ------- = l
( - l ) l  ч - 2 ) - 2
в = -  - 3 
1
с   =
1 - 2 - ( —1) • 3 
2
3 - 3 - 1 3  + 4 
_ 3  
( —1) • (—2) - (—3) -1  ”   2 ’
3 1 6 + 3 - 8  - 1 3 -  4  +  4  
]

1 - 3 4  
,  
3 1 6 - 3 - 8 - 1 3 - 4  +   4
( —2 )  - ( - 3 )  ■(—1) - ( —4 )
  ( x )
3  - 
qadam.  Berilgan 
-  —-  tug'ri kasrni,
a w
P A x ) 
A
B
C
 

E
= — + ------ + ------- + -------  + ------- =
0
,( :() 
x
 
x
-1   x + 1  x- 2   x + 2
\_  _ J _  
3  J _  
J _ ____1 _
x' 
2  x 
-
1 
2  x + ]
 
x
- 2   x 

2
ko'rinishda yozam iz.
K o ‘ p  hollarda 
x
  ning qiymatlarini,  masalan, 

= o,±i,±2,....  kabilarni, 
tanlash  yordamida  ham  nom a’ lum  koeffitsiyentlarni  topish  qulay  boMa­
di.
3.2-m isol. 
x
  ning sonli  qiymatlari yordamida 
* 2 + i 
A
B
C
 
- + -------+ -
( x -  l ) ( x - 2 ) ( x - 3 )  
x - 1  
x - 2  
x - 3  
ifodadagi  AВ, С  koeffitsiyentlar topilsin.
39

Y echilishi.  Dastlab tenglamada kasrdan qutilamiz:
л
:2 +1 =  Л ( х - 2 ) ( х - 3 ) +  В (.х -1 )(д :-3 ) +  С (х -1 ) (д г -2 ) . 
(3.1 2)
Endi, 
A,  B.C
  koeffitsiyentlarni  topish  uchun,  mos  ravishda,  (3.12)
tenglikda 
x  = \,x = 2 ,x  
= 3,
  qiymatlami  ketma-ket q o'yam iz:
1 +  1 =  /4 ( - l ) ,( - 2 ) ,2  = 2 A, A =  1 
2 J  + 1 =  - f l ,  B =  -5 ,
3
2  +1 = 2 C ,C  = 5.
Natijada,
x :  +1 


5
( х - 1 ) ( х - 2 ) ( х - 3 ) ( х - 4 )  
x - 1  
x - 2  
x - 3
boMadi.
3.3 - m isol.  Ushbu
X
x ' + 6 * 4  I I * + 
6
kasrning  nomaMum  koeffitsiyentli  sodda  kasrlar  yigMndisi  shaklidagi 
ifodasidagi  nomaMum koeffitsiyentlarni  toping.
Y echilishi.  l-qadam .  Berilgan  kasrning  maxrajini  ko'paytuv- 
chilarga ajratamiz:
0 , ( x )  =  x 3  +  6 x ?  +  11 + 
6
 
= 0 c +  1)(лг  + 5,r + 
6

=  (x  + l) ( x  + 2)(лг + 3).
Demak, 
o,(x)
  m a xra j, 
a ,  = - i ,   « ,   = 
-2, 
a ,  = - 3  
sodda  haqiqiy  ildizlarga 
ega.  Shunga asosan,  berilgan  kasrni,
_______ x_______ _ 
X
x }  +  
6
x
2
 
+1 \х +  6 
( x  +  l ) ( x  +  2 ) ( x  +  3) 
ko'rinishda y ozib  olamiz.
2 - qadam.
a   = --
1 :
A
- 1  
1
= - 2 :

1 2   "  
2  ’ 
= —
? - = 2  
,
_ 3
A
- 1 1
- 3
a l  =
2  ( - 1)
2
3 - qadam.
  Berilgan  kasrni,  ushbu
 

2
- + -
j:J +6jc2 + 1 l.v + 6 
2(.v 

l) 
x  + 2 
2(jr 
+ 3)
ko'rinishda yozam iz.
3.1.2.  D ifferen siallash dan   foydalan ish   usuli.  Bu  usulni,  ^ 4 4
Qjx)
(m
  to 'g 'r i  kasrning 
Q„(x)
  maxraji,  haqiqiy  karrali  ildizlarga  ega 
bo'iganda qo'llash  qulay  b o'ladi.
3.4 - m isol.  Ushbu
40

■Т-1 
_   А 
В 
С
(д + 2)3  х + 2 + (дг + 2)2 + (лг+2)э
tenglamada 
А ,   В,  С  
nom a’ lum  koeffisientlarni  differensiallashdan 
foydalanish usuli  b o 'y ich a  topish jarayonini  batafsil qarab chiqamiz. 
Y echilishi. 
1-qadam.
  Dastlab kasrdan qutilamiz:
x  —
 1 =  
A ( x  +
  2 ) 2  +  
B ( x  +
  2 )  +  
С
 
( 3 - 1 3 )
B u tenglam ada, 
x  

- 2  
d eb  olsak ,  c  = -3   b o 'lis h in i topam iz.
2-qadam.
  (3.1 3)  tenglikning  ikkala  tomonini  *  ga  nisbatan 
differensiallab,
\ = 2A(x + 2) + B
 
( 3 .1 4 )
tenglikni  hosil  qilamiz.  Bunda 


- 2
 
deb olsak, 

=
 1  bo'ladi.
3-qadam.  Endi 
( 3 .1 4 )  
tenglikning  ikkala  tomonini  *  ga  nisbatan 
differensiallasak.  natijada
0  =  2/4 .  /1 =  0
bo'ladi.
Demak,
,t -l  _ 
l_______ 3 _
(x + 2)5 ~(x + 2)2  (x + 2)5
3.1.3  G o rn e r sxem asi.  Har qanday 
n
  -  darajali
P„ (x ) = a,t x"  + 
x"~‘  + ......+ a 2x 2  + a xx  + a„ 
 0)
ko'phadni 
x - a  
ikkihadning darajalari  b o 'y ich a  yoyish  mumkin:
P„(x)
 =  A ,X x-a)"  + A„_x( x - a
)"4  + ....+ A}( x - a ) 2  + Л, ( * - « , )  + A0  ,
bunda 
A,.(i 

o^t) 
noma’ lum  koeffitsiyentlar.  Gorner  sxemasini  ketma-ket 
qo'llash  yordamida, 
A,(i 
= oTi) 
nom a’ lum 
koeffitsiyentlarni 
topish 
jadvalini  keltiramiz:________ _________________ _________________ __________
x n
Xй"'
Xй"
X
x ‘
Qn
a„-x
a n-2
a,
a„

a
a„
aaM
 +  aH_{  =  
6„_,
ab„_x +  an_2  = bn_ 2
ab.. +  a,  = b,
a b ,+ a 0  = Aa
x'
a
an
aa n +  
6<(_,  =  c„_,
a c n-\  +  ^
h
- 2  =  Cn-2
a c 2  +  
6 ,  =   Aj


x~
a
a,i
aan  +  
=  dn_x
a d „-\   +  c „_  j   =   d„_ 
2
Xn~2
a
aH
aa„  + 1 
hn-\
ah,t_ | + 
=  A„_2
Xй- 1
a
ait
a a ,  +  
=  
Д,-
,
41

x"
a
a , 
= A,
Рп ( х )  =  А п ( х - а ) " + А „ _ 1( х - а ) "   1  + . . . .  + А 2 ( х - а ) 2  +   А 1( х - а 1) +   А 0  , 
k o ‘ phadni 
( x - a ) " * '  
ga  b o la m iz ,  natijada, 

to‘ g ‘ ri  rasional  kasmi
( x  — a )
sodda kasrlarga yoygan boMamiz:
/».(*) 
_   AH
 

Л,_,  ^  f 
|
 
A2
 
|
 
Л, 
|
 
Aa
 
( x - a ) " * '  
x - a  
( x - a ) : 
( x - a ) ' " 2 
( x - a ) “~' 
(д г -о ’) '" ' 
4 _2 x 2  + 3
3 .5 -  m isol.  U s h b u ------- —^   to ‘ g ‘ ri  rasional  kasrni  sodda  kasrlarga
U +l)
yoying.
Y ech ilish i. 
Gorner 
sxeniasidan 
foydalanib, 
PA(x)
 
= x4
- l x 2
 
+ 3 
k o ‘ phadni 
x+\
 
ikkihadning  darajalari  b o ‘ yicha  yoyam iz.  Dastlab 
quyidagi  jadvalni  tuzamiz: 
____________________
4
X
x'
v ’
X
...
X
1
0
- 2
0
n
J
X °
- 1
1
-1
-1
1
2 - A n
x l
- 1
1
- 2
1

=A,
X
2
-1
1
-3

=A2
X
-1
1
-4 
=Aj
X
-1
1
 
=
a
4
Bu 
jadvalga 
asosan, 
/>(*) = U + i)4
- 4 ( *  
+ i)3 + 
4 (x  
+ n 2 
+  
0( x + l )  + 

k o ‘ phadni  tuzamiz.  Endi 
PA(x)
  k o ‘ phadni  O  + l)5  ga  boMib,  berilgan 
to‘ g ‘ ri  rasional  kasrni  sodda kasrlar orqali yoyilm asiga ega bo'lam iz:
P,(X )  _  



2
(ДГ+1
) 5 
X  
+ 1 
( X  
+ 1
) 2 
(-V + 1
) 3 
( x + 1 ) ’
3.6  
-  m isol.  Ushbu
J  (x  +  l ) " ( x ‘  +
1)
integralni  hisoblang.
Y ech ilish i.  1  - qadam.  Berilgan  integralda  P2(x) = 4x2 -8л:,
£><,(.*) = O  + l)2 О 2 + 1)2 ,  integral  ostidagi  funksiya to‘ g ‘ ri  kasrdan  iborat 
b o ‘ lgani  uchun,  3.1  -  teoremaga  asosan,  integral  ostidagi  t o ‘ g ‘ ri  kasrni 
quyidagi  sodda kasrlar у ig‘ indisi  shaklida tasvirlaymiz:
42

4 х
2 - 8 х  
А 
В 
D x +  E  
M x + N
- + —;----- r + -
(.v + l r ( j r   +
1)- 
(x  +  
1)- 
(x  +  
1) 
U " + l ) ‘ 
( *   +
1)
bunda 
A, 
B, c, 
D. 
£, 
M , 
N-
 nomaMum koeffisientlar.
2 - 
qadam.
  Oxirgi  kasrni umumiy  maxrajga keltirish  natijasida,
4 x ‘  -
8x  =   /f(x 2  + 1)3  + B (x +  l)( x 2  + l)‘  + (D x  + £ ) ( x  + 1 ):  +

(A/x 

7V)(x 

l)
2 (x: + l )  
(3.15)
munosabatga  ega  boMamiz.  (3.1 5)  ning  ikki  tomonidagi  k o ‘ phadlarning 
mos 
koeffisientlarini 
tenglashtirish 
natijasida, 
nomaMum 
A. R,
 C, 
D,  E,
 Л/. 
N
 
koeffitsiyentlarga  nisbatan 
chiziqli  tenglamalar 
sistemasi  hosil  boMadi.  Lekin,  bu  sistemani  yechishga  nisbatan  qulayroq 
(oson roq)  usul  mavjud  boMib,  u  quyidagicha  amalga  oshiriladi:  (3.15) 
tenglikda 
x  = 
- i   deb  olib, 
л  = 
з  ekanligini  topamiz.  S o ‘ ngra, 
x  =  i 
deb 
olsak,
— 
4 — 
8/ = (D i + E )(i + l) 2  =  - 2 D  +  i2 E , 
bunda haqiqiy va mavhum qiymatlarni  tenglashtirib,
- 4  = - 2 D , 
- 8  =  2 £ , 
D  = 2, 
£  = - 4
larni  topamiz.
3  - 
qadam.
  (3.15)  tenglikning  ikkala  tomonini  differensiallab, 
soMigra 
x —
 — I  da nolga aylanmaydigan  hadlarini  yozib  olamiz:
8a - 8 = 4 л (х 2  + l)-,x +  b (a j  + \ f   + ...
bundan,  a = - i   deb o ls a k ,-i6  = -8/i + 
4 S 

- 2 4 + 4 B  
8 = 
4 fi; 
s  = 

boMadi.
4  - 
qadam.
  (3.15)  ning  ikkala  tomonini  differensiallab,  faqat  * = / 
da nolga aylanmaydigan  hadlarni  yozib olamiz:
Sx 

 8 
D (x  +
1)2 
2{D x +  £ ) ( *  +
1) 
+  {M x +  A ')(x  +
1)2 
• 2 x + ...
Bu  tenglikning  ikkala  tomoniga 
x  

 
ni  q o ‘ yib,  qolgan 
ikkita 
koeffitsiyentlarni  topamiz:
8 / - 8  =  2 (/ +  l):  + 2 ( 2 / - 4 ) ( /  + 1) + (ЛЛ + ЛГ(| +  1)г  2 i 
8i — 8 =  -1 2  - 4 Л Л - 4 А ,  
4 -  
8/ =  - 4 N  -  4ЛЛ,
4 = -4 iV ,  -  
8 = -A M , 
N  =  - 1, 
 =  2.
5
  - 
qadam.
  Shunday qilib,
г 
4 x
2 - 8 x  
r (  

В 
D x + E  
4х +  ЫЛ,
-----------;---- Г
------- Г 
-----------Г + ------- +  — T-------- r  + ---- ;-------   d-Y =
J  (x  +  
1) 2(x '  + 1)- 
J ( j x  +  
1) ‘  
x
+ 1  
(x
2 + l ) ‘  
x
+ 1
, r  
dx 
r  dx 
r  x - 2  
r 2 x - \   ,
= 3  -------- t  +  2 ------ + 2  —т ------- r +   — — dx =
J ( x +
1)2 
x
+ 1  
( x   +
1)4 
x* 
+ 1
'(-x+1) 
3
’ .x + 
1  f
2 lnl.v + 1| — ---------4 f — d x   ,  +ln|x
2
  + 1|—
arctgx.
' 
1  *2 + l 
' (x  +1) 

1
Oxirgi  integral (2.1 8) rekurrent formula orqali  topiladi:

dx 


_
J — ;-------- =  -——----- - +  —arctgx + C.
(x‘ +l)‘ 
2(x  +1)  2
43

Demak,
j  
4 x 3  -  8x
2 x  +  l
+
 ln(x + 1 ) 
( x ‘
  + 1) -  
larctgx
 +  С .
' ( x  +  l ) 2( x 2  + 1 )2 
дг +  1 
x - + l  
Rasional  kasrlami  sodda  kasrlarga  y o y ib   integrallashda  k o ‘ p 
hollarda,  murakkab hisoblashlar bajarishga to ‘ g ‘ ri  keladi.  B a ’ zi  hollarda, 
integral  ostidagi  rasional  kasrning  shaklini  almashtirib,  o'zgaruvchilam i 
almashtirish,  b o ‘ laklab  integrallash  usullaridan  foydalanish,  berilgan 
integralni  hisoblashni yengillashtiradi.
3.7 - m isol. Quyidagi:
2)  \ ~
y
~
t


3 ) f -  
л  

4- 
j   ,
Каталог: Elektron%20adabiyotlar -> 75%20Спорт
75%20Спорт -> Basketbol nazariyasi va uslubiyati
75%20Спорт -> Sh. X. Isroilov, Z. R. Nurimov, Sh. U. Abidov, S. R. Davletmuratov, A. A. Karimov sport va harakatli
75%20Спорт -> Sport pedagogik mahoratini oshirish yengil atletika
75%20Спорт -> G ’u L o m o V z. T., Nabiullin r. X. K a m ilo V a g. Z. Jismoniy tarbiya va sport menejmenti
75%20Спорт -> A. Abduhamidov, H. Nasimov, U. Nosirov, J. Xusanov algebra va matematik analiz asoslaridan masalalar toplam I
75%20Спорт -> I ism o ilo V, T. Rizayev, X. M. Maxmudova fizikadan praktikum
75%20Спорт -> L. A. Djalilova jismoniy tarbiya va olimpiya harakati
75%20Спорт -> Sport universiteti I. S. Islamov, R. R. Salimgareyeva yakkakurash, koordinatsion va siklik sport turlari
75%20Спорт -> G im n a st ik a d a r sl a r id a in no va tsio n t e X n o L o g iy a L a r


Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   39


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling