A rximed spirali

2

3
arctg   ^{ Pifogor teoremasiga ko„ra,}
OM²  OP²  MP². ^{Shuning uchun:} r  OP²  MP²  2²  3²  13  3,6 birlik.
Shunday qilib, M nuqtaning qutb koordinatalari





3

M 13,arctg ^bo„ladi.




2



Misol:

Quyidagi qutb koordinatalari bilan berilgan nuqtalarni
tekislikda qutb koordinatalari sistemasida ifodalang (3-rasm):

 _^














^{K 4;} 6

, L 2;0 , M 13;arctg

_  _ ^

 ^





2













R 2,8; , S 3;

3 ^{, T 1;-}2
 
 ;





3
2

, N




7

 ^
2^;2

, P 5;







3


 ^

3-rasm

Manfiy yo„nalgan burchaklarni



2

,
^k 6 ^{S T}

3 ^, 2

,
  ^    ^   
Biz har ehtimolga qarshi yo„nalishini strelka bilan belgilab qo„ydik. Kerak bo„lsa, ularni soat strelkasiga teskari yo„nalishda to„la bir marta aylantirib jadval qiymatlariga qulay holga keltirish mumkin:

  ^    ^    ^   



11

2

4

2

,

2

6

6

3
,

kS

3

2

2

.


T

2
  ^   


3

Lekin bu an‟anaviy yo„naltirilgan burchaklarning kamchiligi shundan iboratki, ular qutb o„qidan soat strelkasiga teskari yo„nalishda ₁₈₀^dan ortiq bo‟lgan burchakda joylashgan. Savol tug„iladi, nega kamchilik va nega manfiy burchaklar kerak? Matematikada qisqa va qulay yo„llar afzal ko„riladi. Fizika nuqtayi nazaridan aylanish, burilish yo„nalishi ko„pincha juda muhim.

2.Qutb koordinatalar sistemasida nuqtalarni qurish tartibi va
texnikasi
Qutb koordinatalar sistemasida nuqta va chiziqlarni qurish mashaqqatli mashg„ulotdir.Qutb burchaklari

^0, 2 ^{ }
,

 ^ <sub>Xuddi shunday

 </sub>  ^






7
L 2;0 , N _








2^;2 ^{, R 2,8; , T 1;-} 2

 _ ^
3



2

S 3; ^nuqtani



₄₅_{ga karrali bo„lgan burchaklar ham katta qiyinchilik} tug„dirmaydi. Lekin qanday qilib aytaylik _


to„g„ri va aniq qurish mumkin?
Misol 1. Qutb koordinatalar sistemasida _


 _ ^

3



S 3; ^nuqtani

2




quring.

Yechish: Avvalo


3
_ 2 <sub>radian o„lchovdagi burchakning

</sub> 2 _{burchakning gradus o„lchovi 120(yoki 240)}
gradus o„lchovi aniqlab olinadi. Agar bu burchak bizga notanish bo„lsa, jadval yoki radiandan gradusga o„tishning umumiy formulasidan foydalanish mumkin. Bizning radian o„lchovda berilgan
3

ga teng.
Qutb koordinatalar sistemasini quramiz va qo„limizga
transportir olamiz.
3 3


2 
 ^    ^{bo„lganligi sababli, biz qutb}
o„qidan soat strelkasiga teskari yo„nalishda 60^burilishni belgilab olamiz (4-rasm).

So„ngra qutb nuqtasi va belgilangan yo„nalish orqali to„g„ri chiziq chizamiz (5-rasm):

5-rasm

 _ ^
3



2




S 3;
Qutb nuqtasiga nisbatan ₆₀^ yo„nalishga qarama-qarshi yo„nalish qutb o„qining _120^yo„nalishga burilganligini aniqlaydi. Burchak aniqlandi. Endi sirkulning oyog„ini 3 sm ga ochib, bir uchini qutb nuqtasiga qo„yib, ikkinchi uchi bilan_120^ yo„nalishdagi nur ustiga belgi qo„yamiz.Izlangan _


nuqta topildi (6-rasm).

6-rasm

 _ ^
3



2

S 3; ^{nuqtaga simmetrik bo„lgan}



Biz bu nuqtani sirkulsiz lineyka yordamida ham topishimiz mumkin edi. Lekin qutb koordinatalar sistemasida turli burchak koordinatalari bo„lgan bir xil qutb radiusli nuqtalarni belgilashda sirkul qo„l keladi. Xususan bizning 6-rasmda sirkulni ₁₈₀^ga burib qutb o„qiga nisbatan _


_ ^



^{S 3;} 3






nuqtani topamiz.

3.To’g’ri burchakli va qutb koordinatalar sistemalari
orasidagi bog„lanish
To„g„ri burchakli koordinatalar sistemasining O nuqtasiga qutb nuqtasini qo„yamiz va qutb o„qini OX o„qining musbat yo„nalishi bo„ylab yo„naltiramiz va bu birlashgan sistemada

_ ^



_ ^



nuqtani tasvirlaymiz. _








^{S 3;}3



7-rasm

OHS^ to„g„ri burchakli uchburchakni qaraymiz, bunda uning gipotenuzasi Snuqtaning qutb radiusiga teng: OSr, katetlar esa Snuqtaning dekart koordinatalar sistemasidagi xva y koordinatalaridir: OHx, HS^y.


O„tkir burchak sinusi, qarama-qarshi tomondagi katetning gipotenuzaga nisbatiga teng:

HS
sin     

y





OS
y r sin .
r
O„tkir burchak kosinusi, yopishgan katetning gipotenuzaga nisbatiga teng:

x

OS
x r cos .
r
Shunday qilib, biz dekart koordinatalari xvay larni qutb koordinatalari orqali ifodalovchi formulalarni topdik:



y r sin



  


  
x r cos .

_ ^






^{S 3;}3
Endi biz _


nuqtaning to„g„ri burchakli koordinatalarini

topamiz:




    ^    



1

3

3

1,5

^


2

2

    ^    

3

3 3

^_

^{y r sin 3 sin}3

3

2

2





3

3 3

^




;
^{x r cos 3}

2

2






3

3 3

^




;

2

2
S ^{nuqtani quramiz va qutb nuqtani(0,0) -}
to„g„ri burchakli koordinatalar boshiga qo„yib, qutb nuqtadan





_ ^{
S 3;}3



3

3 3

S ^{nuqtaga to„g„ri chiziq o„tkazamiz va}  <sup>

</sup>







;

2

2
^


nuqtani hosil qilamiz.
Pifagor teoremasidan foydalanib:

_{r OH}² _{ HS}² _{ x}² _{ y}²

ni topamiz va bundan foydalanib:



^

cos

x

r
 


x

2 2


x y

y




sin



r
 

y


2 2


x y


.

Bundan ikkinchi qutb koordinata  arktangens orqali ifodalanadi:

tg





sin
cos





y

2 2


x y
x

2 2


x y



y



y

x

;

arctg

x
.

Shunday qilib, biz qutb koordinatalari rva larni, to„g„ri burchakli dekart koordinatalari x va y lar orqali ifodalovchi formulalarni topdik:



 



r x² y²

_



arctg

y

x


.