A. Y. N a r m a n o V analitik geometriya


Download 3.6 Mb.
Pdf просмотр
bet1/13
Sana21.03.2020
Hajmi3.6 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

\
A.Y.  NARMANOV
ANALITIK
GEOMETRIYA

0 ‘Z B E K I S T 0 N   R E S P U B L 1 K A S I  O L IY   VA  0 ‘R TA  
M A X S U S   T A ’L IM   V A Z IR L IG I
A .Y .  N A R M A N O V
ANALITIK  GEOMETRIYA
M atem atika  bak a la vria t  ta ’lim  y o ‘nalishi 
uchun  darslik
NAMANGAN DAVlJff]
U N I V E R S I T E T I
_ A h b o r o t - r e s u r s   m a r k a z l
0 ‘ZBEKIST0N  FAYLASUFLARI  MILLIY 
JAMIYATI NASHRIYOTI 
TOSHKENT 
2008

Bu  darslik  universitetlam ing  m atem atika,  m exanika,  tadbiqiy  m atem atika 
va  inform atika,  statistika  yo'nalishlari  u ch u n   m o ‘ljallangan  va  am aldagi  yangi 
bakalavrlar  dasturiga  m uvofiq  m uallifning  0 ‘zbekiston  M illiy  U niversitetda 
o ‘qigan  m a ’ruzalari  asosida  vozilgan.  Darslik  oltita  qism dan  iborat  bo'lib,  unda 
vektorlar  algebrasi.  tekislikda  k o ordinatalar  sistem asini  alm ashtirish,  to ‘g'ri 
chiziqlar va tekisliklar,  ikkinchi tartibli  chiziqlar va sirtlar nazariyalari  yoritilgan.
M uallif -   fizika-m atem atika  fanlari  doktori,  professor,
0 ‘zbekiston  Milliy  Universiteti  geom etriya  kafedrasi  mudiri 
A.Y.  N arm anov
Taqrizchilar:
fizika-m atem atika  fanlari  doktori  ,  dotsent  Bahodir  Shoim qulov 
fizika-m atem atika  fanlari  nom zodi,  dotsent  Rasulm at  Yunusm etov
M u h arrir  —  filologiya  fanlari  nom zodi  G .N .  Tavaldiyeva
22.151.5
N25
Narm anov  A.Y.
Analitik  geom etriya:  Darslik /A.Y.  N arm anov;  0 ‘zbekiston 
Respublikasi  Oliy va o ‘rta  maxsus ta ’lim  vazirligi.  -  Т.:  0 ‘zbekiston 
faylasuflari  milliy jam iyati  nashrivoti, 
2008.  —  176 
b.
BBK  22.151.5я73
IS B N   978 -9 9 4 3 -3 1 9 -6 6 -0
©   « 0 ‘zbekiston  faylasuflari  m illiy jam iyati  nashriyoti»,  2008

K I R I S H
A N A L I T I K   G E O M E T R I Y A   P R E D M E T I   H A Q I D A
Tekislik  yoki  fa zo d a  k o o rd in a ta la r  sistem asin i  k iritg an im iz d a, 
geom etrik  figuraga  tegishli  n uqtalar  koordinatalarga  ega  b o ‘ladi.  Agar 
figuraga  tegishli  nuqtalarning  koordinatalari  biror  algebraik  tenglam ani 
qanoatlantirsa,  u algebraik tenglam a bilan aniqlanuvchi geom etrik flgura 
deyiladi.  M asalan,  m arkazi 
A(a,b)
  n u qtada bo 'lg an  va  radiusi  R ga  teng
a y la n a   te n g la m a s i 
( x - a ) 2 + ( y - b ) 2  -  R 2  =
  0  k o ‘rin is h g a   ega 
b o ‘ladi.
A n a litik   g e o m e triy a   k u rsid a   o ‘rg a n ish   m e to d la rin in g   aso sin i 
k o o rd in ata la r  m etodi  tashkil  qiladi.  Biz  asosan  figuraiarni  ularning 
tenglam alari  y o rd am id a  o ‘rganam iz,  y a’ni  algebraik  ten g lam alarin i 
o'rganish bilan shugullanam iz.  Bu  yerda  algebraik  m eto d lar asosiy  rolni 
o'ynaydi.  Biz  asosan  birinchi  va  ikkinchi  darajali  tenglam alar  bilan  ish 
k o ‘ramiz. A nalitik geom etriya kursida o ‘rganiladigan geom etrik figuralar 
sinfi  u n c h a lik   k a tta   b o ‘lm asa  h am ,  b irin c h i  va  ik k in ch i  d arajali 
tenglam alar  bilan  aniqlanuvchi  geom etrik  figuralar  fan  va  texnikada 
juda  katta  rol  o ‘ynaydi  .
Birinchi  darajali  algebraik tenglam alar bilan  aniqlanuvchi  geom etrik 
figuralar —  to ‘g ‘ri  chiziq  va  tekislikdir.  Ushbu  asosiy geom etrik  figuralar 
bilan  siz  elem en tar  geom etriya  kursidan  tanishsiz.  Tekislikda  ikkinchi 
darajali  tenglam alar  ikkinchi  tartibli  chiziqlarni,  fazoda  esa  ikkinchi 
tartibli  sirtlarni  aniqlaydi.  Y uqoridagi  m isoldan  ko ‘rinadiki,  aylana 
ikkinchi  tartibli  chiziqdir.
Fazoda  (x  -  
Cl)2  + ()' -  b)~  + (z - c ) 2  -  R 2
  = 0   tenglam a  bilan
aniqlanuvchi  nuqtalar  to ‘plam i  esa  sferadan  iborat  b o ‘lib,  u  ikkinchi 
tartibli  sirtdir.
A nalitik  geom etriya  kursida  vektorlar  algebrasi  ham   o 'rgan iladi. 
V e k to r  tu sh u n c h a si  m u h im   fu n d a m e n ta l  tu s h u n c h a la rd a n   b o ‘lib, 
faqatgina analitik geom etriya kursida em as,  balki  m atem atikaning boshqa 
b o ‘lim larida  ham   m uhim   rol  o ‘ynaydi.
Bu darslik m uallifning 0 ‘zbekiston  Milliy universitetining  m exanika- 
m atem atika  fakultetida  o ‘qigan  m a’ruzalari  asosida  yozilgan.  Darslik 
universitetlarning m exanika va  m atem atika yo'nalishlarining bakalavriat 
talabalari  u ch un  m o ‘ljallangan.

I  B O B
VEKTORLAR ALGEBRASI
l - § .   Vektorlar  va  ular  ustida  amallar
1-ta’rif.  Yo'nalishga  ega  bo'lgan  kesma  vektor deb  ataladi.
Biz vektorni 
A B
 
ko'rinishida yoki bitta kichik lotin harfi bilan 
a , b , С
k o ‘rinishida  belgilaym iz.  V ektorni 
A B
 
k o 'rin ish id a  b e lg ila s a k A i?  
nuqtalar  m os  ravishda  vektorning  boshi  va  oxiri joylashgan  nuqtalardir,
vektorning  uzunligi
A B
a
ko'rinishida  belgilanadi.
Agar  vektorning  boshi  va  oxiri  bitta  n u q tad a  b o ‘lsa,  u  nol  vektor 
deyiladi.  N ol  vektor  y o ‘nalishga  ega  em as,  uning  uzunligi  esa  nolga
teng.  N ol  vektor  0   k o ‘rinishida  yoziladi.
В
a+b
2-chizma.
2 -ta ’rif.  Ikkitaa  =  A B   vab = C D   vektorlardan  b  =  C D   vektor
boshini
  g  =  A B   vektor  oxiriga  qo ‘yilganda  A B   vektor boshidan  C D  
vektor oxiriga y o ‘naltirilgan  vektor,  bu  vektorlarning yig'indisi deyiladi va
a  + b   ко ‘rinishida yoziladi.
Y uqorida keltirilgan vektorlarni q o ‘shish  qoidasi uchburchak qoidasi 
deyiladi.
1-chizma.

3 -ta ’rif.  Berilgan  X   haqiqiy son va  a   vektoming ко ‘paytmasishunday 
vektorki,  uning  uzunligi  \A\  a  ga  teng,  yo ‘nalishi:  X   >0  bo ‘Iganda  a
vektor yo'nalishi bilan  bir xil,  X   <0 b o ‘Iganda  esa  a   vektor y o ‘nalishiga
qarama-qarshi  bo ‘ladi.  Ко ‘paytma  X   a   ко ‘rinishida  yoziladi.
V ektorlar algebrasi deganda, vektorlar to ‘plam ida vektorlam i q o ‘shish 
va  skalyar  songa  k o ‘paytirish  am allari  tushuniladi.  Biz 
V
  bilan  h am m a 
vektorlar to ‘plam ini belgilaymiz.  B unda vektorlarimiz bir to ‘g “ri chiziqda, 
bir  tekislikda  yoki  fazoda  yotgan  bo 'lishi  m um kin.
V ektorlarni q o ‘shish  va  haqiqiy songa  ko'paytirish  am allari  quyidagi 
xossalarga  ega:
1. V a ,  
b
  e  
V
  uchun; 
a  +  b  = b  +  a
  —kom m utativlik.
2. V a ,  
b , c   e V
  uchu n; 
( a  + b )
  4- 
с
  =  
a  + ( b
 +  
c )
  -assosiativlik.
3 . V a e F   uchunB  
b  
g
V   ct  + b =
  0,  tenglik  o'rinli va 
b   =  - a
4.  V<3 

V
 uchun; 
a   •
  1  =  
a   -
  tenglik  o ‘rinli.

\ / a , b E V
  h a m d a V A c i ?   u c h u n  
X ( a
  +  
b )
  =  
Xci
  +  
X b  
tenglik  o ‘rinli.
6 . 
\ / X , p i e R
  va 
\ / a e V
  u c h u n : 
a ( X   +  ju ) =   X a   + jiia  
tenglik  o ‘rinli.
7. V A ,  
j u e
R
  va 
\ / a e V
  u c h u n  
X ( j u a )
  =  
( X j u ) a
  te n g lik  
o ‘rinli.
8
. V a
  G 
V
 
uchun 
a
  +  

=  
a
  tenglik  o ‘rinli.
Bu  xossalarning  b a ’zilarini  isbotlaym iz,  b a ’zilarining  isbotini  esa 
o ‘quvchilarga  havola  qilamiz.
Birinchi xossani isbotlash uchun ixtiyoriy ikkita 
a
  va 
b
  vektorlam ing
boshini  bitta 
О
 
nuqtaga joylashtiram iz  va  3-chizm adagi 
OABC

3-chizma. 
4-chizma.
p a r a lle lo g ra m m n i  h o sil  q ila m iz .  B u  p a r a lle lo g ra m m d a g i 
OA С 
u c h b u r c h a k d a n  
О С  = a  + b
  te n g lik , 
O BC
  u c h b u r c h a k d a n   esa 
О С   = b + a
  tenglikni  hosil  qilam iz  (3-chizm a).
Ikkinchi xossani isbotlash uchun 
a
  vektom ing boshini  О nuqtaga, 
b
vektorning  boshini 
a
  vektorning  oxiriga, 
с
  vektorning  boshini  esa 
b 
vektom ing oxiriga joylashtiram iz.  C hizm adan quyidagi tengliklarni hosil 
qilam iz
( я  +  Z?) 
+ с   —  О С  
ci + (b  + с )   ~   О С
H ar  bir 
a
  =  
A B
  vektor  uchun 
b
= B A   vektor 
a
 vektorga  qaram a- 
qarshi  y o 'n a lg a n ,  uzunligi  esa 
a
  ning  u zunligiga  ten g   v ektordir.
V ektorlarni  q o 'sh ish   qoidasiga  k o ‘ra 
A B  + BA = 0
  tenglikni  hosil 
qilamiz.
Beshinchi  xossani  isbotlash  uchun 
a
  va 
b
  vektorlam ing  boshlarini 
b i t t a   n u q t a g a   j o y l a s h t i r i b ,   u l a r   y o r d a m i d a   q u y id a g i 
A B C D  
parallelogram m ni  hosil  qilamiz.

b
 
АЪ
5-chim a .
B e rilg a n  
Я 
so n   u c h u n  
A  a
 
va 
Я 
b
 
v e k to r la r g a   q u r ilg a n  
parallelogram m  
ABCD
  parallelogram m ga  o ‘xshashdir.  Shuning  u ch u n  
uning  diagonali  uzunligi 
ABCD
  parallelogram m   diagonali  uzunligidan
|Я| 
m arta “kattadir” .  B undan esa 
A(a 

b)
 
=  
Aa 
+  
Ab
 
tenglikni hosil 
qilam iz.
O ltinch i  xossani  isbotlash  u c h u n  
Я  / /  >0 
va 
Я //  <   0 
h ollarni
qaraym iz.  B irinchi  holda 
Я 
va  / /   sonlarining  ishorasi  bir  xil  b o'ladi. 
S huning uchun  ulam in g   ikkalasi  h am   yoki  m anfiy yoki  m usbat  b o 'lad i. 
Biz  ularning  ikkalasi  ham   m anfiy  b o 'lgan  holni  qaraylik.  Bu  h olda  ,
a (A 

jU),Aa 

jua
 
vektorlar 
a
 
vektorga  qaram a  qarshi  y o 'n alg an  
bo'ladi.  D em ak,  ular  b ir  xil  yo'nalishga  ega.  U lam in g   uzunliklari  esa
|Я 
+  
ju\ a
 
ga tengdir. A gar 
A
 
va 
j.II
 
sonlari  m usbat  son bo'Isa,  y u qori­
dagi m ulohaza takrorlanadi. 
Я 
va 
Ц
  sonlarining ishoraiari h a r xil  bo'Isa 
biz yana  ikkita  holni  qaraym iz:
Я 
+  / /   >  

va 
Я 
+  / /   <  

• Agar 

+  JLL>
 

bo'Isa 
a(A
 
+  
jU) , 
Aa 
+  
(Ла
 
v e k to rla r a   v e k to r  b ila n   b ir  xil  y o 'n a lis h g a   ega.  / /
a
vektom ing boshini 
Aa
 
vektom ing oxirigajoylashtirib,  ularning uzunligi 
ham  tengligini ko'ram iz. Qolgan hollar yuqoridagidek m ulohazalar asosida 
tekshiriladi.

4 -ta ’rif.  Bir  to ‘g ‘ri  chiziqqa  parallel  vektorlar  kollinear  vektorlar 
deyiladi.
Vektorlar  bir  xil  yo ‘nalishga  ega  b o ‘lsa, 
a
 T T  
b
  k o ‘rinishda,  agar 
qaram a qarshi  y o ‘nalishga  ega b o ‘lsa, 
a ' t X  b
  k o ‘rinishda belgilaymiz.
1-tasdiq.  N ol  vektordan  farqli 
a , b
  vektorlar  kollinear  b o ‘lishi
uchun 
Л
  G 
R
 
son 
mavjud b o ‘lib, 
a
  =  
Л Ь
  tenglikning bajarilishi zarur 
va  etarlidir.
Isbot.  V e k to rla r  u ch u n  

= A b
  shart  b a ja rilsa
, a , b
  v ek to rlar 
k o llin e a rlig in i  isb o tla sh   so d d a   b o ig a n lig i  u c h u n   uni  isb o tla sh n i 
o ‘quvchilarga havola etam iz.  Bu shartninig zarurligini  k o ‘rsatamiz. Agar
Cl

b
  vektorlar kollinear b o is a ,  ularni parallel  ko ‘chirish  natijasida bitta 
to ‘g ‘ri  chiziqqa  joylashtirish  m um kin.  Shuning  u ch u n   ular  /  t o ‘g ‘ri 
chiziqda  yotadi  va  ularning  boshi 
О
 
nuqtada  deb  hisoblaymiz.  Agar
a ,  b
  vektorlar  bir  xil  yo‘nalishga  ega  b o ‘lsa 
X
  = 
j=J 
uchun 
a
 =  
ЛЬ
H
tenglik  bajariladi.  Agar 
a ,  b
  vektorlar  qaram a  qarshi  yo‘nalishga  ega
a\
bo ‘lsa
uchun 
a
 =  
ЛЬ
 
tenglik  bajariladi.
5 -ta ’rif.  Vektor yotgan  to ‘g ‘ri chiziq  OL  tekislikka parallel boisa,  bu 
vektor  a   tekislikka parallel deyiladi.
6-ta’r i f   Uchta  a , b ,C   vektorlar bitta  tekislikka parallel bo'lsa,ular
komplanar vektorlar deyiladi.
Tabiiyki,  agar  vektorlar  kom planar  b o isa ,u la rn i  parallel  ko'chirish 
natijasida  bitta  tekisllikka joylashtirish  m um kin.

2 -§ .  Chiziqli  erkli  va  chiziqli  bog‘lanishli  vektorlar  oilasi
s o n la r  b e rilg a n   b o 'I s a ,  A jtfi  +  
A 2 C12  +  ... + A n a n
vektor 
a\,Cl2,.--,Cln
  vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi.
Chiziqli  kom binatsiyada qatnashayotgan sonlam ing birortasi  noldan farqli 
b o ‘lsa,  u  notrivial  chiziqli  kom binatsiya  deb  ataladi.
T a ’rif. 
Berilgan
 | 
a \ , Q
2
,Ct
3
a n
  ( 
vektorlar oilasi uchun kamida
bittasi  noldan farqli  bo ‘Igan A [ , Ao ,- -- ,  A n  sonlar mavjud b o ‘lib,
tenglik  o'rinli  bo'Isa,  \   a \ , a 2 , C l 3 ,
. . . ,
a n
  j  
vektorlar  oilasi  chiiqli
bog'lanishli  deyiladi.
Izoh.  V ektorlar  oilasi  chiziqli  bogManishli  b o ‘lsa,  uning  b iro rta 
notrivial  chiziqli  kom binasiyasi  nol  vektor b o ‘ladi.
1-teorema.  Ikkita  vektordan  iborat  oila  chiziqli  bog'lanishli  b o ‘lishi 
uchun  bu  oila  vektorlariming  kollinear bo ‘lishi  zarur  va yetarlidir.
Isbot.
  Oilaga  tegishli  ikkita 
a
  va £   vektorlar  chiziqli  bog'lanishli 
b o ‘ls a ,  k a m id a   b i t ta s i   n o l d a n   f a r q li 
A\, Aosonlari
 
m a v ju d  
b o ‘lib , 
A{a
 
+  
Aob
 
=   0  
t e n g l i k  
b a j a r i l a d i . 
A g a r A j ^ O  
b o ‘lsa, 
a
  =  — (Aj  /  
A-> )b
 
ten g lik n i  hosil  qilam iz.  Bu  esa  b irin ch i
tasdiqqa  ko'rafi!  va 
b
  vektorlarning  kollinear  ekanligini  k o ‘rsatadi.
Va aksincha, 
a
  va 
b
  vektorlar kollinear bo'lsin.  U larning boshlarini 
b itta  nuqtaga joylashtirsak,  ular  bitta  to ‘g‘ri  chiziqda  yotadi.  Bu  to 'g 'ri 
chiziqda  vektorlar  boshi  joylashgan  n uqtani  koordinata  boshi  sifatida 
olib,  koordinatalar sistem asini  kiritam iz.  V ektorlarning oxirlarini 
A
 va 
В
v e k t o r l a r  
o ila s i 
v a w  
ta
A] 
Cl
 l  +   Ao 
Cl2
  +  ... +  
A n Cl)
7 — 0

harflar bilan belgilaymiz: 
a
 =  
OA
 

b = OB 

 V ektorlardan bittasi,  misol
uchun 
a
 
noldan  farqli  vektor b o ‘lsin.  D em ak, 
а  Ф
  0   va 
О
  nuqta 
AB 
kesm ani  biror A  nisbatda  b o ‘ladi: 
B O !O A
 
=  
X
 
yoki 
B O
 
=  
XOA
Endi 
b=-Xa
 
tenglikni  ko ‘rsatam iz.  Agar 
a, b
 
vektorlar yo'nalishi
bir xil b o ‘lsa, 
О
 
n uqta 
AB
 
kesm aga tegishli  em as va 
X
 <0. 
Agar 
a, b 
v ek torlar  y o ‘nalishi  q aram a-q a rsh i  b o ‘lsa, 
X
 
>0 
b o 'la d i.  S hun ing
uchun 
b
 
va -  
Xa
 
vektorlam ing y o ‘nalishlari bir xil.  U larning uzunliklari 
ham   teng:

6  | =  I 
BO
  | =  | 
X
  |  | 
OA
  | =  | 
X
  |  | 
a
  | =  | 
-Xa
  |- 
D e m a k , 
b u  
v e k t o r l a r  
t e n g d i r .  
E n d i 
b =~ Xa
te n g lik d a n  — 
Xa + b 
=
 

te n g lik   kelib   c h iq a d i.  D e m a k , 
a
 
va&  
vektorlar chiziqli  b og‘lanishli  oilani  tashkil  qiladi.
2-teorema.
1)  Vektorlar  oilasiga  no!  vektor  tegishli  b o ‘Isa,  bu  oila  chiziqli 
bog'lanishlidar.
2)  Vektorlar  oilasi  birorta  chiziqli  bog'lanishli  vektorlar  oilasini  o ‘z 
ichiga  olsa,  bu  oila  ham  chiziqli bog‘lanishlidir.
Isbot.
1)
  Berilgan 

а \ , а
2
, а з , . . . , а п
  }  oilada 
с ц
 
= 0  
bo'lsa, 
Xj
 
= 0 

X j  = \ , i Ф j
  s o n la r   u c h u n  
X ^ a ^
  +  
X ^   a i 2
  +  
X ^ a i
  + . . . +  
+  
X-t 
a j m  =
 0   tenglik  o'rinli  b o ‘ladi.
2)
  B e r ilg a n  
[ а \ , а 2 , а з , . . . , а п
 
}  O ila d a   b i r   n e c h t a  
,
к
 = 
m < n
,  vektorlar  chiziqli  bog'lanishli  oilani  tashkil  qilsa,
ularning  birorta  notrivial  chiziqli  kom binatsiyasi  nol  vektor b o ‘ladi:

h
a
h  + 4
+  
Л}  Gi
  + . . .  +  
Aj  a \
 
—  0
6-chizma.
Biz  a g a r =  
Ajt  , j  = j k
  va 
=  
0 , j   Ф  j k
  tengliklar  bilan  n  ta 
X u  h ,   h , - ,   К
  sonlarni  aniqlasak
Aj 
ci
 j  +  
A
2
 ci
 ?  +   Д3 
a
,  +   ... +  
A n ci ^
  = 0
tenglikni  hosil  qilam iz.
3-teorema.  Uchta  vektordan  iborat  oila  chiziqli  bog‘lanishli  bo'lishi 
uchun  ulaming  komplanar bo ‘lishi  zarur va  etarlidir.
Isbot.
  Oilaga tegishli  u ch ta 
a,  b
 
va 
с
 
vektorlar chiziqli bog‘lanishli
bo 'lsa,  ulam ing   kom planarligini  isbotlavmiz.  Chiziqli  bog‘lanishlikning
t a ’rifiga  asosan,  kam ida  bittasi  noldan  farqli  cc,(3,y  sonlar  uch un
a  a
 +  
f3b + у с
 =  О
tenglik  o ‘rinli  b o ‘ladi.  A niqlik  uchun 
a
  noldan  farqli  b o ‘lsin,  unda 
aw algi  tenglikdan
а -  
р т  
с
 = -----
a
------
о 

7

С -   Л   a
  +  
f.lb
  tenglikni  hosil  qilam iz.  A gar 
a , b
  va 
с
  vektorlam ing
boshi bitta um um iy О  nuqtaga joylashtirilgan  b o ‘lsa,  oxirgi tenglikdan 
С
vektor 
X a
  va 
f i b
  vektorlarga  qurilgan  parallelogram m   diagonaliga 
tengligi kelib chiqadi.  Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir,  dem ak, 
ular  kom planar vektorlardir.
Va  aksincha, 
a , b   v

с
  vektorlar  k o m p lan ar b o ‘lsin.  U lar  chiziqli 
bog'liqligini  isbotlaymiz.
Berilgan  u ch ta  vektorlar  orasida  kollinear  vektorlar  bo'lg an  holni 
chiqarib  tashlaym iz.  1-teorem aga  asosan,  ushbu  vektorlar jufli  chiziqli 
bog‘lik b o ‘lar edi va berilagan  uchta vektor ham   chiziqli bog'liqligi  kelib
chiqar  edi.  S huning  uchun 
a , b
  va 
с
  vektorlar  orasida  hech  b ir jufli
kollinear  b o ‘lm agan  holni  k o ‘rib  chiqam iz  (xususan,  ular  orasida  nol 
vek to r  h am   y o ‘q).  V ektorlarni  b itta   tek islik k a  k o ‘ch irib ,  u larn in g
boshlarini 
О
  nuqtaga  joylashtiram iz  (6 -chizm aga  qarang).  Keyin 
с
vektorning  С  uchi  orqali 
a   v a b
  vektorlarga  parallel  t o ‘g‘ri  chiziqlar
o'tkazam iz, 
a
 
vektor y o tg a n to ‘g‘ri chiziqning 
b
  vektorga parallel to ‘g ‘ri
chiziq  bilan  kesishish  nuqtasini 
A
  deb  belgilaymiz  va 
b
  vektor  yotgan
to ‘g ‘ri  chiziqning 
a
 
vektorga  parallel  t o ‘g ‘ri  chiziq  bilan  kesishish
nuqtasini 
В
  deb  belgilaymiz.  (U shbu  nu qtalarning  mavjudligi, 
a
  va 
 
vektorlar kollinear em asligidan  kelib  chiqadi).  V ektorlarni  qo ‘shishning
p a ra lle lo g ra m m   qoid asig a  k o ‘ra 
с
 
v e k to r 
OA
  va 
OB
 
v ek to rla r 
yig‘indisiga  teng,  y a’ni
c -  OA + OB
 
tenglik  o ‘rinlidir.
OA
 
vektor  n o ld an   farqli 
a
 
vektorga  kollinear  (u  bilan  bir  to ‘g ‘ri 
chiziqda  yotuvchi),  dem ak,  shunday  Д   haqiqiy  son  topiladiki,

OA
 =  
Ла
tenglik  o ‘rinli  b o ‘ladi.  X uddi  shunga  o'xshash, 
OB = 
Л Ь
  tenglik  h am  
o 'rinli.  Bu  tengliklardan
c   =  A a   +   ju b
t e n g l i k   k e lib   c h i q a d i .   O x irg i  t e n g l i k n i   A #  +  
+   (—l ) c  =  0  
k o 'rin ish d a yozib olish  m u m k in .  Bu tenglikdagi 
X,
  (J,  va —1  so nlarn in g 
k am id a bittasi  n o ld an   farqli  b o ‘lganligi  sababli,  oxirgi  tenglik 
a , b
  va 
С
  vektorlam ing chiziqli bog'lanishligini ifodalaydi. T eo rem a isbotlandi.
1-natija. Agar  a , b   va  с   vektorlar komplanar bo ‘Imasa,  ular chiziqli 
erkli  bo ‘ladilar.
2-natija.  Ixtiyoriy uchta komplanar b o ‘Imagan vektorlar orasida ikkita 
kollinear vektorlar bo ‘la olmaydi.  Shuningdek  ular orasida nol vector ham 
bo ‘Imaydi.



Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling