Abdullayev jonibekning matematik analiz fanidan yozgan

  funksiya uchun 

                   

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

1

1

x

f

p

x

f

p

x

p

x

p

f







 

tengsizlik ixtiyoriy   

1

,

0

,

0

),

,

(

,

2

1

2

1

2

1











p

p

p

p

b

a

x

x

 

sonlarda o’rinli bo’lsa,  

)

(x

f

 funksiya   

)

,

( b

a

  oraliqda  botiq  deyiladi.  

Teorema:

  a)  Agar 

)

,

(

,

0

)

(

b

a

x

x

f







bo’lsa  ixtiyoriy   

)

,

(

...

,

,

2

1

b

a

x

x

x

n



  va    

1

...

2

1









n

p

p

p

 

tenglikni qanoatlantiruvchi 

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

p

p

p

 sonlari uchun ushbu  

    

)

37

(

)

(

...

)

(

)

(

)

...

(

2

2

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

f

p

x

f

p

x

f

p

x

p

x

p

x

p

f















 

tengsizlik o’rinli bo’ladi. 

b)    Agar 

)

,

(

,

0

)

(

b

a

x

x

f







bo’lsa  ixtiyoriy   

)

,

(

...

,

,

2

1

b

a

x

x

x

n



  va    

1

...

2

1









n

p

p

p

 

tenglikni qanoatlantiruvchi 

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

p

p

p

 sonlari uchun ushbu  

    

)

38

(

)

(

...

)

(

)

(

)

...

(

2

2

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

f

p

x

f

p

x

f

p

x

p

x

p

x

p

f















 

tengsizlik o’rinli bo’ladi.  

Isbot. a) Avvalo ixtiyoriy 

)

,

( b

a

c



 va  

)

,

( b

a

x



 uchun  ushbu  

      

)

39

(

)

)(

(

)

(

)

(

c

x

c

f

c

f

x

f









  

 tengsizlik bajarilishini  ko’rsatamiz. Buning uchun  

                   

)

)(

(

)

(

)

(

)

(

c

x

c

f

c

f

x

f

x

g











 

funknsiyaning 

)

,

( b

a

 oraliqda eng katta qiymatini topamiz.  

0

)

(

)

(

),

(

)

(

)

(



















x

f

x

g

c

f

x

f

x

g

  

bo’lgani uchun  

)

(x

g



 kamayuvchi. 

0

)

(





c

g

  ekanligidan 

)

(x

g



  ning  ishorasi  

c

x



    nuqtadan  o’tishda  musbatdan  manfiyga  o’zgarishi  kelib  chiqadi.   

c

x



  

nuqtadan boshqa nuqtada 

)

(x

g



 nolga aylanmasligidan 

)

(x

g

  

 

 

funksiya  

c

x



  nuqtada o’zining eng katta qiymatini qabul qilishi kelib chiqadi. 

Demak,  

)

(

)

(

c

g

x

g



 bo’ladi,  ya’ni (39) tengsizlik o’rinli bo’ladi. 

(39)  tengsizlikda  tenglik  faqat     

c

x



    bo’lganda  bajariladi. 

)

,

(

...

,

,

2

1

b

a

x

x

x

n



  

ixtiyoriy  nuqtalar  bo’lsin.    Agar   

n

n

x

p

x

p

x

p

c









...

2

2

1

1

  bo’lsa,   

)

,

( b

a

c



 

bo’ladi. (39) tengsizlikka ko’ra  











































































)

...

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

...

)(

(

)

(

)]

)(

(

)

(

[

...

)]

)(

(

)

(

[

)]

)(

(

)

(

[

)

(

...

)

(

)

(

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

x

p

x

p

x

p

f

c

f

c

c

c

f

c

f

c

x

p

x

p

x

p

c

f

c

f

c

x

c

f

c

f

p

c

x

c

f

c

f

p

c

x

c

f

c

f

p

x

f

p

x

f

p

x

f

p

  

 

)

(

...

)

(

)

(

)

...

(

2

2

1

1

2

2

1

1

n

n

n

n

x

f

p

x

f

p

x

f

p

x

p

x

p

x

p

f

















  

bo’ladi.  

Teorema isbot bo’ldi.  

)

0

...

(

,

0

...,

,

0

,

0

2

1

2

1















n

n

m

m

m

m

m

m

 ixtiyoriy sonlar bo’lsin.  

(37) va (38) tengsizliklarda  

n

n

n

n

n

m

m

m

m

p

m

m

m

m

p

m

m

m

m

p

























...

...,

,

...

,

...

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

 

deymiz. U holda (37) va (38) tengsizliklar mos ravishda quyidagi ko’rinish oladi:  

)

40

(

,

...

)

(

...

)

(

)

(

...

...

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

n

n

m

m

m

x

f

m

x

f

m

x

f

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

f







































  

)

41

(

,

...

)

(

...

)

(

)

(

...

...

2

1

2

2

1

1

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

n

n

m

m

m

x

f

m

x

f

m

x

f

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

f







































 

(37), (38), (40) va (41) tengsizliklarga  YENSEN tengsizliklari deyiladi. 

( Iogan Lyudvig Yensen (1859-1925) daniyalik matematik).  

 

 

 

  YENSEN  tengsizliklarida     

)

(x

f

  funksiyani  turli  xil  qilib  tanlash  hisobiga  

ajoyib tengsizliklarni olish mumkin. Masalan,  

1) 

x

x

f

ln

)

(



  bo’lsa,  

                         

n

n

n

n

n

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x

n

x

x

x





























2

1

2

1

2

1

2

1

...

,

ln

...

ln

ln

...

ln

   

boladi, bu yerda      

.

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

x

x

x

 

2) 

x

x

f



)

(

 bo’lsa, 

              

,

...

...

2

1

2

1

n

x

x

x

n

x

x

x

n

n















      

bo’ladi,  bu yerda  

.

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

x

x

x

 

3) 

p

x

x

f



)

(

 bo’lsa,  

             

,

...

...

2

1

2

1

n

x

x

x

n

x

x

x

p

n

p

p

p

n



























    

bo’ladi, bu yerda   

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

x

x

x

 va 

1



p

.  

4) 

x

x

f

sin

)

(



  bo’lsa, 

          

n

x

x

x

n

x

x

x

n

n

sin

...

sin

sin

...

sin

2

1

2

1















 

bo’ladi, bu yerda 

]

,

0

[

...,

,

,

2

1





n

x

x

x

. 

5) 

x

xe

x

f



)

(

 bo’lsa, 

   

n

n

x

n

x

x

n

x

x

x

n

e

x

e

x

e

x

e

x

x

x





















...

)

...

(

2

1

2

1

2

1

...

2

1

   

bo’ladi, bu yerda 

.

0

...,

,

0

,

0

2

1







n

x

x

x

 

6)  

2

)

(

x

x

f



  bo’lsa, 

 

 

      

)

...

)(

...

(

)

...

(

,

...

...

...

...

2

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

1

1

2

1

2

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

m

m

m

x

m

x

m

x

m

x

m

x

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m

m

m

m

x

m

x

m

x

m



























































 

      bo’ladi.  Bu tengsizlikda  

 

,

...,

,

,

2

2

2

2

2

1

1

n

n

b

m

b

m

b

m







       

n

n

n

b

a

x

b

a

x

b

a

x







...,

,

,

2

2

2

1

1

1

  

desak,  

        

)

...

)(

...

(

)

...

(

2

2