Abdurasulova Dilnoza Jahongir qizining

Juft va toq funksiyalarning Fure qatorlari.
7-teorema. Agar f(x) funksiya juft bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha b_n koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya toq bo‘lsa, u holda uning Furye qatoridagi barcha a_n koeffitsientlari nolga teng bo‘ladi.
Agar f(x) funksiya dastlab sonlar o‘qida emas, balki uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan biror oraliqda berilgan bo‘lsa, u holda bu funksiyani cheksiz ko‘p usulda trigonometrik qatorga yoyish mumkin.

1-rasm
Haqiqatan ham, f(x) funksiya (0;a) intervalda berilgan bo‘lsin, bu yerda a<2. f(x) funksiyani ixtiyoriy ravishda [0;2) oraliqqa, keyin esa 2 davr bilan sonlar o‘qiga davom ettiramiz (1-rasm). Bunday davom ettirish natijasida hosil bo‘lgan funksiyani orqali belgilaymiz. funksiyaning davri 2 ga teng, uni Furye qatoriga yoyish mumkin, bu Furye qatori (0;a) oraliqda (f(x) funksiya uzluksiz bo‘lgan barcha nuqtalarda) f(x) funksiyaga yaqinlashadi. Berilgan f(x) funksiyaning davomi cheksiz ko‘p usulda tanlanishi mumkinligi sababli, (0;a) intervalda f(x) funksiyaga yaqinlashadigan trigonometrik qatorlar ham cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Shunday qilib, uzunligi 2 dan kichik bo‘lgan oraliqda berilgan f(x) funksiyani trigonometrik qatorga turlicha yoyish mumkin ekan.

2-rasm
Bu xossa (0;) intervalda (umuman olganda, uzunligi  ga teng oraliqda) berilgan f(x) funksiyalar uchun alohida ahamiyatga ega. Bu holda f(x) funksiyaning turli davomlari ichida ikkita maxsus - f_j(x) va f_t(x) davomlari mavjud, bu yerda f_j(x) -juft, f_t(x) - toq funksiyalar. f_j(x) funksiyani hosil qilish uchun avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga juft tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonla o‘qiga davom ettiramiz (10-rasm).
Xuddi shunga o‘xshash f_t(x) funksiyani hosil qilamiz: avval f(x) funksiyani (-;0) intervalga toq tarzda, keyin esa hosil bo‘lgan funksiyani 2 davr bilan butun sonlar o‘qiga davom ettiramiz (3-rasm).
f_j(x) juft funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat a_ncosnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi kosinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.


3-rasm
Shunga o‘xshash, f_t(x) toq funksiya bo‘lganligi sababli uning Furye qatori faqat b_nsinnx qo‘shiluvchilardan tashkil topadi. Bu qator f(x) funksiyaning (0;) intervaldagi sinuslar bo‘yicha trigonometrik qatori deyiladi.
Shunday qilib, uzunligi  ga teng bo‘lgan oraliqda berilgan funksiyani faqat kosinuslar yoki faqat sinuslar bo‘yicha Furye qatoriga yoyish mumkin ekan.

f(x) funksiya da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ravshanki, bu holda f(x) cos nx juft funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa toq funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.

1. 
   Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
   

=
(n=0,1,2,3,…)

(n=0,1,2,3…).
Demak, juft f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0, 1, 2, 3,…)
(n=0, 1, 2, 3,…)
bo’lib, Fure qatori esa

bo’ladi.
Endi f(x) funksiya da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu oraqliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x) cos nx toq funksiya, f(x) sin nx (n=1,2,3,…) esa juft funksiya bo’ladi va da integrallanuvchi bo’ladi.

2. 
   Formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlarini topamiz:
   

=
(n=0,1,2,3,…)
=
= (n=0,1,2,3…)
Demak, toq f(x) funksiyaning Fure koeffisiyentlari
(n=0,1,2,3…)
= (n=0, 1, 2, 3…)
bo’lib, Fure qatori esa

bo’ladi.