Абел интеграл тянлийи «Абеля интеграль ное уравнение; Abel integral equation»


Download 73.49 Mb.

bet1/535
Sana22.03.2017
Hajmi73.49 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   535
2867

 

 

АБЕЛ  ИНТЕГРАЛ  ТЯНЛИЙИ  «  Абеля  интеграль-  

ное уравнение; Abel integral equation »

  –  


 

)

(x



f

=





x

s

x

ds

s

0

)



(

ϕ

,       



x

0



                   

(1)


 

 

интеграл тянлийидир, бурада 



)

x



f

 – верилмиш функсийа, 

)

(s



ϕ

 – ахта- 

рылан  функсийадыр. 

)

x



f

  кясилмяз,  дифференсиалланан  функсийа  ол-

дугда  (

)

(x



f

  цзяриня  гойулан  шяртляр  олдугжа  зяиф  эютцрцля  били-

няр ) А.  и.  т.-нин  йеэаня  щялли  вардыр.  Бу  щалда,  яэяр 

)

0



(

f

=

0



 

оларса,  тянлийин  щялли 

 

 

)



s

ϕ

=



  





s

z

s

dz

z

f

0

)



(

                                   

(2) 

 

дцстуру  иля  ифадя  олунур.  Бу  тянлик  цчцн 



)

0

(



f

=

0



  шяртини  эютцр-

мядикдя, А. и. т.-нин щялли ашаьыдакы дцстурла ифадя олунур: 

 

)

s



ϕ

=









+



s



z

s

dz

z

f

s

f

0

)



(

)

0



(

1

π



 

   Ашаьыдакы  ещтимал  мясяляси  А.  и.  т.-нин  щяллиня  эятирилир. 



X

=

 



=

)

(



2

1

,



X

X

  –  икиюлчцлц  тясадцфи  вектор, 

)

(

2



1

,

,



2

1

x



x

p

X

X

  ися  бу 

векторун йалныз 

r

=

2



2

2

1



x

x

+

 кямиййятиндян асылы олан пайлан



-

масынын сыхлыг функсийасы ( йяни 



X

 векторунун пайланмасы даиряви 

симметрийайа маликдир ) олсун

;

 



1

X

 компонентинин пайланмасынын 

сыхлыг  функсийасы 

)

(



1

1

x



p

X

-ин  верилдийи  фярз  олунур. 



X

  тясадцфи 

векторунун  пайланмасыны  тяйин  етмяк  тяляб  олунур ( бунун 

принсипжя мцмкцнлцйц  Крамер – Волд  теореминдян  алыныр

 Сферик 



симметрик пайланмайа да бах ). 

R

=

,



2

2

2



1

X

X

+

 – 



X

 векто-


рунун  узунлуьу, 

)

r



p

R

  –  уйьун  ещтимал  пайланмасынын  сыхлыг 

функсийасы  олсун;  онда  

 

)



(

2

1



,

,

2



1

x

x

p

X

X

=

.



)

(

)



2

(

1



r

p

r

R

π



 

 

1



X

  тясадцфи  кямиййятинин  пайланмасы  ики  асылы  олмайан  тяса

-   

дцфи кямиййятин щасилинин пайланмасы иля цст-цстя дцшцр



;

 бу кямий

-

йятлярдян  биринжисинин  пайланмасы 



R

-ин  пайланмасы  иля  ейнидир

,

 

икинжисинин пайланмасы ися ващид узунлуглу



 

e

=

)



(

2

1



,

e

e

 икиюлчцлц 

векторунун  абсис  охуна  пройексийасы 

1

e

-ин  узунлуьунун 

пайланмасы иля ейнидир

;

 

e



 векторунун бцтцн истигамятляри ейниещти

-

маллы фярз олунур  (



 

бах


,

 

[2]



,  

фясил 


1

,  


§10 

). Там  ещтимал  дцсту

-

руна  ясасян 



1

x

>

0



 

 

олдугда 



 

)

(



1

1

x



p

X

=

=









dz

z

p

z

x

p

z

e

R

)

(



1

1

1



1

0

 



=

.

1



0

2

1



1

1

2



2

1

dz



z

z

x

p

R







π

   



 

2

1



1

x

=

,



x

  

2



z

x

=

,



s

  

⎟⎟



⎜⎜





x



p

x

X

1

1



1

=

,



)

x



f

 

⎟⎟



⎜⎜





s



p

s

R

1

1



π

=

)



x

ϕ

 



 

эютцрдцкдя, 

)

x



f

  вя 


)

s

ϕ

-ин 


(1)

  мцнасибятиля  ялагяли  олдуьу 

айдын  эюрцнцр. 

ϕ

  ися 



f

  иля  уйьун  олараг 

(2)

  дцстуру  иля  ифадя 



олунур. 

   Йухарыда  гойулмуш  мясяля,  А.  и.  т.-нин  щяллиня  йалныз  дим. – юл-



чцсц 

2

  олан  щалда  дейил,  щятта  ихтийари  жцт  дим. – юлчцлц  щала  да 



эятирилир. 

   А.  и.  т.  тарихян  илк  интеграл  тянлик  олмушдур.  Бу  интеграл  тянлик               

Н. Абел тяряфиндян ( бах, 

[1]


 ) 

1823


-дя ашаьыдакы мараглы меха-

ники  мясяля  иля ( Абел  мясяляси ) баьлы  алынмышдыр.  Мадди  нюгтя 

сцкунят  вязиййятиндян  чыхараг 

)

(



,

x

u

  координат  системиндя          

шагули мцстявидя йерляшян щамар яйри цзря щярякят едир. Бу нюг-

тянин 


x

  щцндцрлцйцндян  башлайараг  юзцнцн  ашаьы – 

)

0

0



(

,

 



вязиййятиня  чатмасы  цчцн  зярури  олан 

t

  мцддяти  верилмиш   

)

x



t

 

функсийасыдыр.  



   Яйринин  формасыны  тяйин  етмяк  тяляб  олунур.  Бу  мясяля  цчцн          

А.  и.  т. 

(1)



)



(x

f

=

)



(

2

x



t

g

  олур, 


g

 – аьырлыг  гцввясинин 

тяжили, 

)

s



ϕ

=

ω



sin

1



ω

  ися  ординаты 



s

-я  бярабяр  нюгтядя 

яйрийя тохунанлар вя абсис оху истигамятляри арасындакы бужагдыр. 

Яйринин тянлийи  

 

u

=





x

ds

s

0

2



1

)

(



ϕ

 

 



бярабярлийи  иля  ифадя  олунур.  Бурайа 

)

(x



f

=

const



  щалы  да  дахил-

дир;  бу  щала  Абел  мясялясиндя 

)

x



t

=

const



  щалы  уйьун  олур  ки, 

бу  заман  ахтарылан  яйри  тсиклоиддир [ Х.  Щцйэенс ( 

Ch. Huygens

1673 



) ]. 

   Яд.: [1] A b e l   N. H., Oeuvers complètes, t. 1, Christiania, 1839,                

p. 27–30; [2] Ф е л л е р   В., Введение в теорию вероятностей и ее 

приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1984; [3] П р и в а л о в   И. И., 

Интегральные уравнения, 2 изд., М. – Л., 1937; [4] К у р а н т   Р.,           

Г  и  л  ь  б  е  р  т      Д.,  Методы  математической  физики,  пер.  с  нем.,     

т. 1, 3 изд., М., 1951.  

 

АБЕЛ  



7

 

АБЕЛ  ГРУПУ  «  абелева  группа; Abelian group »

,    

к о м м у т а т и в    г р у п  –  коммутатив ( йердяйишмя ) хассяли 

ямял тяйин олунмуш групдур. Ещтимал пайланмаларынын дашыйыжылары 

кими  беля  А.  г.-ларындан  ядяд  оху  вя  йа 

n

–  юлчцлц  Евклид  фя-            

засы  ( ядядлярин  вя  йа  векторларын  ади  топлама  ямяли  иля ) ещти-   

мал  нязяриййясинин  классик  обйектидир.  Диэяр    А.  г.-ларында    тяса-

дцфи  кямиййятляря  бахылмасы  зярурилийи  тябии  олараг  йараныр ( бах,  

Ещтимал  нязяриййяси   ж я б р и   с т р у к т у р л а р д а,  Ещтимал  

юлчцсц    г  р  у  п  д  а  ).  Ещтимал  нязяриййясинин  А.  г.-ларында              

бязи  хцсусиййятляри  ашаьыдакы  ян  садя  мисалда  шярщ  олунмуш-  

дур. 

   М  и  с  а  л    (  тамгиймятли  тясадцфи  кямиййятлярин 



2

mod


  цзря                 

топланмасы ). 

0

  вя  


1

 елементляриндян ибарят, топлама гайдасы  

 

0

0



+

=

0



,

 

1



0

+

=



0

1

+



=

,

1



   

1

1



+

=

0



 

 

мцнасибятляриля тяйин олунмуш А. г. 



G

 верилир. 

,

...


,

,

...



,

,

2



1

n

ξ

ξ



ξ

 –  


0

    вя   

1

    гиймятлярини      уйьун      олараг,   



n

ξ

{



P

=

}



0

=

n



q



n

ξ

{

P



=

}

1



=

n

p

=

n



q

1



  ещтималлары  иля  алан  асылы  олмайан 

тясадцфи кямиййятляр ардыжыллыьы вя      

 

n

S

=

n

ξ

ξ

ξ



+

+

+



...

2

1



 

 

олсун,  бурада  топлама  гейд  олунмуш  груп  ямяли  мянасында               



анлашылыр ( йяни

 

,



n

S

 



n

ξ

ξ



ξ

,

...



,

,

2



1

  тясадцфи  кямиййятляри  жя-       

минин  ади  мянада 

2

-йя  бюлцнмясиндян  алынан  галыьа  бяра-        



бярдир ). Онда:   

   а)


  яэяр  щяр  щансы  бир  

0

n

  гиймятиндя  

0

n

ξ

 кямиййяти  



G

-дя 


«мцнтязям»  ганунла  пайланмышдырса,  йяни 

0

n



p

=

0



n

q

=

2



1

 

оларса,  онда 



n

>

0



n

  олан  бцтцн 



n

  гиймятляри  цчцн 



n

S

 

«мцнтязям» ганунла пайланыр; 



   

б)

 яэяр  



 



= 1

)

(



min

,

n



n

n

q

p

=



 

 

оларса



,

  онда 




n

  олдугда 

n

S

  лимитдя  «мцнтязям»  ганунла 

пайланыр. 

   ж)


 яэяр 

а)

 шярти юдянилмирся



,

 онда 


б)

 шярти 


n

S

 жямляринин пай

-

ланмаларынын  «мцнтязям»  пайланмайа  йыьылмасы  цчцн  йалныз  кафи 



дейил

,

  ейни  заманда  зярури  шяртдир



;

  бу  щалда  лимит 

– 

«мцнтязям» 



пайланмасы 

G

  групунда  йеэаня  жырлашмайан  инвариант  пайлан

-

мадыр. 


   А.  г.-да  охшар  типли  лимит  теоремляринин  юйрянилмясиндя  ади

,

 



          

характеристик функсийалар методунун аналогу истифадя олунур ( бах

,

 

Фурйе  чевирмяси   г р у п д а   е щ т и м а л   п а й л а н м а л а 



-                  

р ы


 

н ы н


 

). 


  

 

Яд.: 

[1]  Г  р  е  н  а  н  д  е  р    У.,  Вероятности  на  алгебраических 

структурах, пер. с англ., М., 1965; [2] С а з о н о в  В. В., Т у т у -        

б а л и н  В. Н., «Теория вероятн. и ее примен.», 1966, т. 11, в. 1,              

с. 3–35; [3] Х  е  й  е  р    Х.,  Вероятностные  меры  на  локально  ком-

пактных  группах,  пер.  с  англ.,  М., 1981; [4] D v o r e t z k y  A.,      

W o l f o w i t z   J., «Duke Math. J.», 1951, v. 18, p. 501–07; [5] Proba-

bility measures on metric spaces, L. – N. Y., 1967. 

АБЕЛ ТЕОРЕМЛЯРИ « Абеля теоремы; Abel theo-

rems » 

  А б е л    т и п л и    т е о р е м л я р

,

  –  щяр щансы бир 



функсийанын  Лаплас  чевирмясинин  бу  функсийанын  юзцнцн  асимп

-          

тотикасы цзря асимптотикасынын тярифи цчцн иддиалар топлусудур.

 

 



8

  АБЕЛ 

   М и с а л   

1. 

 





0

1

dx



x

e

x

s

α

=



α

α

s

)

(

Γ



,

 

  



0

>

α



,  

 

s

>

0

 



 

бярабярлийиня ясасян фярз етмяк олар ки

,

 





x

 олдугда 

)

x



f

 

еля функсийа оларса ки



,

  

 



)

(x



f

~

1



α

x

 

 

мцнасибяти юдянилсин



,

 онда 


0



s

 олдугда  

 



0



)

(

dx



x

f

e

x

s

~

α



α

s

)

(



Γ

 

 



мцнасибяти доьрудур. Яэяр 

)

x



f

 ихтийари сонлу интервалда мцтляг 

интегралланандырса

,

  онда  бу  щюкм  доьрудур  вя  о



,

  Абел  типли 

теоремляря  ян  садя  мисалдыр. 

   М и с а л   

2.

 

 



Фярз 

 

олунур 



 

ки



 



= 1

n

n

a

 

 



ядяди  сырасы  йыьылыр  вя  бу  сыранын  жями 

A

-йа  бярабярдир. 

|

z



<

1

 



шяртини юдяйян 

z

-ляр цчцн 

 

)

(z



f

=



= 1


n

n

n

z

a

 

 



функсийасы 

1



z

 олдугда  

 

A

z

f

)



(

 

 



асимптотик  мцнасибятини  юдяйир ( гцввят  сыралары  цчцн  Абел  теоре

-

минин хцсуси щалы



 

). 


 

  

Мисал 



1

-

я  аналоъи  щал  ашаьыдакы  кимидир. 



0

<

z

<

1

  олдугда 



z

=

s



e

 



вя 

 

 



 

)

(



x

G

=



≤ x

n

n

a

 

 



олсун. Онда  

 

)



(

z

f

=



0



)

x



G

d

e

x

s

=

.



0

)

(





dx

x

G

e

s

x

s

 

 





x

 олдугда 

A

x

G

)



(

 олдуьундан

,

 

0





s

 олдугда  

 

)

(



z

f

~



0



dx

A

e

s

x

s

=

A

 

 

мцнасибятинин доьру олдуьу тябиидир. 



   Абел  типли  теоремляр  ещтимал  нязяриййясинин  лимит  теоремляринин 

исбатында

,

  тясадцфи  просесляр  нязяриййясиндя  вя  с.  тятбиг  олунур. 



Бу теоремляр онлара тярс 

 

Таубер  теоремляри 

 

иля олдугжа тамам



-

ланыр. 


   Яд.: 

[1]  Ф  е  л  л  е  р    В.,  Введение  в  теорию  вероятностей  и  ее 

приложения, пер. с англ., т. 2, М., 1984.  

АБЕЛ  ТИПЛИ  ТЕОРЕМЛЯР

 

«  абелева  типа  тео-

ремы;  Abel  theorems  »

 

 



 

 бах

,

 

 



Абел   теоремляри.  

АБСТРАКТ  ЕРГОДИК  ТЕОРЕМ  «  абстрактная 

эргодическая  теорема; abstract ergodic theorem »     

–  бах,  Ергодик   теоремляр. 



АБСТРАКТ  ЩЯЛЛЕДИЖИ  ГАЙДА  «  абстрактное 

решающее  правило; abstract decision rule »

  –  бах, 



Статистик   щяллярин   цмуми   нязяриййяси. 

АЧЫГ  ХИДМЯТ  СИСТЕМИ  «  разомкнутая  система 

обслуживания; open queueing system » 

–  бах,  Хидмят 



системи. 

АЧЫГ  ТЯСАДЦФИ  ЧОХЛУГ « открытое  случай-  

ное  множество; open random set »

    –    ачыг  чохлугларын  

G

  тополоъи  фязасында    тясадцфи    елементдир. 



G

  фязасында 



g

T

 



тополоэийасы ашаьыдакы кими тяйин олунур: 

S

 – сепарабел Щаусдорф 

локал  компакт  тополоъи  фяза, 

G

  –  бу  фязанын  ачыг  алтчохлуглары 



чохлуьу; 

,

G





G

 

,



K

    – 


S

-

дя  мцмкцн  олан  бцтцн  компактлар 



олсун.  

 

G

G

=

G



M

M

M

I

,



:

{

G



=

,



}

 



K

G

=



K

M

M

M

I

,



:

{

G



=

,



}

 



 

синифлярини  юзцндя  сахлайан ( ян  кичик  )  минимал  тополоэийа 



g

T

,      



– 

G

  фязасында  тяйин  олунмуш  тополоэийадыр.  Бах,  Тясадцфи 



  

чохлуг.

  



Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   535


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling