Agar X to’plamning har bir X soniga biror f qoidaga ko’ra, y to’plamning

---

Funksiya
Oliy matematika
31.10.2023
Oliy matematika
Funksiya

---

Funksiya tushunchasi
1-ta’rif.
Agar X to’plamning har bir x soniga biror f qoidaga ko’ra, Y to’plamning
bitta y soni mos qo’yilgan bo’lsa, X to’plamda funksiya berilgan deyiladi
va f : x → y yoki y = f (x) kabi belgilanadi.
Bunda f funksiya X to’plamni Y to’plamga akslantiradi deb aytiladi. X
to’plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deb ataladi va D(f ) bilan belgi-
lanadi, y ∈ Y to’plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deb ataladi va E (f )
bilan belgilanadi.
Bunda x funksiyaning argumenti yoki erkli o’zgaruvchi , y funksiya
yoki x ga bog’liq o’zgaruvchi deb ataladi.
y = f (x) funksiyaning grafigi deb Oxy koordinatalar tekisligining ab-
ssissasi x argumentning qiymatlaridan va ordinatasi y funksiyaning mos qiy-
matlaridan tashkil topgan barcha (x; f (x)) nuqtalari to’plamiga aytiladi.
Oliy matematika
Funksiya

---

Funksiyaning berilish usullari
Funksiyaning berilishining analitik, jadvalli va grafik usullari ko’p
qo’llaniladi.
Analitik usuli
da x va y o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish bir yoki bir
nechta formula orqali beriladi. Masalan,
y = x
2
,
y = sin(2x),
y =

x − 5, agar x < 3,
x
2
+ 2, agar x ≥ 3.
Jadval usuli
da x va y o’zgaruvchilar orasidagi bog’lanish jadval orqali
beriladi. Masalan, logarifmik funksiyalarning, trigonometrik funksiyalarning
jadvallari.
Grafik usuli
da funksiyaning grafigi beriladi. Bunda funksiyaning argu-
mentining u yoki bu qiymatlariga mos qiymatlari bevosita shu grafikdan top-
iladi.
Oliy matematika
Funksiya

---

Funksiyaning monotonligi
y = f (x) funksiya X to’plamda aniqlangan va I = (a, b) ⊂ X bo’lsin.
2-ta’rif.
Agar ixtiyoriy x
1
, x
2
∈ I uchun x
1
< x
2
bo’lganda f (x
1
) < f (x
2
),
(f (x
1
) > f (x
2
)) tengsizlik bajarilsa, y = f (x ) funksiyaga I intervalda
o’suvchi (kamayuvchi ) deyiladi.
3-ta’rif.
Agar ixtiyoriy x
1
, x
2
∈ I uchun x
1
< x
2
bo’lganda f (x
1
) ≤ f (x
2
),
(f (x
1
) ≥ f (x
2
)) tengsizlik bajarilsa, y = f (x ) funksiyaga I intervalda
kamaymaydigan (o’smaydigan) deyiladi.
Barcha o’suvchi, kamayuvchi, kamaymaydigan va o’smaydigan funksiyalar
I intervalda monoton funksiya nomi bilan umulashtiriladi. Bunda o’suvchi
va kamayuvchi funksiyalarga I intervalda qat’iy monoton funksiyalar deyiladi.
Funksiya monoton bo’lgan intervallar monotonlik intervallari deyiladi.
Oliy matematika
Funksiya

---

Funksiyaning juft va toqligi
y = f (x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lsin.
Agar ∀x ∈ X uchun −x ∈ X va f (−x) = f (x) bo’lsa, f (x) funksiyaga juft
funksiya
deyiladi.
Masalan, y = x
2
,
y = cos(x),
y =
√
1 + x
2
− juft funksiyalar.
Juft funksiyaning grafigi ordinata o’qiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
Agar ∀x ∈ X uchun −x ∈ X va f (−x) = −f (x) bo’lsa, f (x) funksiyaga
toq funksiya
deyiladi.
Masalan, y = x
3
,
y = sin(x) -toq funksiyalar.
Toq funksiyaning grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik bo’ladi.
Juft ham, toq ham bo’lmagan funksiyalar umumiy ko’rinishdagi
funksiyalar
deb ataladi.
Masalan, y = x − 2,
y =
√
x - umumiy ko’rinishdagi funksiyalar
Oliy matematika
Funksiya

---

Funksiyaning chegaralanganligi
y = f (x) funksiya X to’plamda aniqlangan bo’lsin.
4-ta’rif.
Agar shunday o’zgarmas M soni topilsa va ∀x ∈ X uchun f (x) ≤ M tengsizlik bajarilsa,
f (x) funksiya X to’plamda yuqoridan chegaralangan deyiladi.
5-ta’rif.
Agar shunday o’zgarmas m soni topilsa va ∀x ∈ X uchun f (x) ≥ m tengsizlik bajarilsa,
f (x) funksiya X to’plamda quyidan chegaralangan deyiladi.
6-ta’rif.
Agar f (x) funksiya ham quyidan, ham yuqoridan chegaralangan bo’las, ya’ni shunday
o’zgarmas m va M sonlari topilsa va ∀x ∈ X uchun m ≤ f (x) ≤ M tengsizlik bajarilsa,
f (x) funksiya X to’plamda chegaralangan deyiladi.
Masalan, y = 1 − x
4
funksiya yuqoridan M = 1 soni bilan chegaralangan, y = 2 + x
2
funksiya quyidan m = 2 soni bilan chegaralangan, y = sin(x) funksiya quyidan m = −1
soni bilan va yuqoridan M = 1 soni bilan chegaralangan.
Oliy matematika
Funksiya

---

Murakkab funksiya
X to’plamda qiymatlar sohasi Z bo’lgan z = ϕ(x) funksiya aniqlangan
bo’lsin. Agar Z to’plamda y = f (x) funksiya aniqlangan bo’lsa, u holda X
to’plamda y = f (ϕ(x)) murakkab fuksiya (yoki z = ϕ(x) va y = f (z)
funksiyalarning superpozitsiyasi) aniqlangan deyiladi.
z = ϕ(x) o’zgaruvchi murakkab funksiyaning oraliq argumenti deb
ataladi. Murakkab funksiyaning oraliq argumenti bir nechta bo’lishi ham
mu’mkin.
Masalan, y = cos(5x) murakkab funksiya, chunki u y = f (z) = cos(z)
va z = ϕ(x) = 5x funksiyalarning superpozitsiyasidan iborat.
Oliy matematika
Funksiya

---

Elementar funksiyalar
Quyidagi keltirilgan funksiyalar asosiy elementar funksiyalar deyiladi.
1. O’zgarmas funksiya: y = C (C ∈ R).
O’zgarmas funksiya: D(f ) = (−∞; +∞), E (f ) = C , chegaralangan, juft,
davri ixtiyoriy T .
O’zgarmas funksiyaning grafigi abssissalar o’qiga parallel to’g’ri chiziqdan
iborat bo’ladi.
2. Darajali funksiya: y = x
α
, α ∈ R, α 6= 0.
3. Ko’rsatkishli funksiya: y = a
x
, a ∈ R, a > 0, a 6= 1.
Ko’rsatkishli funksiya: D(f ) = (−∞; +∞), E (f ) = (0, +∞). Bu funksiya
a > 1 bo’lsa, R da monoton o’suvchi, 0 < a < 1 bo’lsa, R da monoton
kamayuvchi.
Ko’rsatkishli funksiyaning grafiklari (0; 1) nuqtadan o’tadi.
Oliy matematika
Funksiya

---

Elementar funksiyalar
4. Logarifmik funksiya: y = log
a
x, a ∈ R, a > 0, a 6= 1.
Logarifmik funksiya: D(f ) = (0; +∞), E (f ) = (−∞; +∞). a > 1 bo’lsa,
D(f ) da monoton o’suvchi, 0 < a < 1 bo’lsa, D(f ) da monoton
kamayuvchi; y = a
x
ga teskari funksiya.
Logarifmik funksiyaning grafigi (1; 0) nuqtadan o’tadi.
Oliy matematika
Funksiya