Al-xorazmiy nomli urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti amaliy matematika


Download 134.43 Kb.

Sana13.02.2017
Hajmi134.43 Kb.

 

 

 

 

 

 

 

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM 

VAZIRLIGI 

 

                     



 

AL-XORAZMIY NOMLI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI 

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI  AMALIY MATEMATIKA 

VA INFORMATIKA YO`NALISHI 301-GURUH TALABASI 

TAJIMURATOV HURSANDNING HISOBLASH USULLARI FANIDAN 

 

 

Mavzu: Ko’p qadamli ayirmali usullar. 

 

 

 

Topshirdi:   

 

 

 

                                    Tajimuratov H. 

Qabul qildi: 

 

 

 

                                       Salayev S. 

 

 

 

 Urganch 2015 

 

REJA: 

I.  Kirish. 

II. Asosiy qism 

  2.1


 

Masalaning  qo’yilishi .   

  2.2 

Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi. 



  2.3

 Adamsning ekstrapolyasion metodlari. 

  

2.4 



Adamsning interpolyasion metodlari.

 

III.  Xulosa. 



IV.  Adabiyotlar. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

                                                        

 

Kirish 

Elektron hisoblash mashinalarining inson faoliyatining turli soxalariga 

tobora chuqurroq kirib borishi hozirgi zamon muxandislaridan hisoblash texnikasi 

va amaliy matematika usullarini yetarli darajada bilishlarini talab etmoqda. Oliy 

texnika o`quv yurtlarining talabalari birinchi kursdayoq hisoblash usullari va 

algoritmik tillarni o`rganadilar, ulardan umummuxandislik va maxsus fanlar 

bo`yicha laboratoriya ishlari, referatlari hamda diplom ishlarini bajarishda 

foydalanadilar. 

 Matematika turmush masalalarini yechishga bo`lgan ehtiyoj, ya`ni yuzalar 

va hajmlarni o`lchash, kema harakatini boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish 

va boshqalar tufayli vujudga kelganligi uchun ham u hisoblash matematikasi 

bo`lib, uning maqsadi masala yechimini son shaklida topishdan iborat. Bu fikrga 

ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoya. 

 IX-X asrlarda O`rta Osiyoda matematika, astranomiya va boshqa tabiiy 

fanlar rivojlana boshladi. Bu erda al-Xorazmiydek buyuk alloma dunyoga keldi. 

Hisoblash matematikasining mutaxassisi ingliz matematigi E.But o`zini 

«Sonli metodlar» kitobining kirish qismida «Hisoblash metodlarini sistemaga 

solganligi uchun birinchi arab matematigi Muxammad ibn – Muso al – 

Xorazmiydan minnatdormiz» deb yozgan edi.   

Al-Xorazmiy "Xind sanog’i to`g’risida"gi arifmetik risolasida o`nlik sanoq, 

sistemasini va bu sistemada to`rtta arifmetik amallarni bajarish qoidalarini birinchi 

bo`lib bayon qilgan. Bu risola XII asrda lotin tiliga tarjima qilingan va u Osiyoda 

ham, Evropada ham o`nlik sanoq, sistemasini qo`llanilishiga va tarqalishiga 

poydevor bo`lgan. 

Evropada bunday qoidalar al-Xorazmiy nomi bilan atalib, "Algorizmi" 

deyilgan. Keyinchalik u Algorithm va Algorithmus ko`rinishlarini olib, oxirida 

"algoritm" so`ziga aylangan. 


Hozirgi vaqtda algoritm  deb ma`lum bir tipga oid xamma masalalarni 

echishda qo`llaniladigan barcha amallar sistemasining muayyan tartibda bajarilishi 

haqidagi aniq qoidaga aytiladi. 

Al-Xorazmiyning "Kitob al-muxtasar fi hisob aljabr va muqobala" nomli 

algebraik risolasida birinchi marta algebra matematikaning mustaqil bo`limi 

sifatida qaraladi. Unda algebraik miqdorlar ustida amallar bajarish qoidalari, 1- va 

2-darajali algebraik tenglamalarni echish usullari va bunday tenglamalarga 

keladigan hayotiy masalalar keltirilgan. Risola lotinchaga tarjima qilinganda "val-

muqobala" tushurib qoldirilgan va "algebra" nomi bilan jahonga tarqalgan 

(shuning uchun bo`lsa kerak o’rta asrlarda Evropa davlatlarida singan qo`l-oyoqni 

tiklaydigan tabibni algebrist deb atashgan).  

Abul Vafo al-Bo`zjoniy 960 yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini 

ishlab chikdi, sin(l/2)° ning qiymatini to`qqizta ishonchli raqam bilan berdi. 

Bundan tashqari, u tg funktsiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini 

to`zdi. 

XV asrda Amir Temur saltanatining markazi - Samarqandda ilm-fan

madaniyat yuqori darajada rivojlandi. Shu paytda Ulug’bekning madrasayu 

rasadxonasi barpo etildi. Bu erda Ulug’bek bilan bir qatorda Ulug’bekning ustozi - 

zamonasining mashhur matematigi va astronomi Qozizoda Rumiy hamda 

G’iyosiddin Jamshid Koshiy, Mansur Koshiy, Muxammad Birjondiy va 

Ulugbekning shogirdi Ali Kushchilar madrasada daryo berib, rasadxonada 

yulduzlarni ko`zatish va ilmiy izlanishlar olib borishgan. Ayrim tadqiqotchilar 

Ulugbek madrasasi bilan rasadxonasini birgalikda Ulug’bek akademiyasi deyishsa, 

avstriyalik matematika tarixchisi X. Zemanek buni Hisoblash markazi (XM) deydi. 

U aytadiki, XM bo`lishi uchun ikkita shart: 1) olimlarning jamoa bo`lib birgalikda 

ishlashlari va 2) hisoblashning yuqori darajadagi aniqlikda olib borilishi zarur. Bu 

erda har ikkala shart bajariladi. Shunday qilib, jaxonda birinchi Hisoblash markazi 

(XM). Ulugbek raxbarligida Samarqandda barpo etildi. 



Hisoblash matematikasining tarixida logarifmik jadvallarining tuzilishi katta 

axamiyatga ega edi. Ingliz matematigi U. Neper (1614,1619), shveytsariyalik I. 

Byurgi (1620), ingliz Brige (1617), gollandiyalik Vlakk (1628) va boshqalar 

tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar buyuk frantsuz matematigi va mexanigi 

P.S. Laplasning so`zi bilan aytganda: "...hisoblashlarni soddalashtirib, 

astronomlarning umrini o`zaytirdi". Laplas hozirgi zamon kompyuterlarining 

ishlashini ko`rganda nima der ekan? 

1845 yilda Adams va 1846 yilda Lever’elar hisoblashlar natijasida Neptun 

sayyorasining mavjudligi va fazodagi o`rnini oldindan aytishlari hisoblash 

matematikasining buyuk g’alabasi edi. Neptunni "qalam uchida topilgan sayyora" 

ham deyishadi. 

Tatbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e`tiborini doim o`ziga tortar 

edi. Shuning uchun ham o`tgan zamonning buyuk matematiklari o`z tadqiqotlarida 

tabiat jarayonlarini o`rganish, ularning modellarini tuzish, modellarni tadqiq etish 

ishlarini birga qo`shib olib borishgan. Ular bu modellarni tekshirish uchun maxsus 

hisoblash metodlarini yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari N’yuton, Eyler, 

Lobachevskiy, Gauss, CHebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan 

dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratish bilan o`z zamonasining buyuk 

matematiklari shug’ullanishgan. 

 

 



 

 

 



 

 


1.1.M a s a l a n i n g  q o ’ y i l i s h i. Bu bandda 

                                                             (4.1) 

Koshi masalasini yechish uchin qadami  

  doimiy    bo’lga                

   to’rni kiritamiz va  

 to’r  ustida aniqlangan 

funksiyalarni  

  orqali  belgilaymiz.Biz bu yerda  Koshi 

maslasining  m-qadamli  ayirmali metodlar  bilan taqribiy yechimini ko’rib 

chiqamiz.Bu metodlar orasida keng  ko’llaniladiganlari 

 

                              (2) 



Munosabat bilan aniqlanadi, bu yerla a

mi 

 va b



mi

  lar  n  ga bogliq bo’lmagan  koeffisientlar. Bu 

metodlar chiziqli ayirmali metodlar   yoki chiziqli-ayirmali sxemalar deyiladi.(2) tenglamaga 

 ni oldin topilgan 

 qiymatlar orqali ifodalanadigan rekurrent 

munosabatdek qarash  kerak. Xisob n=m  dan, ya'ni 

                             

 

tenglamadan boshlanadi. Bundan ko’ramizki, xisobni boshlash uchun  m ta  



  dastlabki qiymatlarni ko’rsatmok, kerak. Bu  yerda  

 

boshlangich shartdan topiladi, qolgan  



 larni esa boshqa  metodlar, 

masalan, Runge-Kutta metodi yordamida topish mumkin. Keyingi muloxazalarda 

,  dastlabki qiymatlar berilgan, deb faraz qilamiz. 


Agar b

m

 = 0 bo’lsa, u xolda   (2)  metod oshkor yoki ekstrapolyasion 

deyiladi,  bu xolda y

n

 oshkor  ravishda 

 orqali ifodalanadi. 

Agar 


  bo’lsa, u xolda metod oshkormasyoki interpolyasion deyiladi. Bu 

yerda , 


 

 

chiziqli  bo’lmagan tenglamadan topiladi, bunda 



Odatda, dastlabki yakinlashish 

 ni  

 ga teng deb olib, bu tenglama 

Nyuton metodi bilan yechiladi. 

Xisoblash amaliyotida (2) ko’p qadamli metodlarning xususiy xoli bo’lgan 



Adams metodlari keng tarqalgandir. Bunda 

 faqat  


 va  

  ikki nuqtaga 

ko’ra approksimatsiya qilinadi, ya'ni 

 . 

Shunday qilib, Adams metodlari 

                                   (3) 

ko’rinishga ega. Agar b



m0

  = 0   bo’lsa. Adams metodlari ekstrapolyasion bo’lib, 

 bo’lganda esa interpolyasiondir. 

Keyinchalik (2) ayirmali metodlarni o’rganishda a

mi

 va b


mi 

  koeffisientlar 

tanlanishining approksimatsiyaning xatoligiga va turg’unlik hamda yaqinlashish 

masalasiga ta'sirini ko’rib chiqamiz. 

 

 



 

 

 



 

1.2.Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi.             

Differensial tenglama yechimini approksimatsiyalashdagi xatolik yoki (2) 



ayirmali sxemaning bog’lanishsizligi deb 

       (4) 

miqdorga aytiladi. 

T a ' r i f. Agar  

 da 


 

munosabat o’rinli bo’lsa, m-qadamli sxema [x

0

,x

0



 + X] oralikda differensial 

masalani yechimda approksimatsiya qiladi deyiladi. 

Biz xozir a



mi

  va    b



mi

  koeffitsientlarga bog’lik, ravishda 

 da 

approksimatsiya tartibini aniqlaymiz. 



Faraz kilaylik, qaralayotgan funksiyalar kerakli silliqlikkaa ega bo’lsin. Endi  

 va 


  ekanligini  eslab , 

 nuqtada 

Teylor formulasiga ko’ra 

 



tengliklarga ega bo’lamiz. Bu ifodalarni (4) ga ko’yi quyidagini xosil qilamiz: 

bu yerda 

 

Qulaylik uchun quyidagi lemmada 



                                  (5) 

deb olamiz. 



Lemma. Faraz qilaylik, u(x) ixtiyoriy silliq funksiya bo’lsin., 

 

                       (6) 



munosabatlar o’rinli bo’lishi, ya'ni (2) ayirmali sxema (1) tenglamani 

approksimatsiya qilishi uchun 

                           (7) 

tengliklarning  bajarilishi zarur va yetarlidir.  



I s b o t i. Teylor formulasiga ko’ra  

 

 



Bu ifodalarni (6) ning chap tomoniga qo’yib, quyidagilarga ega bo’lamiz: 



 

Bu munosabatlar o’rinli bo’lishi uchun 

 

yoki (5) ga ko’ra 



                                 (8) 

Tengliklarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir. Endi 

 

tengliklarni xisobga olsak, (4.7) tenglik, demak, lemmaning isboti kelib chiqadi. 



Agar 

                                              (9) 

bo’lsa, u   xolda 

 

bo’ladi va (2) sxema r-tartibli approksimatsiyaga ega deyiladi. 



Osonlik bilan ko’rish mumkinki, agar u(x) funksiya r-darajali ko’pxad 

bo’lsa, u xolda (9) shartlar bajariladi va 

 bo’ladi. Demak, bu xolda (2) 

ayirmali sxema barcha r-darajali ko’pxad uchun aniq, tenglikka aylanadi. Umid 

qilish mumkinki, u(x) ning yechimi r-darajali ko’pxadlar bilan yaxshi 

yaqinlashadigan (1) differensial tenglamalar uchun   yetarlicha kichik bo’ladi. 

Shuni ta'qidlash kerakki, (9) shartlar 

 larga  nisbatan 

ushbu 


.               (10) 

2m + 2 ta noma'lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Endi 

(8) ni e'tiborga olib, (10) ni boshqacha yozishimiz mumkin. Natijada ushbu 2m  ta 

noma'lumli r ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: 

          (11) 



b

m0

 koeffitsient esa 

 

formula yordamida topiladi. (10) sistema ortig’i bilan aniklangan bo’lmasligi 



uchun  

 deb talab qilamiz. Bu talab shuni bildiradiki, m-qadamli ayirmali 

metodlar  approksimasiyasining  tar- tibi 2m  dan oshmaydi. 

Shunday qilib, approksimatsiyaning erishishi mumkin bo’lgan eng yuqori 

tartibi oshkormas xol  m-qadamli metodlar uchun 2m  bo’lib, oshkor 

  

xol  uchun 2m-1 dir. 



Adams metodlarida 

 bo’lganligi sababli  r-

tartibli approksimatsiya uchun (11) shartlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 

          (12) 

Bu sistemaning determinanti Vandermond determinanti bo’lib, i   xar xil qiymat 

qabul qiladi, shuning uchun xam bu sistema ixtiyoriy m  uchun yagona yechimga 

ega. 

Bundan ko’ramizki, Adamsning m-qadamli metodida approksimatsiyaning 



eng yuqori tartibi oshkormas xol uchun m+1 bo’lib, oshkor 

 xol  uchun 



m dir. 

 

 

1.3.Adamsning ekstrapolyasion metodlari. Yuqorida aytganimizdek, Adamsning 



m-qadamli oshkor 

                                           (13) 

metodi uchun approksimasiyasining eng yukori tartibi r=m. Noma'lum 

 

koeffitsientlarni  topish uchun (12) sistema bu xolda  ushbu ko’rinishga ega: 



 

 

Xar bir muayyan  uchun (12) sistemani yechib, 



 

larni topamiz. Agar m = 1 bo’lsa, u xolda Adams metodi ushbu 

 

Eyler metodiga aylanadi. 



Adams mashhur ingliz artilleristi Boshfort iltimosiga ko’ra o’z metodlarini 

1855 y. yaratgan edi. Bu metodlar keyinchalik unutilgan bo’lib, asrimizning 

boshida norvegiyalik matematik Shtyo’rmer tomonidan kayta ochildi. 

Osonlik bilan topish mumkinki, m = 2, 3, 4, 5 bo’lganda mos ravishda 

approksimatsiya tartibi m ga teng bo’lgan quyidagi metodlarga ega bo’lamiz: 





Amaliyotda Adams metodlari  m = 1,2,... , 10 lar uchun ishlatiladi. 

Adams metodlarini surishda boshkacha yondashish ham mumkin. Faraz 

qilaylik, 

                                                 (15) 

taqribiy   qiymatlar hisoblangan bo’lib,  

  bo’lsin. Keyingi 

    ni 

hisoblash uchun algebraik interpolyasiyalashdan foydalanamiz. Buning uchun 



 ning  ushbu 

                              (16) 

k +q + 1 ga nuqtalardagi qiymatlaridan foydalanib, (k +q) tartibli Lagranj 

interpolyasion ko’pxadini ko’ramiz : 

  

                        (17) 



Bunda  

. Tugunlar bir xil 

uzoqlikda joylashganligi 

  uchun 


 almashtirishni 

bajaramiz. U  xolda 

 

bunda   


 

 

Bu xolda (17) ko’pxad quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: 



                (18) 

Bu ko’pxaddan foydalanib, quyidagi tenglikni yozamiz: 

                        (19) 

bunda 

  interpolyasiyaning qoldik xadi. Agar 



 

qaralayotgan soxada  (k + q + 1) tartibli uzluksiz  xususiy xosilalarga ega bo’lsa, u 

xolda qoldik xadni quyidagicha yozish mumkin: 

         

   (20) 

Bu ifodani biz  

  oraliqda ishlatamiz. Shuning uchun, agar 

  bo’lsa, 

  va agar q = 0 bo’lsa, 

  deb qaraymiz. 

Ushbu 

 

formulada 



  ni (19) formulaning o’ng tomoni bilan almashtiramiz, u 

xolda quyidagiga ega bo’lamiz: 

                       (21) 

bunda 


 

 (22) 


 

Bu yerda 

  o’z ishorasini saqlaydi va 

  uzluksiz 

bo’lganligi uchun qoldik xadni quyidagicha yozib olishimiz mumkin: 


                      (23) 

bunda 


  agar 

 bo’lsa va 

,  agar  

  bo’lsa.Xosil qilingan (21) formuladan xar xil ayirmali sxema va ular uchun 

qoldiqlarning ifodasini ko’rsatish mumkin. Bu metodlar 

 bo’lganda 



interpolyasion deyiladi, 

 xolga mos keladigan metod ekstrapolyasion 

deyiladi. Bunday atalishlarning sababi quyidagidan iborat: 

 

interpolyasion ko’pxadni ko’rishda qatnashadigan, (10) tugunlarni o’z ichiga 



olgan eng kichik oraliq 

 dir. Agar 

 bo’lsa, qaralayotgan 

 oraliq  

   oraliqdan tashqarida yotadi; shuning uchun 

ham  


  oraliqda ekstrapolyasiya qilinadi; agar 

 bo’lsa, 

  oraliq 

  oraliqni o’z ichiga oladi va bu yerda 

asl ma'noda interpolyasiya qilinadi. 

Avvalo, ekstrapolyasiya metodini ko’rib chiqamiz. 

 bo’lgan xol 

uchun (4.21) formulani quyidagicha yozib olamiz: 

 (24) 

bunda 


 va 

   


bo’lib, 

 bo’lganda u (22) formuladan 

aniqlanadi: 

                             (25) 

Qoldik  had  

   esa 


  bo’lganda (23) dan quyidagicha 

hisoblanadi: 

               (26) 

Bu belgilashlarda (24) quyidagi ko’rinishga ega: 

             

(27) 


Bu formula hisoblash uchun yaroqsizdir, chunki unda noma'lum 

 

qoldik, xad, izlanayotgan yechim xosilasining ushbu qiymatlari 



                                  (28) 

va 


 qatnashadi. Agar yechimning 

 

aniq qiymatlari ma'lum bo’lsa, u  xolda (1) tenglamaga ko’ra (28) mikdorlarning 



anik kiymatini topishimiz mumkin edi: 

 

Ammo bizga izlanayotgan 



 

yechimning fakat taqribiy qiymatlari ma'lum va bular orkali 

 xosilaning 

  taqribiy qiymatini topish mumkin: 

                        (29) 

Endi (27) formuladagi xosilalarni (29) taqribiy qiymatlari bilan, 

  ni 

esa uning taqribiy qiymati  



 bilan almashtiramiz  va 

qoldiq hadni 

tashlaymiz ,natijada quyidagi taqribiy tenglikka ega bo’lamiz: 

                                      (30)  

Bu tenglikning  o’ng tomonini  

 deb  olamiz, u holda  

                                        (31) 


kelib chikadi. Shunday qilib, biz yana (13) tenglikka keldik. Bundan ko’ramizki, 

  koeffitsientlarni ikki xil usul bilan topishimiz mumkin: (14) sistemaning 

yechimi yoki (25) integralning qiymati sifatida. 

Misol uchun m = 5 bo’lganda b



mj

 ning sonli qiymatini va R



n,m

 ning ifodasini 

keltiramiz: 

 

                  



                                        (32) 

Biz yuqorida (4.18) Lagranj interpolyasion formulasidan foydalanib, natijada 

(25), (26) formulalarni chiqardik. Shunga o’xshash Nyutonning ikkinchi 

interpolyasion formulasini qo’llab, (30) formula o’rniga 

 funksiyaning tugun 

nuqtalaridagi qiymatlari emas, balki chekli ayirmalari qatnashadigan Adamsning 

ekstrapolyasion formulasini chiqarishimiz mumkin. Bu  formula quyidagicha 

yoziladi: 

 

          (33) 



Bu yerda 

 

 esa 



 funkisiyaning 

  nuqtalardagi qiymatlari bo’yicha 

tuzilgan  i-tartibli chekli ayirmasidir. (33) formulaning qoldik xadini quyidagicha 

yozish mumkin: 

 

Endi (33) formulaning m = 4 bo’lgandagi xususiy holini qaraymiz: 



         (34) 

Bu yerda n = 4 deb olamiz, u xolda 

                           (35) 

Xisoblashni (35) formula bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan 

foydalangan ma'qul: 







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(35) formulaning o’ng  tomonidagi barcha mikdorlar aniq bo’lib, jadvalning pastki 

qiya satrida joylashgan. Biz 

  ni topamiz, demak, shu bilan 

 xam aniqlanadi. 

Topilgan 

  ga ko’ra 

 ni xisoblaymiz va chekli ayirmalar jadvalini 

yana bir qiya satr bilan to’ldiramiz. Keyin (34) da 

  deb olib, xisoblashni 

davom ettiramiz. 

 

1.4.Adamsning interpolyasion metodlari. Yuqorida Adamsning interpolyasion 

metodi 


                                            (36) 

formula bilan aniqlanib

  ekanligini aytgan edik. Bu metod 

approksimasiyasining tartibi p = m + 1 bo’lib,  

  koeffitsiyentlari p=m+1 

bo’lganda (12) sistemadan , ya'ni 



 

sistemadan topiladi. Bundan m = 1 uchun approksimatsiya tartibi ikki bo’lgan 

metodni xosil qilamiz: 

 

Bu metod trapetsiya metodi deb xam ataladi. Biz m = 2, 3,4, 5 bo’lganda mos 



ravishda ushbu p = m + 1 tartibli approksimatsiyaga ega bo’lgan metodlarni xosil 

qilamiz: 

 

 

 



 

Yuqoridagi oshkormas metodlarda izlanayotgan 

  chiziqli bo’lmagan ko’rinishda 

qatnashadi. Shuning uchun xam bu tenglamalardan 

  ni topish uchun iteratsiya 

metodini qo’llash kerak. Masalan, to’rtinchi tartibli Adams metodi uchun iteratsion 

metod quyidagicha qo’llaniladi: 

                   (37) 

bu yerda s  iteratsiya nomeri. Dastlabki yaqinlashish  sifatida  Adamsning uchinchi 

tartibli oshkor metodi yordamida topilgan  yechimni olish mumkin, ya'ni  

 

Agar  



  bo’lsa, u  xolda (34) iteratsion metod yakinlashuvchi 

bo’lishi uchun  

  shart bajarilishi kerak, bu esa yetarlicha kichik h uchun 

doimo bajariladi. Agar (34) da faqat bitta iterasiya olsak, ya'ni s= 0 bo’lsa, u xolda 



prediktor-korrektor (bashoratchi-tuzatuvchi) metodi  deb ataluvchi metodga ega 

bo’lamiz. 

Adams interpolyasion formulasini Lagranj interpolyasion ko’pxadi yordamida 

xosil qilishni ko’ramiz, buning uchun (21) formulada q = 1 deb olamiz. U xolda 

 ,                                                 (38) 

bu yerda   

 

Endi (21) va (23) formulalarda q = 1, k =m -1 deb olib, quyidagi formulalarga ega 



bo’lamiz: 

 

  (39) 


              (40) 

Biz (24) formuladan (31) formulani shunday chikargan bo’lsak, xuddi 

shunga o’xshash muloxazalar yuritib, (36) formuladan quyidagi formulani 

chikaramiz: 



                                  (41) 

Bu esa (3) formula bilan ustma-ust tushadi. 

Endi (39) formula yordamida t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 lar uchun (41) Adams 

interpolyasion formulasi koeffitsientlarini keltiramiz: 

 

 

 



 

 

 



Adamsning ekstrapolyasion va interpolyasion metodlarini taqqoslaymiz. 

Buning  uchun (31) formulani 



                              (42) 

formula  bilan almashtish kerak , bu formula (41) formuladan m  ni m-1 bilan 

almashtirish natijasida xosil bo’ladi, chunki bu formulalarni qurish uchun bir bir 

xil sondagi, ya’ni m ta nuqtalardan foydalaniladi.Jumladan , (31) formulani 



  

 

 

 

(43) 


(42) formulada esa 

     


   

 

(44) 



tugunlardan foydalanilgan 

Ma'lumki, 

 funksiyani 

 oraliqda (43) tugunlar yordamida 

qurilgan interpolyasion ko’pxad bilan yaqinlashtirishdan (44)  tugunlar yordamida 

qurilgan ko’pxad bilan yaqinlashtirish aniqroqdir.Shu ma’noda Adamsning 

interpolyasion metodi ekstrapolyasion  metodi nisbatan aniqroqdir.Buni ya’na 

xam yahshiroq anglash uchun (31) va (32) formulalarning qoldiq xadlarini 

 uchun (26) va (40) formulalar yordamida topamiz ((40) 

formulada m ni m-1 bilan almashtirish kerak):  

 

 

Bulardan ko’rinadiki, 



  ning  sonli koeffitsientlari 

 nikiga  nisbatan 

ancha kichikdir. 

Endi Adams interpolyasion formulasining boshqa ko’rinishini, ya'ni 

  

chekli ayirmalarining qiymatlari qatnashadigan ko’rinishini keltiramiz, buning 



uchun Nyutonning ikkinchi interpolyasion formulasini (21) formulaga qo’yib, 

quyidagiga ega bo’lamiz: 

,                   

 

(45) 



bu yerda 

 

(45)



 

formulaning qoldik xadini quyidagicha yozish mumkin: 

 

Agar (33) formula bilan (45) formulani taqqoslasak, unda ko’rinib turibdiki, 



chekli ayirmalarning tartibi oshgan sari (45) formulada chekli ayirmalar oldidagi 

koeffitsientlar absolyut qiymatlari bilan (33) formuladagiga nisbatan tezroq 

kamayib boradi. Bunday xolda esa, o’z navbatida, (45) yoyilmadagi xadlar 

absolyut qiymati bilan (33) dagiga nisbatan tezrok kamayadi. 

Endi (45) formulaning m = 3 bo’lgandagi xususiy xolini qaraymiz: 

      (46) 

Bu yerda n=5 deb olamiz, u xolda quyidagi xosil bo’ladi: 

                         (47) 

Xisoblashni (46), (47) formulalar bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan 

foydalangan ma'qul: 







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Xisoblashni (45) formula yordamida olib borganda 

 

noma'lum ayirmalarning dastlabki yasinlashishlari Adamsning ekstrapolyasion 



metodi yordamida xisoblanadi. Darxaqiqat,

 ni (33) formula yordamida 

xisoblash kerak. Bu esa 

 ni topishga imkon beradi, natijada qolgan 

ayirmalarning dastlabki yakinlashishini topish mumkin bo’ladi. 

 Dastlabki yakinlashishlarni topishning boshqacha usulini xam ko’rsatish 

mumkin. Buni (47) formula misolida ko’ramiz. Bu formulaning o’ng tomonida va 

jadvalning pog’onali siniq, chizig’ining pastida 

                

 

 



    (48) 

ayirmalar joylashgan bo’lib, ularning qiymatlari noma'lum.Bularni iteratsiya 

metodi bilan topish uchun ularning dastlabki yaqinlashishini ko’rsatish kerak. Agar 



h qadam to’g’ri tanlangan bo’lsa, u xolda oxirgi ma'noli raqamning bir necha 

birligi chegarasida 

 

bo’ladi, shuning uchun 



 ning dastlabki yaqinlashishi sifatida 

 deb 


olishimiz mumkin. Bu esa (48) ayirmalarning 

                 

(49) 

dastlabki yaqinlashishlarini quyidagi formulalar yordamida topishiga imkon 

beradi. 

 

 



 

 

Endi  (49)  dastlabki yaqinlashishlarni (47) formulaga qo’yib, 



 ni va 

 

ni topamiz. Bundan keyin 



 

ni xisoblaymiz. Agar 

 tenglik bajarilsa, u xolda  

 deb olib, 

 

ni xisoblashni tugatamiz. Agar 



 bo’lsa, u xolda  

 ga ko’ra (49) 

ayirmalarning yangi 

      


                (50) 

qiymatini ketma-ket quyidagi formulalar  yordamida xisoblaymiz: 

 

 

 



 

Topilgan (50) qiymatlarni (47) formulaga ko’yib, 

 ni, demak, 

 ni 


topamiz. Agar 

 bo’lsa, u xolda  

 deb olamiz. Aks xolda 

iterasiyani davom ettiramiz. Tabiiyki, iterasiyani ko’p davom ettirishning foydasi 

yo’q. Qadam shunday tanlashi kerakki, bitta yoki ikkita iterasiya yetarli bo’lsin.

 

topilgandan keyin shu usul bilan  



 va  x.k.topiladi. 

 

 



 

 

 



Mavzuga doir misol va dastur : 

,             

, [a,b]=[1..2], n=10. 


uses crt; 

var  x,y:array[0..10] of real; 

i:integer; h:real; 

Function f(a,b:real):real; 

 begin 

  f:=-y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7); end; 



   begin 

      x[0]:=1;  y[0]:=1;  h:=0.1; 

    for i:=1 to 4 do 

     begin 

      x[i]:=x[0]+i*h; 

      y[i]:=y[i-1]-h*y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7); 

      writeln('y[',i,']=',y[i]); end; 

  for i:=4 to 9 do 

    begin 

     x[i]:=x[0]+i*h; 

     y[i+1]:=y[i]+h*(55*f(x[i],y[i])-59*f(x[i-1],y[i-1])+37*f(x[i-2],y[i-2])-9*f(x[i-

3],y[i-3]))/24; 

     writeln('y[',i+1,']=',y[i+1]); 

     end; end. 

Natija : 

y[1]=1 


y[2]=0.990221423110985 

y[3]=0.972483359672097 

y[4]=0.948491572064974 

y[5]=0.924499784457852 

y[6]=0.895804595844566 

y[7]=0.863506603237718 

y[8]=0.828797264605481 

y[9]=0.792711645333554 

y[10]=0.756107903708511 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

Xulosa. 

Xulosa o’rnida shuni aytishim mumkinki hisoblash usullari fani bu 

matematikadagi taqribiy hisoblashlarni ham  aniqlikda hisoblashga yordam 

beradi.

 

Hozirgi zamon hisoblash matematikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash 



matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarning 

yechish metodlari ham xilma-xildir, shu metodlardan biri Adamsning 

ektrapolyasion, interpolyasion yechish usullarini biz yuqorida ko’rib chiqdik. Men 

bu kurs ishimni tayyorlash davomida Adamsning usullari haqida bir qancha 

tushuncha va bilimlarga ega bo’ldim. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Foydalanilgan adabiyotlar: 



1.

 

Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003 

2.

 

Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari»,   T., "O`zbekiston", 

1997 

3.

 

Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv 

qo`llanma. Toshkent 2000. 

4.

 

Abduqodirov A.A. «Hisoblash  matematikasi va programmalash», Toshkent. 

"O`qituvchi" 1989. 

5.

 

Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh. 

1990. 

6.

 

Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va 

laboratoriya ishlari», T.1995. 

7.

 

Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma. 

T.2001.  

8.

 

Қобулов  В.К.  Функционал  анализ  ва  ҳисоблаш  математикаси. –Т.: 

“Ўқитувчи”. -1976й. 

9.

 

Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. –Т.: “Ўзбекистон”. -2003й. 

10.

 

Шодиметов  Х.М.  Введение  в  теорию  квадратурных  формул. –Т.: 

Фан. -2005й. 

11.

 

Расулов  И.Г.,  Хасанов  Б.,  Самадова  М.  Составная  кубатурная 

формула. 2009 

12.

 

  

www.ziyonet.uz

 

13.

 

  www.google.uz 

 

Document Outline

  • Tajimuratov Hursand Referat


Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling