Al-xorazmiy nomli urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti amaliy matematika

Sana	13.02.2017
Hajmi	134.43 Kb.
	#326

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM

VAZIRLIGI

AL-XORAZMIY NOMLI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA

VA INFORMATIKA YO`NALISHI 301-GURUH TALABASI

TAJIMURATOV HURSANDNING HISOBLASH USULLARI FANIDAN

Mavzu: Ko’p qadamli ayirmali usullar.

Topshirdi:

        Tajimuratov H.

Qabul qildi:

       Salayev S.

Urganch 2015

REJA:

I. Kirish.

II. Asosiy qism

2.1

Masalaning qo’yilishi .

2.2

Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi.

2.3

Adamsning ekstrapolyasion metodlari.

2.4

Adamsning interpolyasion metodlari.

III. Xulosa.

IV. Adabiyotlar.

Kirish

Elektron hisoblash mashinalarining inson faoliyatining turli soxalariga

tobora chuqurroq kirib borishi hozirgi zamon muxandislaridan hisoblash texnikasi

va amaliy matematika usullarini yetarli darajada bilishlarini talab etmoqda. Oliy

texnika o`quv yurtlarining talabalari birinchi kursdayoq hisoblash usullari va

algoritmik tillarni o`rganadilar, ulardan umummuxandislik va maxsus fanlar

bo`yicha laboratoriya ishlari, referatlari hamda diplom ishlarini bajarishda

foydalanadilar.

Matematika turmush masalalarini yechishga bo`lgan ehtiyoj, ya`ni yuzalar

va hajmlarni o`lchash, kema harakatini boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish

va boshqalar tufayli vujudga kelganligi uchun ham u hisoblash matematikasi

bo`lib, uning maqsadi masala yechimini son shaklida topishdan iborat. Bu fikrga

ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoya.

IX-X asrlarda O`rta Osiyoda matematika, astranomiya va boshqa tabiiy

fanlar rivojlana boshladi. Bu erda al-Xorazmiydek buyuk alloma dunyoga keldi.

Hisoblash matematikasining mutaxassisi ingliz matematigi E.But o`zini

«Sonli metodlar» kitobining kirish qismida «Hisoblash metodlarini sistemaga

solganligi uchun birinchi arab matematigi Muxammad ibn – Muso al –

Xorazmiydan minnatdormiz» deb yozgan edi.

Al-Xorazmiy "Xind sanog’i to`g’risida"gi arifmetik risolasida o`nlik sanoq,

sistemasini va bu sistemada to`rtta arifmetik amallarni bajarish qoidalarini birinchi

bo`lib bayon qilgan. Bu risola XII asrda lotin tiliga tarjima qilingan va u Osiyoda

ham, Evropada ham o`nlik sanoq, sistemasini qo`llanilishiga va tarqalishiga

poydevor bo`lgan.

Evropada bunday qoidalar al-Xorazmiy nomi bilan atalib, "Algorizmi"

deyilgan. Keyinchalik u Algorithm va Algorithmus ko`rinishlarini olib, oxirida

"algoritm" so`ziga aylangan.

Hozirgi vaqtda algoritm deb ma`lum bir tipga oid xamma masalalarni

echishda qo`llaniladigan barcha amallar sistemasining muayyan tartibda bajarilishi

haqidagi aniq qoidaga aytiladi.

Al-Xorazmiyning "Kitob al-muxtasar fi hisob aljabr va muqobala" nomli

algebraik risolasida birinchi marta algebra matematikaning mustaqil bo`limi

sifatida qaraladi. Unda algebraik miqdorlar ustida amallar bajarish qoidalari, 1- va

2-darajali algebraik tenglamalarni echish usullari va bunday tenglamalarga

keladigan hayotiy masalalar keltirilgan. Risola lotinchaga tarjima qilinganda "val-

muqobala" tushurib qoldirilgan va "algebra" nomi bilan jahonga tarqalgan

(shuning uchun bo`lsa kerak o’rta asrlarda Evropa davlatlarida singan qo`l-oyoqni

tiklaydigan tabibni algebrist deb atashgan).

Abul Vafo al-Bo`zjoniy 960 yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini

ishlab chikdi, sin(l/2)° ning qiymatini to`qqizta ishonchli raqam bilan berdi.

Bundan tashqari, u tg funktsiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini

to`zdi.

XV asrda Amir Temur saltanatining markazi - Samarqandda ilm-fan,

madaniyat yuqori darajada rivojlandi. Shu paytda Ulug’bekning madrasayu

rasadxonasi barpo etildi. Bu erda Ulug’bek bilan bir qatorda Ulug’bekning ustozi -

zamonasining mashhur matematigi va astronomi Qozizoda Rumiy hamda

G’iyosiddin Jamshid Koshiy, Mansur Koshiy, Muxammad Birjondiy va

Ulugbekning shogirdi Ali Kushchilar madrasada daryo berib, rasadxonada

yulduzlarni ko`zatish va ilmiy izlanishlar olib borishgan. Ayrim tadqiqotchilar

Ulugbek madrasasi bilan rasadxonasini birgalikda Ulug’bek akademiyasi deyishsa,

avstriyalik matematika tarixchisi X. Zemanek buni Hisoblash markazi (XM) deydi.

U aytadiki, XM bo`lishi uchun ikkita shart: 1) olimlarning jamoa bo`lib birgalikda

ishlashlari va 2) hisoblashning yuqori darajadagi aniqlikda olib borilishi zarur. Bu

erda har ikkala shart bajariladi. Shunday qilib, jaxonda birinchi Hisoblash markazi

(XM). Ulugbek raxbarligida Samarqandda barpo etildi.

Hisoblash matematikasining tarixida logarifmik jadvallarining tuzilishi katta

axamiyatga ega edi. Ingliz matematigi U. Neper (1614,1619), shveytsariyalik I.

Byurgi (1620), ingliz Brige (1617), gollandiyalik Vlakk (1628) va boshqalar

tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar buyuk frantsuz matematigi va mexanigi

P.S. Laplasning so`zi bilan aytganda: "...hisoblashlarni soddalashtirib,

astronomlarning umrini o`zaytirdi". Laplas hozirgi zamon kompyuterlarining

ishlashini ko`rganda nima der ekan?

1845 yilda Adams va 1846 yilda Lever’elar hisoblashlar natijasida Neptun

sayyorasining mavjudligi va fazodagi o`rnini oldindan aytishlari hisoblash

matematikasining buyuk g’alabasi edi. Neptunni "qalam uchida topilgan sayyora"

ham deyishadi.

Tatbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e`tiborini doim o`ziga tortar

edi. Shuning uchun ham o`tgan zamonning buyuk matematiklari o`z tadqiqotlarida

tabiat jarayonlarini o`rganish, ularning modellarini tuzish, modellarni tadqiq etish

ishlarini birga qo`shib olib borishgan. Ular bu modellarni tekshirish uchun maxsus

hisoblash metodlarini yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari N’yuton, Eyler,

Lobachevskiy, Gauss, CHebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan

dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratish bilan o`z zamonasining buyuk

matematiklari shug’ullanishgan.

1.1.M a s a l a n i n g q o ’ y i l i s h i. Bu bandda

(4.1)

Koshi masalasini yechish uchin qadami

doimiy bo’lga

to’rni kiritamiz va

to’r ustida aniqlangan

funksiyalarni

orqali belgilaymiz.Biz bu yerda Koshi

maslasining m-qadamli ayirmali metodlar bilan taqribiy yechimini ko’rib

chiqamiz.Bu metodlar orasida keng ko’llaniladiganlari

(2)

Munosabat bilan aniqlanadi, bu yerla a

mi

va b

lar n ga bogliq bo’lmagan koeffisientlar. Bu

metodlar chiziqli ayirmali metodlar yoki chiziqli-ayirmali sxemalar deyiladi.(2) tenglamaga

ni oldin topilgan

qiymatlar orqali ifodalanadigan rekurrent

munosabatdek qarash kerak. Xisob n=m dan, ya'ni

tenglamadan boshlanadi. Bundan ko’ramizki, xisobni boshlash uchun m ta

dastlabki qiymatlarni ko’rsatmok, kerak. Bu yerda

boshlangich shartdan topiladi, qolgan

larni esa boshqa metodlar,

masalan, Runge-Kutta metodi yordamida topish mumkin. Keyingi muloxazalarda

, dastlabki qiymatlar berilgan, deb faraz qilamiz.

Agar b

m

= 0 bo’lsa, u xolda (2) metod oshkor yoki ekstrapolyasion

deyiladi, bu xolda y

n

oshkor ravishda

orqali ifodalanadi.

Agar

bo’lsa, u xolda metod oshkormasyoki interpolyasion deyiladi. Bu

yerda ,

chiziqli bo’lmagan tenglamadan topiladi, bunda

Odatda, dastlabki yakinlashish

ga teng deb olib, bu tenglama

Nyuton metodi bilan yechiladi.

Xisoblash amaliyotida (2) ko’p qadamli metodlarning xususiy xoli bo’lgan

Adams metodlari keng tarqalgandir. Bunda

faqat

ikki nuqtaga

ko’ra approksimatsiya qilinadi, ya'ni

Shunday qilib, Adams metodlari

(3)

ko’rinishga ega. Agar b

m0

= 0 bo’lsa. Adams metodlari ekstrapolyasion bo’lib,

bo’lganda esa interpolyasiondir.

Keyinchalik (2) ayirmali metodlarni o’rganishda a

mi

va b

mi

koeffisientlar

tanlanishining approksimatsiyaning xatoligiga va turg’unlik hamda yaqinlashish

masalasiga ta'sirini ko’rib chiqamiz.

1.2.Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi.

Differensial tenglama yechimini approksimatsiyalashdagi xatolik yoki (2)

ayirmali sxemaning bog’lanishsizligi deb

(4)

miqdorga aytiladi.

T a ' r i f. Agar

munosabat o’rinli bo’lsa, m-qadamli sxema [x

,x

0

+ X] oralikda differensial

masalani yechimda approksimatsiya qiladi deyiladi.

Biz xozir a

va b

koeffitsientlarga bog’lik, ravishda

approksimatsiya tartibini aniqlaymiz.

Faraz kilaylik, qaralayotgan funksiyalar kerakli silliqlikkaa ega bo’lsin. Endi

ekanligini eslab ,

nuqtada

Teylor formulasiga ko’ra

tengliklarga ega bo’lamiz. Bu ifodalarni (4) ga ko’yi quyidagini xosil qilamiz:

bu yerda

Qulaylik uchun quyidagi lemmada

(5)

deb olamiz.

Lemma. Faraz qilaylik, u(x) ixtiyoriy silliq funksiya bo’lsin.,

(6)

munosabatlar o’rinli bo’lishi, ya'ni (2) ayirmali sxema (1) tenglamani

approksimatsiya qilishi uchun

(7)

tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

I s b o t i. Teylor formulasiga ko’ra

Bu ifodalarni (6) ning chap tomoniga qo’yib, quyidagilarga ega bo’lamiz:

Bu munosabatlar o’rinli bo’lishi uchun

yoki (5) ga ko’ra

(8)

Tengliklarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir. Endi

tengliklarni xisobga olsak, (4.7) tenglik, demak, lemmaning isboti kelib chiqadi.

Agar

(9)

bo’lsa, u xolda

bo’ladi va (2) sxema r-tartibli approksimatsiyaga ega deyiladi.

Osonlik bilan ko’rish mumkinki, agar u(x) funksiya r-darajali ko’pxad

bo’lsa, u xolda (9) shartlar bajariladi va

bo’ladi. Demak, bu xolda (2)

ayirmali sxema barcha r-darajali ko’pxad uchun aniq, tenglikka aylanadi. Umid

qilish mumkinki, u(x) ning yechimi r-darajali ko’pxadlar bilan yaxshi

yaqinlashadigan (1) differensial tenglamalar uchun yetarlicha kichik bo’ladi.

Shuni ta'qidlash kerakki, (9) shartlar

larga nisbatan

ushbu

. (10)

2m + 2 ta noma'lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Endi

(8) ni e'tiborga olib, (10) ni boshqacha yozishimiz mumkin. Natijada ushbu 2m ta

noma'lumli r ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

(11)

b

m0

koeffitsient esa

formula yordamida topiladi. (10) sistema ortig’i bilan aniklangan bo’lmasligi

uchun

deb talab qilamiz. Bu talab shuni bildiradiki, m-qadamli ayirmali

metodlar approksimasiyasining tar- tibi 2m dan oshmaydi.

Shunday qilib, approksimatsiyaning erishishi mumkin bo’lgan eng yuqori

tartibi oshkormas xol m-qadamli metodlar uchun 2m bo’lib, oshkor

xol uchun 2m-1 dir.

Adams metodlarida

bo’lganligi sababli r-

tartibli approksimatsiya uchun (11) shartlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(12)

Bu sistemaning determinanti Vandermond determinanti bo’lib, i xar xil qiymat

qabul qiladi, shuning uchun xam bu sistema ixtiyoriy m uchun yagona yechimga

ega.

Bundan ko’ramizki, Adamsning m-qadamli metodida approksimatsiyaning

eng yuqori tartibi oshkormas xol uchun m+1 bo’lib, oshkor

xol uchun

m dir.

1.3.Adamsning ekstrapolyasion metodlari. Yuqorida aytganimizdek, Adamsning

m-qadamli oshkor

(13)

metodi uchun approksimasiyasining eng yukori tartibi r=m. Noma'lum

koeffitsientlarni topish uchun (12) sistema bu xolda ushbu ko’rinishga ega:

Xar bir muayyan m uchun (12) sistemani yechib,

larni topamiz. Agar m = 1 bo’lsa, u xolda Adams metodi ushbu

Eyler metodiga aylanadi.

Adams mashhur ingliz artilleristi Boshfort iltimosiga ko’ra o’z metodlarini

1855 y. yaratgan edi. Bu metodlar keyinchalik unutilgan bo’lib, asrimizning

boshida norvegiyalik matematik Shtyo’rmer tomonidan kayta ochildi.

Osonlik bilan topish mumkinki, m = 2, 3, 4, 5 bo’lganda mos ravishda

approksimatsiya tartibi m ga teng bo’lgan quyidagi metodlarga ega bo’lamiz:

;

Amaliyotda Adams metodlari m = 1,2,... , 10 lar uchun ishlatiladi.

Adams metodlarini surishda boshkacha yondashish ham mumkin. Faraz

qilaylik,

(15)

taqribiy qiymatlar hisoblangan bo’lib,

bo’lsin. Keyingi

hisoblash uchun algebraik interpolyasiyalashdan foydalanamiz. Buning uchun

ning ushbu

(16)

k +q + 1 ga nuqtalardagi qiymatlaridan foydalanib, (k +q) tartibli Lagranj

interpolyasion ko’pxadini ko’ramiz :

(17)

Bunda

. Tugunlar bir xil

uzoqlikda joylashganligi

uchun

almashtirishni

bajaramiz. U xolda

bunda

Bu xolda (17) ko’pxad quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

(18)

Bu ko’pxaddan foydalanib, quyidagi tenglikni yozamiz:

(19)

bunda

interpolyasiyaning qoldik xadi. Agar

qaralayotgan soxada (k + q + 1) tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega bo’lsa, u

xolda qoldik xadni quyidagicha yozish mumkin:

(20)

Bu ifodani biz

oraliqda ishlatamiz. Shuning uchun, agar

bo’lsa,

va agar q = 0 bo’lsa,

deb qaraymiz.

Ushbu

formulada

ni (19) formulaning o’ng tomoni bilan almashtiramiz, u

xolda quyidagiga ega bo’lamiz:

(21)

bunda

(22)

Bu yerda

o’z ishorasini saqlaydi va

uzluksiz

bo’lganligi uchun qoldik xadni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:

(23)

bunda

agar

bo’lsa va

, agar

bo’lsa.Xosil qilingan (21) formuladan xar xil ayirmali sxema va ular uchun

qoldiqlarning ifodasini ko’rsatish mumkin. Bu metodlar

bo’lganda

interpolyasion deyiladi,

xolga mos keladigan metod ekstrapolyasion

deyiladi. Bunday atalishlarning sababi quyidagidan iborat:

interpolyasion ko’pxadni ko’rishda qatnashadigan, (10) tugunlarni o’z ichiga

olgan eng kichik oraliq

dir. Agar

bo’lsa, qaralayotgan

oraliq

oraliqdan tashqarida yotadi; shuning uchun

ham

oraliqda ekstrapolyasiya qilinadi; agar

bo’lsa,

oraliq

oraliqni o’z ichiga oladi va bu yerda

asl ma'noda interpolyasiya qilinadi.

Avvalo, ekstrapolyasiya metodini ko’rib chiqamiz.

bo’lgan xol

uchun (4.21) formulani quyidagicha yozib olamiz:

(24)

bunda

bo’lib,

bo’lganda u (22) formuladan

aniqlanadi:

(25)

Qoldik had

esa

bo’lganda (23) dan quyidagicha

hisoblanadi:

(26)

Bu belgilashlarda (24) quyidagi ko’rinishga ega:

(27)

Bu formula hisoblash uchun yaroqsizdir, chunki unda noma'lum

qoldik, xad, izlanayotgan yechim xosilasining ushbu qiymatlari

(28)

qatnashadi. Agar yechimning

aniq qiymatlari ma'lum bo’lsa, u xolda (1) tenglamaga ko’ra (28) mikdorlarning

anik kiymatini topishimiz mumkin edi:

Ammo bizga izlanayotgan

yechimning fakat taqribiy qiymatlari ma'lum va bular orkali

xosilaning

taqribiy qiymatini topish mumkin:

(29)

Endi (27) formuladagi xosilalarni (29) taqribiy qiymatlari bilan,

esa uning taqribiy qiymati

bilan almashtiramiz va

qoldiq hadni

tashlaymiz ,natijada quyidagi taqribiy tenglikka ega bo’lamiz:

(30)

Bu tenglikning o’ng tomonini

deb olamiz, u holda

(31)

kelib chikadi. Shunday qilib, biz yana (13) tenglikka keldik. Bundan ko’ramizki,

koeffitsientlarni ikki xil usul bilan topishimiz mumkin: (14) sistemaning

yechimi yoki (25) integralning qiymati sifatida.

Misol uchun m = 5 bo’lganda b

ning sonli qiymatini va R

n,m

ning ifodasini

keltiramiz:

(32)

Biz yuqorida (4.18) Lagranj interpolyasion formulasidan foydalanib, natijada

(25), (26) formulalarni chiqardik. Shunga o’xshash Nyutonning ikkinchi

interpolyasion formulasini qo’llab, (30) formula o’rniga

funksiyaning tugun

nuqtalaridagi qiymatlari emas, balki chekli ayirmalari qatnashadigan Adamsning

ekstrapolyasion formulasini chiqarishimiz mumkin. Bu formula quyidagicha

yoziladi:

(33)

Bu yerda

esa

funkisiyaning

nuqtalardagi qiymatlari bo’yicha

tuzilgan i-tartibli chekli ayirmasidir. (33) formulaning qoldik xadini quyidagicha

yozish mumkin:

Endi (33) formulaning m = 4 bo’lgandagi xususiy holini qaraymiz:

(34)

Bu yerda n = 4 deb olamiz, u xolda

(35)

Xisoblashni (35) formula bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan

foydalangan ma'qul:

x

y

(35) formulaning o’ng tomonidagi barcha mikdorlar aniq bo’lib, jadvalning pastki

qiya satrida joylashgan. Biz

ni topamiz, demak, shu bilan

xam aniqlanadi.

Topilgan

ga ko’ra

ni xisoblaymiz va chekli ayirmalar jadvalini

yana bir qiya satr bilan to’ldiramiz. Keyin (34) da

deb olib, xisoblashni

davom ettiramiz.

1.4.Adamsning interpolyasion metodlari. Yuqorida Adamsning interpolyasion

metodi

(36)

formula bilan aniqlanib,

ekanligini aytgan edik. Bu metod

approksimasiyasining tartibi p = m + 1 bo’lib,

koeffitsiyentlari p=m+1

bo’lganda (12) sistemadan , ya'ni

sistemadan topiladi. Bundan m = 1 uchun approksimatsiya tartibi ikki bo’lgan

metodni xosil qilamiz:

Bu metod trapetsiya metodi deb xam ataladi. Biz m = 2, 3,4, 5 bo’lganda mos

ravishda ushbu p = m + 1 tartibli approksimatsiyaga ega bo’lgan metodlarni xosil

qilamiz:

Yuqoridagi oshkormas metodlarda izlanayotgan

chiziqli bo’lmagan ko’rinishda

qatnashadi. Shuning uchun xam bu tenglamalardan

ni topish uchun iteratsiya

metodini qo’llash kerak. Masalan, to’rtinchi tartibli Adams metodi uchun iteratsion

metod quyidagicha qo’llaniladi:

(37)

bu yerda s iteratsiya nomeri. Dastlabki yaqinlashish sifatida Adamsning uchinchi

tartibli oshkor metodi yordamida topilgan yechimni olish mumkin, ya'ni

Agar

bo’lsa, u xolda (34) iteratsion metod yakinlashuvchi

bo’lishi uchun

shart bajarilishi kerak, bu esa yetarlicha kichik h uchun

doimo bajariladi. Agar (34) da faqat bitta iterasiya olsak, ya'ni s= 0 bo’lsa, u xolda

prediktor-korrektor (bashoratchi-tuzatuvchi) metodi deb ataluvchi metodga ega

bo’lamiz.

Adams interpolyasion formulasini Lagranj interpolyasion ko’pxadi yordamida

xosil qilishni ko’ramiz, buning uchun (21) formulada q = 1 deb olamiz. U xolda

, (38)

bu yerda

Endi (21) va (23) formulalarda q = 1, k =m -1 deb olib, quyidagi formulalarga ega

bo’lamiz:

(39)

(40)

Biz (24) formuladan (31) formulani shunday chikargan bo’lsak, xuddi

shunga o’xshash muloxazalar yuritib, (36) formuladan quyidagi formulani

chikaramiz:

(41)

Bu esa (3) formula bilan ustma-ust tushadi.

Endi (39) formula yordamida t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 lar uchun (41) Adams

interpolyasion formulasi koeffitsientlarini keltiramiz:

Adamsning ekstrapolyasion va interpolyasion metodlarini taqqoslaymiz.

Buning uchun (31) formulani

(42)

formula bilan almashtish kerak , bu formula (41) formuladan m ni m-1 bilan

almashtirish natijasida xosil bo’ladi, chunki bu formulalarni qurish uchun bir bir

xil sondagi, ya’ni m ta nuqtalardan foydalaniladi.Jumladan , (31) formulani

(43)

(42) formulada esa

(44)

tugunlardan foydalanilgan

Ma'lumki,

funksiyani

oraliqda (43) tugunlar yordamida

qurilgan interpolyasion ko’pxad bilan yaqinlashtirishdan (44) tugunlar yordamida

qurilgan ko’pxad bilan yaqinlashtirish aniqroqdir.Shu ma’noda Adamsning

interpolyasion metodi ekstrapolyasion metodi nisbatan aniqroqdir.Buni ya’na

xam yahshiroq anglash uchun (31) va (32) formulalarning qoldiq xadlarini

uchun (26) va (40) formulalar yordamida topamiz ((40)

formulada m ni m-1 bilan almashtirish kerak):

Bulardan ko’rinadiki,

ning sonli koeffitsientlari

nikiga nisbatan

ancha kichikdir.

Endi Adams interpolyasion formulasining boshqa ko’rinishini, ya'ni

chekli ayirmalarining qiymatlari qatnashadigan ko’rinishini keltiramiz, buning

uchun Nyutonning ikkinchi interpolyasion formulasini (21) formulaga qo’yib,

quyidagiga ega bo’lamiz:

(45)

bu yerda

(45)

formulaning qoldik xadini quyidagicha yozish mumkin:

Agar (33) formula bilan (45) formulani taqqoslasak, unda ko’rinib turibdiki,

chekli ayirmalarning tartibi oshgan sari (45) formulada chekli ayirmalar oldidagi

koeffitsientlar absolyut qiymatlari bilan (33) formuladagiga nisbatan tezroq

kamayib boradi. Bunday xolda esa, o’z navbatida, (45) yoyilmadagi xadlar

absolyut qiymati bilan (33) dagiga nisbatan tezrok kamayadi.

Endi (45) formulaning m = 3 bo’lgandagi xususiy xolini qaraymiz:

(46)

Bu yerda n=5 deb olamiz, u xolda quyidagi xosil bo’ladi:

(47)

Xisoblashni (46), (47) formulalar bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan

foydalangan ma'qul:

x

y

Xisoblashni (45) formula yordamida olib borganda

noma'lum ayirmalarning dastlabki yasinlashishlari Adamsning ekstrapolyasion

metodi yordamida xisoblanadi. Darxaqiqat,

ni (33) formula yordamida

xisoblash kerak. Bu esa

ni topishga imkon beradi, natijada qolgan

ayirmalarning dastlabki yakinlashishini topish mumkin bo’ladi.

Dastlabki yakinlashishlarni topishning boshqacha usulini xam ko’rsatish

mumkin. Buni (47) formula misolida ko’ramiz. Bu formulaning o’ng tomonida va

jadvalning pog’onali siniq, chizig’ining pastida

(48)

ayirmalar joylashgan bo’lib, ularning qiymatlari noma'lum.Bularni iteratsiya

metodi bilan topish uchun ularning dastlabki yaqinlashishini ko’rsatish kerak. Agar

h qadam to’g’ri tanlangan bo’lsa, u xolda oxirgi ma'noli raqamning bir necha

birligi chegarasida

bo’ladi, shuning uchun

ning dastlabki yaqinlashishi sifatida

deb

olishimiz mumkin. Bu esa (48) ayirmalarning

(49)

dastlabki yaqinlashishlarini quyidagi formulalar yordamida topishiga imkon

beradi.

Endi (49) dastlabki yaqinlashishlarni (47) formulaga qo’yib,

ni va

ni topamiz. Bundan keyin

ni xisoblaymiz. Agar

tenglik bajarilsa, u xolda

deb olib,

ni xisoblashni tugatamiz. Agar

bo’lsa, u xolda

ga ko’ra (49)

ayirmalarning yangi

(50)

qiymatini ketma-ket quyidagi formulalar yordamida xisoblaymiz:

Topilgan (50) qiymatlarni (47) formulaga ko’yib,

ni, demak,

topamiz. Agar

bo’lsa, u xolda

deb olamiz. Aks xolda

iterasiyani davom ettiramiz. Tabiiyki, iterasiyani ko’p davom ettirishning foydasi

yo’q. Qadam shunday tanlashi kerakki, bitta yoki ikkita iterasiya yetarli bo’lsin.

topilgandan keyin shu usul bilan

va x.k.topiladi.

Mavzuga doir misol va dastur :

, [a,b]=[1..2], n=10.

uses crt;

var x,y:array[0..10] of real;

i:integer; h:real;

Function f(a,b:real):real;

begin

f:=-y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7); end;

begin

x[0]:=1; y[0]:=1; h:=0.1;

for i:=1 to 4 do

begin

x[i]:=x[0]+i*h;

y[i]:=y[i-1]-h*y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7);

writeln('y[',i,']=',y[i]); end;

for i:=4 to 9 do

begin

x[i]:=x[0]+i*h;

y[i+1]:=y[i]+h*(55*f(x[i],y[i])-59*f(x[i-1],y[i-1])+37*f(x[i-2],y[i-2])-9*f(x[i-

3],y[i-3]))/24;

writeln('y[',i+1,']=',y[i+1]);

end; end.

Natija :

y[1]=1

y[2]=0.990221423110985

y[3]=0.972483359672097

y[4]=0.948491572064974

y[5]=0.924499784457852

y[6]=0.895804595844566

y[7]=0.863506603237718

y[8]=0.828797264605481

y[9]=0.792711645333554

y[10]=0.756107903708511

Xulosa.

Xulosa o’rnida shuni aytishim mumkinki hisoblash usullari fani bu

matematikadagi taqribiy hisoblashlarni ham aniqlikda hisoblashga yordam

beradi.

Hozirgi zamon hisoblash matematikasi jadal rivojlanib bormoqda. Hisoblash

matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarning

yechish metodlari ham xilma-xildir, shu metodlardan biri Adamsning

ektrapolyasion, interpolyasion yechish usullarini biz yuqorida ko’rib chiqdik. Men

bu kurs ishimni tayyorlash davomida Adamsning usullari haqida bir qancha

tushuncha va bilimlarga ega bo’ldim.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1.

Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003

2.

Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari»,   T., "O`zbekiston",

1997

3.

Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv

qo`llanma. Toshkent 2000.

4.

Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent.

"O`qituvchi" 1989.

5.

Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh.

1990.

6.

Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va

laboratoriya ishlari», T.1995.

7.

Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma.

T.2001.

8.

Қобулов  В.К.  Функционал  анализ  ва  ҳисоблаш  математикаси. –Т.:

“Ўқитувчи”. -1976й.

9.

Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. –Т.: “Ўзбекистон”. -2003й.

10.

Шодиметов  Х.М.  Введение  в  теорию  квадратурных  формул. –Т.:

Фан. -2005й.

11.

Расулов  И.Г.,  Хасанов  Б.,  Самадова  М.  Составная  кубатурная

формула. 2009

12.



www.ziyonet.uz

13.

www.google.uz

Document Outline

Tajimuratov Hursand Referat

Download 134.43 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: