Algebra va sonlar nazariyasi fanidan o’quv uslubiy majmua

9-Mavzu: Chiziqli tengsizliklar sistemasining hamjoyli, hamjoysizligi. Qavariq konus.
Режа:

1. 
   Чизикли тенгсизликлар системанинг хамжойсизлиги хакидаги теорема.
   
2. 
   Каварик конус.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпулатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. I кисм. Т.: Укитувчи. 1993 й. (282-296 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. шк. 1979 г. (стр. 321-326).
   

Р₁=а₁₁ х₁ + а₁₂ х₂ + ... +а_1n х_n ≥о,
Р₂=а₂₁ х₁ + а₂₂ х₂ + ... +а_2n х_n≥ о, (S)
. . . . . . .
Р_m=а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + ... +а_mn х_n≥ о,
тенгсизликлар системаси
Р_m=а_m1 х₁ + а_m2 х₂ + ... +а_mn х_n≥ о. (1)
тенгсизлик берилган булиб, у (S) системанинг натижаси булсин.
Теорема(Минковский теоремаси). (S) бир жинсли чизикли тенгсизликлар системасининг хар бир натижаси бу системанинг манфиймас коэффициентли чизикли комбинациясидан ибоарат булади.
Бу теоремани исботлаш учун куйидаги теоремани исботсиз келтирамиз:
Теорема. Чизикли тенгламалар системаси хамжойсиз булиши учун бу тенгсизликлар системасининг бирор чизикли комбинацияси зиддиятли тенгсизлик булиши зарур ва етарлидир.
Мисол. Ушбу системанинг хамжойсиз эканлигини курсатинг.
(S) (Т)
зиддиятли тенгсизлик. У холда юкоридаги теоремага асосан берилган система хамжойсиз ситема булади.
Таъриф. Чизикли тенгсизликлар системасидан номаълумлар сонини биттага камайтириб тузилган янги системани берилган системага йулдош система дейилади.
(S) системадан
(Т)
системани хосил киламиз. Бундан

системани хосил киламиз.
Лемма.Йулдош системанинг хар бир тенгсизлиги берилган тенгсизликлар системасининг чизикли комбинацияси булади.
Исботи. (S) (T); (S^I) йулдош системанинг тенгсизликлари ва тенгсизликлардан тузилган. Бу тенгсизликлар (S) система тенгсизликларини мусбат сонга купайтиришдан хосил булади. R_S≥0 эса (S) система тенгсизликларидан иборат булади. Демак, (S^I) система тенгсизликлари (S) система тенгсизликларининг чизикли комбинациясидан иборат булади.
Минковский теоремасининг исботи. с>0 булганда Р+с<0 хам (S) нинг натижаси булади, чунки (1) ни каноатлантирувчи хар бир ечим Р+с>0 ни хам каноатлантиради, у холда система хамжойсиз булади. (S) нинг исталган ечими Р+с>0 учун хам ечим булгани учун
Р₁≥0, Р₂≥0 , ... ,Р_m≥0, -Р-с≥0 (2)
система хамжойсиз булади. 2-теоремага асосан k₁≥0, k₂≥0, ... ,k_m≥0, k≥0 сонлар учун (2) нинг чизикли комбинацияси
k₁P₁+k₂P₂+ ... +k_mP_m+(-P-c)k≥0,
0^.x₁+0^.x₂+ ... +0^.x_m+b=0+b=b≥0 (b<0)
зиддиятли тенгсизликни ифодалайди. Шундай килиб ушбу
k₁P₁+k₂P₂+ ... +k_mP_m-kP-kc=0+b
тенглик бажарилади. Р₁, Р₂, ... ,Р_m, P – бир жинсли ифода булгани учун –kc-b=0 тенглик хосил булади.
b<0 ва c>0 дан k>0 хосил булади. Демак,
k₁P₁+k₂P₂+ ... +k_mP_m-kP=0 булиб, бундан
(3)
тенглик келиб чикади.
(3) да , чунки k>0 ва k_i≥0.
(3) га асосан (1) тенгсизлик (S) системанинг манфиймас чизикли комбинациясидан иборат булади.
Текшириш саволлари

1. 
   Минковский теоремасини баён килинг.
   
2. 
   ЧТС нинг хамжойсизлик аломатини баён килинг.