Algebra va sonlar nazariyasi fanidan o’quv uslubiy majmua

Агар (7) детерминантда

десак, у холда D детерминант
(8)
йигиндига тенг булади. (8) йигинди эса куйидаги m та кушилувчилар йигиндисига ёйилади:

Хосил булган бу йигиндилар D₁,D₂,...,D_m детерминантлар йигиндисидан иборатлигини билдиради.
Мисол.
7^о. Детерминантда бирор сатр (устун) нинг элементларини ихтиёрий сонга купйатириб, бу купайтмаларни бошка сатр (устун) нинг мос элементларига кушишдан детерминант узгармайди (исботланг).
Мисол.

Текшириш саволлари

1. 
   n-тартибли детерминант деб нимага айтилади?
   
2. 
   2-тартибли детерминант кандай хисобланади?
   
3. 
   3-тартибли детерминантни хисоблашнинг учбурчак усулини тушунтириб беринг.
   
4. 
   n-тартибли детерминантда нечта хад булади?
   
5. 
   n-тартибли детерминантнинг кандай хоссаларини биласиз?
   

18-Mavzu: Minor. Matritsa elementining algebraik to’ldiruvchisi. Matritsa determinantini satr yoki ustun elementlari bo’yicha yoyish.
Режа:

1. 
   Детерминантнинг минорлари хакида тушунчалар.
   
2. 
   Минорнинг алгебраик тулдирувчилари хакида тушунча.
   
3. 
   Детерминантдаги элементнинг алгебраик тулдирувчиси.
   
4. 
   Лаплас теоремаси.
   
5. 
   Детерминантни сатр ёки устун элементлари буйича ёйиш.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпулатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. Т.: Укитувчи. 1993 й. (211-220 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа. 1979 г. (стр. 232-236).
   

Таъриф. n-тартибли детерминантнинг исталган r та сатри ва r та устунини (1rтартибда олиб, бу элементлардан r-тартибли детерминант тузсак, бу детерминант берилган детерминантнинг r-тартибли минори деб аталади.

Таъриф. Детерминантда r та сатр ва r та устунни учириб учирилмасдан колган элементлардан берилган детерминантдагидек тартибда олиб, (n-r)-тартибли детерминант тузсак, у детерминант r-тартибли минорга кушимча минор дейилади.
Мисол.

детерминантда биринчи ва учинчи сатрларни, иккинчи ва туртинчи устунларни учирайлик. Учиришдан кесишган жойлардаги элементлардан тузилган

иккинчи тартибли детерминант берилган детерминантнинг 2-тартибли минори дейилади. Детерминантдаги учирилмай колган элементлардан тузилган

детерминант юкоридаги хосил булган 2-тартибли минорга кушимча минор дейилади.
Таъриф. n-тартибли детерминантдаги a_ij элементнинг минори деб детерминантдаги i-сатр, j-устунни учиргандан кейин колган (n-1)-тартибли детерминантга айтилади ва у куринишда белгиланади (бунда М= a_ij булади).
Мисол. Олдинги мисолдаги D детерминантдаги а₂₃ элементнинг минори

булади.
Таъриф. n-тартибли D детерминантнинг r-тартибли М минорининг шу детерминантда катнашган сатр ва устунлар номерларини мос равишда k₁,k₂,...,k_r ва l₁,l₂,...,l_r десак, у холда М минорнинг алгебраик тулдирувчиси деб сонга айтилади ва у А оркали белгиланади (Бу ерда минор М минорга кушимча минор).
Таъриф. n-тартибли детерминантдаги a_ij элементнинг алгебраик тулдирувчиси деб (-1)^i+j сонга айтилади ва у А_ij куринишда белгиланади.
Таърифга кура А_ij=(-1)^i+j булади.
Мисол. детерминантдаги –1 сонининг алгебраик тулдирувчиси А₂₂=(-1)²⁺² =4, А₂₂=4 булади.
Теорема (Лаплас теоремаси). n-тартибли D детерминантда танланган r та ихтиёрий сатр (устун) лардан барча r-тартибли минорни тузиб ва уларни мос алгебраик тулдирувчиларига купайтириб, бу купайтмалар кушилса, у холда хосил булган йигиндиси D детерминантга тенг булади.
Бу теореманинг исботи [1] да келтирилган.
Агар Лаплас теоремасидаги D детерминантда кандайдир r(1rn-1) та сатрни танлаб, улардан тузилган барча r-тартибли минорларни, М₁,М₂,...М_t ва уларга мос алгебраик тулдирувчиларни А₁,А₂,...А_t десак, у холда
D=М₁А₁+М₂А₂+...+М_t А_t (1)
булади. Агар Лаплас теоремасида r=1 булса, яъни D детерминантда битта i-сатр ажратилса, у холда М₁,М₂,...М_t минорлар 1-тартибли минорлар сифатида, шу i-сатрнинг а_i1,а_i2,...,а_in элементларидан иборат булади. А₁,А₂,...А_t алгебраик тулдирувчилар бу вактда а_i1,а_i2,...,а_in элементларнинг А_i1,А_i2,...,А_in алгебраик тулдирувчиларига айланиб (1) тенглик
D=а_i1А_i1+ а_i2А_i2+...+ а_inА_in (2)
куринишни олади. (2) йигинди D детерминантнинг i-сатр элементлари буйича ёйилмаси дейилади.
Мисол.
Теорема. D детерминантнинг битта сатри (устуни) даги элементларни бошка сатр (устун) даги мос элементларининг алгебраик тулдирувчиларига купайтириб, натижаларни кушсак, у холда йигинди нолга тенг булади, яъни
а_i1А_j1+ а_i2А_j2+...+ а_inА_jn=0 (ij), (3)
а_1kА_1i+ а_2kА_2i+...+ а_nkА_ni=0 (ki) (4)
булади.
Бу теореманинг исботи [1,2] да келтирилган.
Энди минорлар ва алгебраик тулдирувчилардан фойдаланиб берилган матрицага тескари матрицани топишни урганайлик.
Ушбу

n-тартибли хосмас (детерминант нолдан фаркли) квадрат матрица берилган булсин. Хакикатан А матрицанинг сатрлари чизикли богланмаган булгани сабабли унинг детерминанти нолдан фаркли, яъни

булади.
Теорема. А матрицага тескари матрица мавжуд булиши учун А матрицанинг хосмас матрица булиши зарур ва етарли.
Исботи. 1. Зарурлиги. А матрица учун А^-1 тескари матрица мавжуд булсин. Исбот килиш керак |A|0 эканлигини.
Хакикатан, АЌА^-1=Е эканлигидан |АA^-1|=|Е| булади. Аммо |АA^-1|=|А||A^-1|, |Е|=1 булгани учун |А||A^-1|=1 булиб, бундан |А|0 келиб чикади.
2. Етарлилиги. |А|0 булсин. Исбот килиш керак А учун A^-1 матрица мавжудлигини. А матрица барча элементларининг алгебраик тулдирувчиларини хисоблайлик ва улардан ушбу

матрицани тузайлик. АЌВ матрицани карайлик.
=
,
яъни тенглик хосил булади. Бу тенгликнинг икки томонини сонга купайтириб тенгликни хосил киламиз. Бу тенгликдан куринадики, эканлиги, яъни

булади. Бу эса А матрицага тескари матрицадир.