Algebra va sonlar nazariyasi fanidan o’quv uslubiy majmua

Текшириш саволлари

1. 
   Детерминантнинг минори деб нимага айтилади?
   
2. 
   Детерминант минорига кушимча минор деб нимага айтилади?
   
3. 
   Детерминантдаги элементнинг минори деб нимага айтилади?
   
4. 
   Детерминантдаги элементнинг алгебраик тулдирувчиси деб нимага айтилади?
   
5. 
   Лаплас теоремасини баён этинг.
   
6. 
   Минорлар ва алгебраик тулдирувчилардан фойдаланиб берилган матрицага тескари матрица кандай топилади?
   

19-mavzu: Matritsa rangi haqidagi teorema. Matritsa determinantini nolga teng bo’lishining zarur va yetarli sharti.

Режа:

1. 
   Матрицанинг минори.
   
2. 
   Матрица ранги хакида теорема.
   
3. 
   Крамер формуласи.
   

Адабиёт

1. 
   Назаров Р.Н., Тошпулатов Б.Т., Дусумбетов А.Д. Алгебра ва сонлар назарияси. Т.: Укитувчи. 1993 й. (221-223, 229-232 бетлар).
   
2. 
   Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа. 1979 г. (стр. 239-243).
   

F сонлар майдони АF^mn матрица берилган булиб, k сон 1kn, 1km шартларни каноатлантирсин.

Таъриф. А матрицада k та сатр ва k та устунни учириб, уларнинг кесишиш жойларида турувчи элементларни шу матрицада жойлашгандек олиб, улардан k-тартибли детерминант тузилса, у холда бундай детерминантга А матрицанинг k-тартибли минори дейилади.
А_mn даги k-тартибли минорлар сони га тенг.
Мисол.
матрицанинг барча минорлари сони та булади.
Теорема. А матрицанинг ранги унинг нолдан фаркли минорларидан энг юкори тартиблисининг тартибига тенг.
Исботи. Нолдан фаркли энг юкори тартибли D минор А матрицанинг юкори чап бурчагида жойлашган деб фараз киламиз, яъни

булсин. А матрицанинг s-сатри ( ) биринчи r та сатрлари оркали чизикли ифодаланади. Бу мулохазани исботлаш максадида

(r+1)-тартибли детерминантни оламиз. Бунда дан иборат. Хамма _i детерминантлар нолга тенг. Хакикатан, ir кийматларда _i нинг иккита сатри тенг булиб, _i=0 булади. i>r да эса _i лар А матрицанинг (r+1)-тартибли минорларини ифодалайди, бу холда хам _i=0 булади. _i ни охирги устун элементлари буйича уни куйидагича ёямиз:
а_1iА_is+а_2iА_2s+...+а_riА_rs+Dа_si=0, (1)
бунда а_1i, а_2i,...,а_ri элементларнинг алгебраик тулдирувчилари а_sk га боглик булгани учун уларни А_is,А_2s,...,А_rs оркали белгиладик. D0 га мувофик, (1) тенгликларни а_si га нисбатан ечамиз, яъни
а_si=_1sа_1i+_2sа_2i+...+_rsа_ri ( ) (2)
булади.
(2) тенгликлар А нинг s-сатри биринчи r та сатрлари оркали чизикли ифодаланганлигини курсатади.
Демак, А матрицаларнинг горизонтал векторлари системасида чизикли эркли векторларнинг максимал сони r га тенг булганидан, А нинг ранги хам r га тенг булади.
F майдон устида n та номаълумли n та куйидаги ЧТС берилган булсин:
(3)
a_ij коэффициентлардан тузилган
(4)
детерминантни (3) системасининг асосий детерминанти дейилади.
Теорема (Крамер теоремаси). Агар (3) куринишдаги n та номаълумли n та ЧТС нинг асосий детерминанти D нолдан фаркли булса, у холда (3) система ягона ечимга эга булиб, бу ечим ушбу
(5)
формула оркали топилиб (5) даги D_k детерминант D детерминантнинг k-устунини (3) системанинг озод хадлар устуни билан алмаштиришдан хосил булади.
Исботи. (3) системани ушбу
(6)
куринишда ёзиб олайлик. (6) нинг 1-тенгламасини А_1k, 2-тенгламасини А_2k, ... , n-тенгламасини А_nk алгебраик тулдирувчиларга купайтириб натижаларни кушайлик. У холда
тенгламани хосил киламиз. Бу тенгламанинг чап томонидаги x_k олдидаги коэффициент (3) нинг (4) куринишидаги D детерминантидан иборат булиб, колган х₁,х₂,...,х_k-1,х_k+1,...,x_n номаълумларнинг коэффициентлари нолга тенг, унг томони эса D_k детерминантдан иборат. Энди D детерминантнинг k-устунини (3), яъни (6) нинг озод хадлар устуни билан алмаштирайлик. У холда (7)
детерминант хосил булади. (7) детерминантни k-устун элементлари буйича ёйсак юкорида хосил булган тенгламанинг унг томони келиб чикади.
Демак, хосил булган тенгламани ушбу
Dx_k=D_k (8)
куринишда ёзиш мумкин. (8) тенглама
Dx₁=D₁, Dx₂=D₂, ... , Dx_n=D_n (9)
тенгламалар системасидан иборат.
Энди (3) система билан (9) системанинг тенг кучли эканлигини курсатайлик, яъни (3) нинг хар бир ечими (9) нинг ечими ва аксинча (9) нинг хар бир ечими (3) нинг ечими эканлигини курсатайлик.
1. D0 булсин. У холда (9) нинг хар бир ечими (3) нинг ечими эканлигини курсатайлик. Бунинг учун (3) нинг 1-тенгламасидаги х₁,х₂,...,х_n лар урнига мос равишда ларни куйиб эканлигини исбот киламиз. Хакикатан,

хосил булади. Бу эса (9) нинг ечими (3) нинг 1-тенгламаси ечими эканлигини билдиради.
(9) нинг ечими (3) нинг бошка тенгламаларининг ечими эканлиги хам шу йул билан исботланади.
Демак, (9) нинг хар бир ечими (3) нинг ечими булар экан.
2. Фараз килайлик (3) нинг ихтиёрий ечими (₁,₂,...,_n) булсин. Бу ечим (9) нинг ечими эканлигини исботлайлик. Хакикатан, (₁,₂,...,_n) ечимни (3) даги х₁,х₂,...,х_n лар урнига мос равишда куйиб куйидаги тугри тенгликлар системасига эга буламиз:
(10)
(10) система устида (3) даги каби алмаштиришларни бажариб
(11)
системага эга буламиз. (11) системадан куринадики (3) нинг ихтиёрий (₁,₂,...,_n) ечими (9) нинг хам ечими булиши.
Демак, (3) ва (9) системалар тенг кучли системалар экан.
(5) формулага Крамер формуласи дейилади.
Мисол.

системани ечинг.
Ечиш. Аввало берилган системанинг асосий детерминантини хисоблайлик.
,
яъни D0 булгани учун Крамер теоремасига кура берилган система ягона ечимга эга. Бу ечимни Крамер формуласи ёрдамида топамиз.



Демак,

булиб вектор берилган системанинг ягона ечими булади.