Алгебраические уравнение и их методы решения

§3. Квадратные уравнения. Теорема Виета (прямая и обратная).
Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй степени) называется уравнение вида ax² + bx + C = 0 , где a, b, c - заданные числа, причем  , а x - неизвестное. Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения: a - коэффициент при квадрате неизвестного, b - коэффициент при неизвестном в первой степени, c - свободный член.
Квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 называется неполным, если хо­тя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.
Решение. Разложив знаменатели на множители, имеем
+ = .
После приведения дробей к общему знаменателю x(x² - 4) получим уравнение 2x + (x – 4)(x – 2) = x + 2 или x² - 5x + 6 = 0, равносильное исходному уравнению, при условии, что x(x² - 4) 0 x x , т.е. , . Находим корни приведенного квадрат­ного уравнения:
x , = = = ,
откуда x1 = 3 , x2 = 2. Так как x2 = 2 не удовлетворяет ограничению  (не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное урав­нение имеет единственный корень x = 3.
Теорема Виета. Если квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни x1 и x2, то их сумма равна и произведение равно :
x + x = , x x = . (5)
Формулы (5) называются формулами Виета.
Доказательство. По условию дискриминант квадратного уравнения D = b² - 4ac 0. Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня:
x = , x = .
Найдем сумму и произведение корней:
x + x = = - ,
x x = = = = ,
и формулы (5) получены.
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.
Для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0  с дискриминантом D = p² - 4q 0 формулы (5) принимают вид
x1 + x2 = -p, x1 × x2 = q. (6)
Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Виета читаются так: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если корни квадратного уравнения действительные (D 0), то формулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить знаки корней. Например, если a > 0, b > 0, c < 0 (и, следовательно, D = b² - 4ac 0), то x x = 0 и корни имеют разные знаки. Так как при этом , то отсюда следует, что больший по модулю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицатель­ная!).
Теорема (обратная теореме Виета). Если числа x1, x2, p, q таковы, что x1 + x2 = -p, x1 × x2 = q, то x1 и x2 - корни уравнения x² + px + q = 0.
В теореме Виета для приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.
утверждалось, что для его корней x1, x2 и коэффициентов p, q справедливы формулы (6).
В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (6), то x1 и x2 - корни приведенного квадратного уравнения x² + px + q = 0.
Доказательство. Рассмотрим (x – x1)(x - x2) и получим (x - x1)(x -x2) = x² - (x1 + x2)x +x1x2 =x² +px +q. Очевидно, что x1 и x2 - корни уравнения (x- x x ) =0 и, значит, уравнения x² + px + q = 0.
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении различных задач.