Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti algebra va geometriya

3 bosqich. Yakunlovchi qisim (10 daqiqa) 
  O’qituvchining  faoliyati:  mnavzu  bo’yicha  hulosa  qilish,  talabalarning  e`tiborlarini 
asosiylarda  jalb  qilish;  qilingan  ishning  muhimligini  aytib  o’tish;  alohida  talabalarning 
bajarilgan  ishlarini  baholash;  o’zaro  baholashning  natijalarini  chiqarish;  o’quv 
mashg’ulotning  yutuqlik  darajasini  baholash  va  tahlil  qilish;  mustaqil  ish  uchun 
topshiriqlar; baho ko’rsatgichlari va me`zonlari; 
  Talabalar  faoliyati:  ishning  tahlili;  natijalarni  olish;  texnologik  bilimlarni  qo’llash; 
o’zaro  baholashni  o’tkazish,  yo’l  qo’yilgan  hatolar  bo’yicha  tahlil  va  aniqlik  kiritish; 
mustaqil ish topshiriqlarini yozib olish;   
  Shakillar, usular, uslublar: guruhlarda ishlash, kartochkalarda topshiriqlar. 
1.3.  O’quv-metodik materiallar 
 
Ma`ruza rejasi: 
1.  Ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblash. 
2.  Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda Kramer qoidasi. 
Kalit so’zlar: determinant, sestema, element, dioganal, Kramer. 
 

 
17
1.3.1. Ma`ruza matni 
      Quyidagi 
                                      
22
21
12
11
a
a
a
a
                                                                    (1) 
ko’rinishdagi  ifodaga  ikkinchi  tartibli  determinant  (aniqlovchi)  deyiladi.  Bu  erda 
22
21
12
11
,
,
,
a
a
a
a
 
sonlar 
determinantning 
 
elementlari 
22
21
12
11
,
,
a
a
va
a
a
 
sonlar 
determinantning    satr  elementlari 
22
12
21
11
,
,
a
a
hamda
a
a
  sonlar  uning  ustun  elementlari, 
21
12
22
11
,
,
a
a
va
a
a
 sonlar esa dioganal elemntlari deb ataladi. 
(1) determinant ma’lum son qiymatni aniqlaydi va bu qiymat quyidagicha hisoblanadi: 
                               
21
12
22
11
22
12
21
11
a
a
a
a
a
a
a
a


 
bu  teglik  ikkinchi  tartibli  determinantni  hisoblash  qoiydasini  aniqlaydi:  ”Determinantning 
qiymati diagonali elementlari ko’paytmalarining ayirmasiga teng”. 
 
 
Kramer qoidasi. Ikki  noma’lumli tenglamalar 
sistemasini yechish 
1. Ushbu tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin: 







2
2
2
1
1
1
c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
                                                          (2) 
bunda no’malumlar oldidagi koeffisiyentlardan bittasi noldan farqli.  
 
(2)  sistemaning  no’malumlari  oldida  turgan  koeffisiyentlardan  ushbu  determinant 
(aniqlovchi) ni tuzamiz: 
2
2
1
1
b
a
b
a


 
va uni sistemaning asosiy determinanti deb aytamiz. 
 
Noma’lum 
x
  va 
y
  lar  oldida  turgan  koeffisiyentlarni  ozod  hadlar  s
1
,  s
2
  lar  bilan 
almashtirib,  
                
     
2
2
1
1
b
c
b
c
x


 ,          
2
2
1
1
c
a
c
a
y


 
determinantlarni tuzamiz. 
1. 
.
0


 bu holda (2) sistema kamida bitta 
)
,
(
y
x
 yechimga ega va u  






y
x
y
x
,
                                                       (3) 
formulalar bilan topiladi. 
2. 
.
0


 Ammo 
x

 yoki 
y

 determinantlardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsa, (2) 
sistema  yechimga  ega  bo’lmaydi.  Bu  holda  (2)  sistemaning  tenglamalari  birgalikda  emas 
deyiladi. 
3. Agar 
0






y
x
 bo’lsa, u holda sistema cheksiz ko’p yechimga ega. 
 
Namunaviy misol 
Ushbu 







1
2
1
3
2
y
x
y
x
   
 
tenglamalar sistemasi yechilsin. 

 
18
Yechish. Sistemasini yechish uchun Kramer usulidan foydalanamiz. Noma’lumlar oldida 
turgan koeffisiyentlardan quyidagi determinantni tuzib, hisoblaymiz. 
1)    
1
3
4
2
1
3
2





 
 
2) x ga bog’liq  bo’lgan determinantni uning oldidagi koeffisiyentlarni ozod hadlar bilan 
almashtirib tuzamiz va hisoblaymiz: 
  
1
3
2
2
1
3
1






x
 
3)  y  ga  bog’liq  bo’lgan  deteminantni  uning  ular  oldidagi  koeffisiyentlarni  ozod  hadlar 
bilan almashtirib tuzib, keyin hisoblaymiz: 
1
1
2
1
1
1
2





y
 
Kramer qoidasiga ko’ra, 
0


 bo’lgani uchun   
,
1
1
1
,
1
1
1












y
x
y
x
 
1.3.2-а. Frontal so’rov uchun savollar 
1. Ikkinchi  tartibli determinantlar qanday xisoblanadi. 
2. Ikki noma’lumli tenglamalar  sistemasini yechish.  
 
1.3.2-б. Blits-so’rov uchun savollar 
   
1. Ikkinchi tartibli determinant qanday xisoblsnsdi. 
            2. Tenglamalar sistemasini yechishni qanday usullarini bilasiz. 
            3. Tenglamalar sistemasi qachon yechimga ega. 
1.3.2-в. Og’zaki so’rov uchun savollar 
   
1. Determinant nima. 
   
2. Kramer qoidasi nima. 
            3.  Tenglamalar  sistemasi qachon  yechimga ega. 
    
 
 
 
1.3.3. Mustaqil ish uchun topshiriqlar 
 takrorlash  va  mashqlar:  takrorlash,  o’z-o’zini  tekshirish,  tahlil,  qayta  ishlash, 
mustahkamlash, eslab qolish, chuqurlashtirish; 
 yangi materiallarning mustaqil o’zlashtirish: yangi adabiy va internet materiallar, konspekt 
qo’shimchasi; mustaqil iboralar tuzish; 
 ilmiy  xarakterdagi  ishlar:  muammoli  holatlar,  testlar,  savollar,  topshiriqlar  tuzish; 
topshiriqlarni bajarish. 
 
    







0
2
5
2
)
y
x
y
x
а
, 
 







8
2
7
2
)
б
y
x
y
x
, 
 







2
2
7
)
в
y
x
y
x
, 
    g) 







7
2
3
40
5
4
y
x
y
x
    
d) 







7
2
3
2
y
x
y
x
              j) 







5
2
3
0
y
x
y
x
    
i) 








5
1
y
x
y
x
 
                                            1.3.4. Kartochkalar uchun testlar 
1. 
1
1
3
2

 ni xisoblang. 

 
19
a) -2;  b)3;   c) -5;   d) 6 
2. 
1
1
1
2



x
 noma’lum x ni toping. 
a) 1;  b) 2;  c) -1;  d) -2 
3. 








1
2
1
2
y
x
y
x
 tenglamalar sistemasini yeching. 
a) (1,2);  b) (1,-1);  c) (2,-10;  d) (-2,1) 
1.3.5. Tavsiya etilgan adabiyotlar 
Asosiy 
1.       Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977, 495 стр. 
2.  Курош А.Г. Олий алгебра курси. Тошкент, 1972. 
3.  Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М., Наука, 1984, 415 ст. 
4.  Гельфанд И.М. Чизикли алгебрадан лекциялар. Тошкент, 1966. 
5.  Фаддеев  Д.К.,  Фаддеева  В.Н.  Вычислительные  методы  линейной  алгебры.  М., 
Наука, 1964, 388 с. 
6.  Виноградов И.М. Сонлар назарияси асослари. – Тошкент, 1962.  
7.  Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М., Наука, 1977.  
8.  Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М., Наука, 1977.  
9.  Сборник задач по алгебре под редакцией. А.И. Кострикина, М., Наука, 1985.  
Qo’shincha adabiyotlar 
10. Юкори  тартибли  детерминантларни  хисоблашга  доир  методик  курсатма. 
Самарканд, СамДУ нашри, 1988.  
11. Оператор матрицасининг Жордан шаклига доир методик курсатмалар. Самарканд, 
СамДУ нашри, 1993. 
12. Хожиев  Ж.,  Файнлеб  А.С.  Алгебра  ва  сонлар  назарияси  курси,  Тошкент, 
«Узбекистон», 2001.  
13. Исроилов М.И., Солеев А.С. Сонлар назарияси. – Тошкент, «Фан», 2003. 
14. Нарзуллаев У.Х., Солеев А.С. Алгебра и теория чисел. I-II часть, Самарканд, 2002. 
15. Determinantlar nazariyasi. «Algebra  va  sonlar nazariyasi»  fanidan amaliy  mashg’ulotlar 
o’tkazish  uchun  uslubiy  tavsiyalar.  .  Uslubiy  qo‘llanma.  –  Samarqand:  SamDU  nashri, 
2011.  –  56  bet.  Matrisalar  algebrasi.  «Algebra  va  sonlar  nazariyasi»  fanidan  amaliy 
mashg’ulotlar.  
1.4. O’qitish usullari qoidalari 
1.4.1. Aqliy hujum qoidalari 
     Hech qanday o’zaro baholash va tanqid; 
     Taklif etilayotgan g’oyalarni baholashdan o’zingni tiy, hatto ular fantastic va     
      iloji yo’q bo’lsa ham – hammasi mumkin; 
    Tanqid qilma – hamma aytilgan g’oyalar birhirda; 
    Bayon qiluvchi gapini bo’lma; 
    Izoh berishdan o’zingni tiy; 
    Maqsad bu - miqdor; 
    Qancha g’oyalar ko’p bo’lsa chuncha yaxshi: yangi va zarur g’oya tug’ulishi    
     imkoniyati ko’proq 
   Agar g’oyalar takrorlansa o’ksinma,  
    Tasavvuringga erk ber; 
    Senda yaralgan g’oyalarni tashlama, agal ular sening nazaringda qabul   

 
20
     qilingan sxemaga tegishli bo’lmasa ham; 
    Bu muammo aniq usullar bilan yechiladi deb o’ylama. 
1.4.2. “Insert” texnikasi qoidalari 
    Matndi  o’qib,  ularda  savollat  tug’dirayotgan  joylarni,  ularni  bilimlariga  mos  kewlayotgan  va 
mos kelmayotgan joylarni qalam bilan belgilab qo’yiladi; 
   “Insert” jadvalini quyidagi belgilashlar bilan to’ldirish: 
Agar «!» bo’lsa siz o’z bilimingizga yoki siz o’ylagan fikrga to’g’ri kelayotganini o’qiyapsiz; 
Agar  «–» bo’lsa siz o’z bilimingizga yoki tyo’g’ri deb o’ylaganingizga mutlaqo zid bo’lganini 
o’qiyapsiz; 
Agar  «+» bo’lsa siz o’qityotganingiz siz uchun yangilik; 
Agar  «?»  bo’lsa, siz o’qiyotganingiz siz uchun tushunarsiz  yoki  siz bu  savolga  yanada ko’proq 
ma`lumotlar olishni istaysiz. 
1.4.3. Guruhlarda ishlash qoidalari 
   Hamma  o’z  do’stlarini  tinglashi  kerak,  unga  yaxshi  munosabatda  bo’lib  hurmar  ko’rsatishi 
kerak; 
   Hamma  aktiv  harakat  qilishi  lozim;  berilgan  topshiriqqa  nisbatan  birgalikda  va  javobgarlik 
bilan ishlashi kerak; 
    Har kim o’ziga kerak paytda yordam so’rashi kerak; 
    Har kim undan yordam so’ralganda yordam ko’rsatishi kerak; 
    Guruhning ish natijalarini baholashda ishtirok etishi lozim; 
    Biz  bir  kemadamiz,  o’zgalarga  yordam  berib  o’zimiz  o’rganamiz,  shuni  har  kim  tushunishi 
lozim; 
Mavzu 2.  3-tartibli determinantlar.minor va algebraik to’ldiruvchilar. 
Ma`ruzaga reja-topshiriqlar 
Fan:  Analitik geometriya va chiziqli algebra 
O’quv soati: 2 soat (ma`ruza);  
O’quv mashg’uloti turi: ma`ruza; yangi bilimlarni mustahkamlash va o’rganish. 
Ma`ruza rejasi: 
3.  Uchunchi  tartibli determinantlarni hisoblash. 
4.  Minor va algebraik  to’ldiruvchilar. 
O’quv mashg’uloti maqsadi:  
O’quv  fani  to’g’risida  umumiy  ta`surotlar  berish,  determinant  va  keyinchalik  kasbiy 
faoliyatidagi roli. 
Zadachi uchebnogo zanyatiya: 
 
O’rgatuvchi:  talabalarda  qabul  qilish  faoliyatini  tashkil  qilish,  yangi  materialni 
boshlang’ich  esda  qoldirish  va  anglash;  3-tartibli  determinantlar.  Minor  va  algebraik 
to’ldiruvchilar  terminlari,  iboralarini  xarakterlovchi  elementlar;  talabalarning  matematik 
fikrlashini  rivojlantirish  muammoli  masalalarni  yechimini  mahoratini  oshirish;  3-tartibli 
determinantlarni yechishda matematik simvollarning hususiyatlari bilan tanishtirish; 
 
Rivojlantiruvchi:  kitob  matni  bilan    ishlay  bilishligi  –  mag’zlarini  tanlab  olish,  tahlil 
qilish;  hulosa  chiqarish,  materialni  talabalarning  izlash  faoliyatini  stimullashtirish; 
hususiydan umumiy  holga  o’tish usuli  bilan tekshirish; tekshirish  natijalarini tahlil  qilib 
va  uni  umumlashtira  olishini  rivojlantirish;  analitik-sintetik  faoliyatning  mantiqiy 
fikrlashini qo’llash; talabalarning ijodiy mahoratini shakillantirish; 
 
Tarbiyalovchi: aktiv  faoliyatga, mustaqil  ishga  jalb qilish; guruhlarda  ishlash qoidalariga 
rioya qila olish; fanni o’rganishga qiziqishni rivojlantirish; 3-tartibli determinantlar. Minor 
va  algebraik  to’ldiruvchi-larning  matematik-komunikativ  kursni    bir  qismi  sifatida 

 
21
tassavur  berish;  javobgarlik  tuyg’ularini  tarbiyalash,  mehnatsevarlik,  individual  ishni 
jamoaviy ish bilan biriktirish, intizomlashtirish.  
O’qitish texnologiyasi:  
  O’qutish usullari: instruktaj; Ma`ruza, aqliy hujum, “Insert” texnikasi; 
  O’qitish shakillari: frontal; jamoaviy; 
  O’qitish vositalari: Ma`ruza matni; jadvallar, multimediya; 
  O’qitish sharoitlari: texnik jihozlashtirilgan auditoriya; 
  Baholash va monitoring: o’g’zaki savol-javob, blits-so’rov. 
Pedagogik masalalar: 
  Fanning masalalari va uning o’quv fanlar stemasidagi o’rni va roli bilan tanishtirish; 
  O’quv fanning tuzulmasi va tavsiya etiladigan o’quv-metodik dabiyotlarni tasvirlash; 
  Fan sohasida metodik va tashkiliy xususiyatlarini ochib berish, baholash  shakli va 
muddatlari; 
  Fan  ma`ruzasi  paytida  o’qitish  jarayonini  tashkil  qilishning  umumiy  bosqichlarini 
xarakterlab berish va umumiy sxemasini tushuntirish. 
  O’qitish texnologiyasi rivojlanishi perspektivasini xarakterlab berish;   
O’quv faoliyati natijalari: 
  Fan ma`ruzasi masalalari, maqsadlari va nomlari shakillanadi; 
  Oily matematika doirasidagi yutuqlar yoritiladi; 
  Fan  sohasida  metodik  va  tashkiliy  xususiyatlari  hamda  baholash  shakli  va  muddatlari 
aytiladi  
  Fan  ma`ruzasida    o’qitish  jarayonini  tashkil  qilishning  umumiy  sxemasini  kengaytirib 
xatakterlab beradi; 
  Fanning  asosiy  ta`riflarini    beradi,  oily  matematika  fani  ma`ruzalarining  asosiy 
yo’nalishlari beriladi; 
  Nazariy bilimlarning to’liqligi, sistemaliyligi va harakatliyligi; 
  Amaliy mag’ulotlarni bajarishda o’rganilgan iboralarbilan ishlay olishligi; 
  1.2. Ma`ruzaning xronologik xaritasi 
        1 bosqich. O’quv mashg’ulotiga kirish  (10 daqiqa): 
 O’qituvchining  faoliyati:  tayyorgarlikni  tekshirish  (davomat,  konspektning  borligi;  o’ziga 
ishonch, aniqligi,); kerakli  materiallarni tarqatish  (konspekt, tarqatma  materiallar);  ma`ruzaning 
mavzusi va maqsadini bayon qilish; o’quv mashg’ulotning rajasi bilan tanishtirish; kalit iboralar 
va so’zlar, kategoriyalar; internet saytlari va adabiyotlar ro’yhati; o’quv natijalari  haqida aytish; 
 Talabalar faoliyati: o’quv joyini tayyorlash (talabalar borligi; tashqi ko’rinish; o’quv materiallar 
va  qo’llanmalar);  ma`ruzaning  mavzusi  va  maqsadi  bilan  tanishish;  o’quv  materialini  qabul 
qilishga tayyorgarlik ko’rish;  
 Shakillar, usular, uslublar: instruktaj; frontal so’rov; mustahkamlovchi so’rov. 
2 bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa): 
 O’qituvchining  faoliyati:  mavzuga  kiritadi;  yangi  mavzuga  doir  o’tgan  fanlar  va 
mashg’ulotlarning  mavzularini  eslashga  chorlaydi;  ma`ruza  matnini  tarqatadi,  tanishishni  taklif 
etadi,  “Insert”  usuli  bilan  belgilar  qo’yishni  taklif  etadi;  birinchi  savol  bo’yicha  matn  o’qiladi; 
qo’shimcha o’quv materiallarini aytib boorish va tushuncha berish; natural obektlarni namnoyon 
qilish  va  izohlash; tushunarsiz savollarni aniqlash va tushintirish;  birinchi savol  bo’yicha  nazar 
(shunday qilib qolgan savollarga ham); 
 Talabalar  faoliyati:  yangi  mavzuda  doir  oldingi  mashg’ulotlarda  va  fanlarda  olgan  bilimlarni 
mustahkamlaydi,;  har  bir  kalit  ibora  va  terminlarni  eshitib,  yozib  borib,  konspekt  qilib  aytib 
borishadi; “Insert” usuli bilan belgilan o’qiydilar, aniqlik kiritadilar, savollar beradilar va o’zaro; 

 
22
 Shakillar, usular, uslublar: frontav so’rov blits-so’rov; aqliy hujum, “Insert” texnikasi. 
3 bosqich. Yakunlovchi qisim (10 daqiqa) 
  O’qituvchining  faoliyati:  mnavzu  bo’yicha  hulosa  qilish,  talabalarning  e`tiborlarini 
asosiylarda  jalb  qilish;  qilingan  ishning  muhimligini  aytib  o’tish;  alohida  talabalarning 
bajarilgan  ishlarini  baholash;  o’zaro  baholashning  natijalarini  chiqarish;  o’quv 
mashg’ulotning  yutuqlik  darajasini  baholash  va  tahlil  qilish;  mustaqil  ish  uchun 
topshiriqlar; baho ko’rsatgichlari va me`zonlari; 
  Talabalar  faoliyati:  ishning  tahlili;  natijalarni  olish;  texnologik  bilimlarni  qo’llash; 
o’zaro  baholashni  o’tkazish,  yo’l  qo’yilgan  hatolar  bo’yicha  tahlil  va  aniqlik  kiritish; 
mustaqil ish topshiriqlarini yozib olish;   
  Shakillar, usular, uslublar: guruhlarda ishlash, kartochkalarda topshiriqlar. 
1.3.  O’quv-metodik materiallar 
Ma`ruza rejasi: 
3.  Uchunchi  tartibli determinantlar. Uning elementlari, ustun va diagonali, hisoblash. 
4.  Minor va algebraik  to’ldiruvchilar. 
Kalit so’zlar: dioganal, isora, son, ustun, satr element, minor va  to’ldiruvchi. 
1.3.1. Ma`ruza matni 
Ixtiyoriy    uchta  satr  va  ixtiyoriy  uchta  ustunlardan  iborat  to’g’ri  burchakli  sonli  jadval 
matrisa  deyiladi.  Matrisani  ifodalash  uchun  ikkilangan  chiziqlar  yoki  aylanma  qavslardan 
foydalaniladi. Masalan:  
6
8
9
4
0
1
5
,
2
5
3
yoki 










6
8
9
4
0
1
5
.
2
5
3
. 
Agar  matrisaning  satrlari  soni  ustunlari  soniga  teng  bo’lsa,  u  holda  matrisa  kvadrat 
matrisa deb ataladi. Matrisa tarkibidagi sonlar uning elementlari deb ataladi.  
Uchinchi tartibli determinat deb,  
32
23
11
33
21
13
31
22
13
32
21
13
31
23
12
33
22
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
а









                 
ga teng songa aytiladi.  
kl
a   son  determinantning  elementi  deyiladi,  bunda 
kl
a   element 
k -chi  satr  va  l -chi 
ustunning kesishmasida joylashadi. 
33
22
11
,
,
a
a
a
 elementlar determinantning asosiy diagonalini, 
31
22
13
,
,
a
a
a
  elementlar esa qo’shimcha diagonalni tashkil etadi. 
Uchinchi  tartibli  determinantlar  uchun  o’rnatilgan  quyidagi  xossalarning  bajarilishini 
ko’rsatish  qiyin  emas,  qolaversa,  bu  xossalar  ikkinchi  tartibli  (hatto  n-tartibli)  determinantlar 
uchun ham o’rinli.  
Misol. Ushbu determinantni determinantlarni xossalaridan foydalanib, hisoblaymiz:  

 
23
  



2
2
1
1
2
1
4 3
4
2 2 3
4
6
3
4
3
3
4
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2 0
1 6
2 0
1 6
2 0
1 6
2 1
1
11
22
0
3 7
0
3 7
0 0
11














 
 



 
Uchburchak usuli bilan hisoblab determinant 22 teng bo’lishligiga ishonch hosil qiling.  
MINORLAR VA ALGEBRAIK TO’LDIRUVChILAR 
 
Biz determinantlarni hisoblashda muhim vositachi vazifasini bajaruvchi determinantlarni 
tartibini  pasaytirib  hisoblash  metodi  bo’lib,  unda  bosh  rolni  minor  va  algebraik  to’ldiruvchi 
tushunchalari o’ynaydi.  
 
n 
nchi tartibli kvadratik  
1
1
1
1
11
12
2
2
1
2
21
22
1
2
1
1,1
1,2
1,
1,
1
1,
1
2
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k
k
n
k
k
n
k
k
kk
kk
kn
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
nn
nk
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







































 
matrisa  berilgan  bo’lsin.  Bu  matrisani  ixtiyoriy 
k
  ta  satr  va 
k
  ustunlarining  kesishgan 
(o’chirilgan)  joylaridan 
k
-nchi  tartibli  determinant  tuzib  olamiz.  Hosil  bo’lgan  determinantga 
A
 determinantning 
k
-nchi tartibli minori deyiladi.  
 
Xususan, determinantda bitta satr va bitta ustunni (
1
k 
) kesishgan joyida bitta element 
bo’ladi,  ya’ni  determinantning  elementlari  ham  minorlar  bo’lishi  mumkin.  O’chirilmay  qolgan 
elementlaridan  tuzilgan  determinant 


n
k

  tartibli  determinant  bo’lib,  unga  minorning 
to’ldiruvchi  minori  deyiladi.  Minor  va  to’ldiruvchi  minorlarni  qulaylik  uchun 
M
  va 
M
  lar 
bilan  belgilab  olamiz.  Shuni  ta’kidlaymizki, 
M
  va 
M
  determinantlar  bir-birini  o’zaro 
to’ldiruvchi  minorlar  juftligi  deb  ham  ataladi.  Xususan,  determinantning 
i 
nchi  satr  va 
j 
nchi  ustunini  kesishmasida  turgan 
ij
a
  element  birinchi  tartibli  va  uning  o’chirilmay  qolgan 
elementlaridan tuzilgan to’ldiruvchi minor 


1
n 
 tartibli minor bo’lib, ular birgalikda o’zaro 
to’ldiruvchi minorlar juftini tashkil qiladi.  
 
Agar 
k 
tartibli 
M
  minor 
1
2
, ,...,
k
i i
i
  satr  va 
1
2
,
,...,
k
j j
j
  ustunlarining  
kesishmasidan tuzilgan bo’lsa, u holda  
 
1
M
S
A
M
 
,   
 
 
 
 

 
24
bu  yerda 

 

1
2
1
2
...
...
M
k
k
S
i
i
i
j
j
j








       
M
  minorning  algebraik 
to’ldiruvchi deyiladi.  
 
Matrisaning bosh diagonalida joylashgan  
1
11
11
12
11
21
22
1
...
,
, ..., ...
... ...
...
k
k
kk
a
a
a
a
a
a
a
a
a
 
va hokazolar, xususan 
A
 ning o’ziga bosh minorlar deb ataladi.