Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti axborotlashtirish texnologiyalari

3. Nuqtaning murakkab harakati  
3.1.  Asosiy ta’riflar. Vektorning absolyut va nisbiy hosilalalri. 
 
Ayrim  holatlarda  nuqtaning  harakatini  bir  vaqtda  ikkita  koordinatalar 
sistemasiga  nisbatan  o’rganish  maqsadga  muvofiqdir  (207-shakl).  Bu 
koordinatalar  sistemasidan  bittasini  qo’zg’almas  (asosiy),  ikkinchisini  nuqta 
bilan birgalikda qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanuvchi 
deb qaraymiz. 
Nuqtaning  harakatini  har  bir  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  o’rganish 
1-bobda  yoritilgan  usullar  bilan  o’tkaziladi.  Bu  paragrafda  ikkala  koordinatalar 
sistemasiga 
nisbatan 
harakatlanayotgan 
nuqtaning 
asosiy 
kinematik 
xarakteristikalari  orasidagi  munosabatlarni  o’rganamiz.  Bu  munosabatlarni 
aniqlash  muhim  ahamiyatga  ega,  chunki  ko’p  hollarda  nuqtaning 
1
1
1
1
z
y
x
O
 
qo’zg’almas  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  harakatini  ikkita  oddiyroq 
harakatga  ajratish  mumkin:  bittasi  –  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasiga 
nisbatan  va  ikkinchisi  –  nuqtanig  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi  bilan 
birgalikda  qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga nisbatan harakat. 
Nuqtaning  asosiy  (qo’zg’almas)  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan 
harakatiga  murakkab  yoki  absolyut  harakat  va  nuqtaning  harakatlanuvchi 
koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatini nisbiy harakat deb aytaladi.  
Nuqtaning  absolyut  va  nisbiy  harakatlari  bilan  nuqtaning  harakatlanuvchi 
koordinatalar  sistemasi  bilan  birgalikdagi  harakati  o’rtasidagi    munosabatlarni 
aniqlash quyidagi masalalarni echishga imkoniyat yaratadi: 

 
81
1.  Nuqtaning  berilgan  nisbiy  harakati  va  harakatlanuvchi  koordinatalar 
sistemasi harakati orqali murakkab harakatini aniqlash; 
2.  Berilgan murakkab harakatni tarkibiy (yasovchi) harakatlarga ajratish. 
  Ixtiyoriy  ravishda  harakatlanayotgan  koordinatalar  sistemasida  aniqlangan 
vektordan  hosila  olish  masalasini  ko’rib  chiqamiz.  Shu  maqsadda  vektorning 
absolyut va nisbiy hosilasi tushunchalari  kiritiladi. 
  Asosiy 
koordinatalar 
sistemasi 
1
2
1
1
z
y
x
O
va 
ixtiyoriy 
ravishda 
harakatlanayotgan  koordinatalar  sistemasi 
Oxyz   berilgan  bo’lsin.  Qandaydir 
)
(t
a
a 
  vektor  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasida  aniqlangan  bo’lsin, 
ya’ni  vektorning  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi  o’qlaridagi   
z
y
x
a
a
a
,
,
 
proyeksiyalari  t  vaqtning  funksiyalari  bo’ladi.  Agar  harakatlanuvchi 
koordinatalar sistemasining birlik  vektorlari 
k
j
i



,
,
 bo’lsa, u  holda 
)
(t
a

 vektorni 
quyidagicha yozish mumkin: 
k
a
j
a
i
a
a
z
y
x







.   
 
 
 
(10.32.1) 
   Endi  a

  vektoridan  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan 
hosilasini  (absolyut  hosilasini)  topish  qoidasini  topamiz.  Harakatlanuvchi 
koordinatalar  sistemasining  harakati  tufayli 
k
j
i



,
,
  vektorlar  o’z  yo’nalishlarini 
o’zgartirib turadi,  ya’ni t  vaqtning  funksiyalari bo’ladilar.  (10.32.1) tenglikning 
ikkala  tomonidan  vaqt  bo’yicha  hosila  olib,  a

  vektorning  absolyut  (to’la) 
hosilasini topamiz:  
dt
k
d
a
dt
j
d
a
dt
i
d
a
k
dt
da
j
dt
da
i
dt
da
dt
a
d
z
y
x
z
y
x













   
 
(10.32.2) 
(10.32.2)  formulaning  o’ng  tomonidagi 
birinchi  uchta  qo’shiluvchi 
a

  vektorning 
harakatlanuvchi 
koordinatalar 
sistemasiga 
nisbatan  o’zgarishini  xarakterlaydi,  shuning 
z
z
1
1
O
O 
x 
1
y
 
1
x
y 
207-shakl 
i

k

j


 
82
uchun ular  a

 vektorning nisbiy hosilasini ifodalaydi, ya’ni 
k
dt
da
j
dt
da
i
dt
da
dt
a
d
z
y
x







~
.   
(10.32.3) 
r







 formuladagi 


 va 
r

 vektorlarni ketma-ket mos ravishda 
k
j
i



,
,
 vektorlar 
bilan almashtirib, quyidagi munosabatni topamiz: 
i
dt
i
d






,   
j
dt
j
d






,    
k
dt
k
d






, 
bu  yerda 
Oxyz


  koordinatalar  sistemasining  O  nuqta  atrofida  aylanma 
harakat burchak tezligi (208-shakl). Bularni (10.32.2) formulaga qo’yamiz: 
)
(
~
k
a
j
a
i
a
dt
a
d
dt
a
d
z
y
x











, 
yoki  
a
dt
a
d
dt
a
d








~
.   
 
 
 
(10.32.4) 
(10.32.4) formulaga Bur formulasi deyiladi. 
Shunday  qilib,  vektorning  absolyut  hosilasi  shu  vektorning  nisbiy  hosilasi 
va  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasining  burchak  tezligi  bilan  shu 
vektorning vektorli ko’paytmasining yig’indisiga teng.  
 
Oxyz
  koordinatalar  sistemasining  harakati  erkin  qattiq  jismning 
harakati  kabi,  uning  O  qutb  bilan  birgalikdagi  ilgarilanma  harakati  va  qutb 
atrofidagi  aylanma  harakatlaridan  iborat.  Agar 
Oxyz
  koordinatalar  sistemasi 
faqat  ilgarilanma  harakat  qilsa,  Bur  formulasiga  asosan,  a

  vektorning  absolyut 
hosilasi uning nisbiy hosilasiga teng bo’ladi. 
Quyidagi xususiy hollarni ko’rib o’tamiz : 
 
1.  Agar  a

  vektor  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan 
o’zgarmas  bo’lsa,  uning  nisbiy  hosilasi 
0
/
~

dt
a
d

  bo’ladi  va  (10.32.4) 
formulaga asosan: 

 
83
a
dt
a
d






. 
 
Bu  formula  avval  isbotlanganidek,  moduli  o’zgarmas  vektorning  hosilasini 
bildiradi. 
 
2.  Agar    a

  vektor  asosiy  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  qo’zg’almas 
bo’lsa, u holda  
0
/

dt
a
d

 bo’lib, (10.32.4) formuladan: 
)
(
a
dt
a
d








. 
 
3.  Agar 
a

  vektor 


  burchak  tezlik  vektoriga  kollinear  bo’lsa,  u  holda 
0

 a



 va (10.32.4) formuladan quyidagi munosabat kelib chiqadi: 
dt
a
d
dt
a
d


~

. 
3.2. Tezliklarni qo’shish haqidagi teorema. 
 
Bu  yeda  quyidagi  masalana  hal  qilamiz:  tanlab  olingan  koordinatalar 
sistemasiga nisbatan nuqta tezliklari orasidagi munosabatni aniqlaymiz. 
 
M  nuqtaning 
z
y
x
O
1
1
1
  asosiy  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  tezligini 
uning absolyut tezligi deb ataymiz.   
 
M  nuqtaning 
Oxyz
  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan 
r


 
tezligi uning nisbiy tezligi deb aytiladi.  
 
Nuqtaning  ko’chirma  tezligi  degan  tushuncha  kiritamiz.  Nuqtaning 
e


 
ko’chirma  tezligi  deb  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasining  shunday 
nuqtasining 
tezligiga 
aytiladiki, 
berilgan 
onda 
(momentda) 
u 
nuqta 
harakatlanayotgan nuqtaga mos kelsin.  
 
Agar  
)
(
0
t
r

  -  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi  boshi  bo’lgan  O  nuqta 
(qutb)ning  qo’zg’almas  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  radius  vektori, 
)
(t


  - 
ixtiyoriy  M  nuqtaning  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  radius 
vektori, 
)
(t
r

 - M nuqtaning qo’zg’almas koordinatalar sistemasiga  nisbatan  radius 
vektori bo’lsa, u holda 208-shaklga asosan 






0
r
r
.  
 
 
 
 
 
(10.33.1) 

 
84
 
Harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasida  nuqtaning  koordinatalari  x,  y,  z 
bo’lsa, u holda  
k
z
j
y
i
x








, 
bu  yerda 
k
j
i



,
,
-harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasining  birlik  vektorlari. 
Ta’rifga  asosan  radius  vektorning  vaqt  bo’yicha  absolyut  hosilasi  nuqtaning 
absolyut tezligi bo’ladi.  
Demak,  (10.33.1)  tenglikni  vaqt  bo’yicha  differensiallab,  nuqtaning  absolyut 
tezligini topamiz 
dt
d
dt
r
d
dt
r
d









0
. 
 
 
 
 
(10.33.2) 


    vektori  harakatlanuvchi    koordinatalat  sistemasida  aniqlanganligi  uchun 
uning absolyut hosilasini topish uchun (10.32.4)  formuladan foydalanamiz: 










dt
d
dt
d
~
. 
 
 
 
 
(10.33.3) 
 
Bu yerda 


 - harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining burchak tezligi, 
k
z
j
y
i
x
dt
d











 
ifoda bo’lsa, 


 vektorining vaqt bo’yicha nisbiy hosilasidir.  
 
Ta’rifga asosan bu ifoda nuqtaning nisbiy tezligi bo’ladi, ya’ni 
k
z
j
y
i
x
r











. 
 
 
 
 
 
(10.33.4) 
 
(10.33.3)  va  (10.33.4)  ifodalarni  (10.33.2)  tenglamaga  qo’yib,quyidagi 
munosabatni hosil qilamiz: 
z 
M
r


1
z
 


e


 
y
O
r

x
1
y
 


 
0
r

1
x
1
O
 
208-shakl 

 
85
r














0
,   
 
 
 
 
(10.33.5) 
bu  yerda 
dt
r
d
0
0




-  harakatlanuvchi  koordinatalar  boshining  qo’zg’almas 
koordinatalar (asosiy) sistemasiga nisbatan tezligi. 
 
Nuqtaning 
e


  ko’chirma  tezligini  topish  uchun  uni  harakatlanuvchi 
koordinatalar  sistemasiga  mahkamlaymiz,  ya’ni  (10.33.5)  formulada 
0

r


ni 
qo’yamiz, u holda quyidagini hosil qilamiz: 











0
e
. 
 
 
 
 
 
(10.33.6) 
 
Bu formulani quyidagicha o’qish mumkin: 
 
Ozod  qattiq  jism  (harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi)ning  istalgan  M 
nuqtasining  tezligi  ixtiyoriy  ravishda  tanlangan  nuqtasi  (qutb)ning  tezligi  bilan 
o’sha  M  nuqtaning  qattiq  jismning  qutb  atrofidagi  aylanma  harakatidagi 
tezligining geometric yig’indisiga teng.  
 
Shunday qilib, quyidagi tasdiqni isbotladik:  
r
e








.    
 
 
 
 
 
(10.33.7) 
 
Teorema.  Moddiy  nuqtaning  absolyut  tezligi  k’ochirma  va  nisbiy 
tezliklarining geometric yig’indisiga teng. 
 
3.3. Tezlanishlarni qo’shish haqidagi teoremasi (Koriolis teoremasi). 
 
Nuqtaning  absolyut  tezlanishini  topish  uchun,  ya’ni  uning  asosiy 
koordinatalar  sistemasiga  nisbatan  tezlanishini  topish  uchun  (10.33.5)  tenglikning 
ikkala tomonini vaqt buyicha differesiallaymiz: 
.
)
(
0
0
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
W
r
r
a



































. 
 
 
(10.34.1) 
r


 nisbiy tezlik vektorining absolyut hosilasini (10.32.4) formula orqali 
topamiz: 
r
r
r
dt
d
dt
d











~
.   
 
 
 
 
(10.34.2) 

 
86
Bu  tenglamada 
dt
d
r


~
  ifoda 
r


  vektorning  vaqt  bo’yicha  olingan  nisbiy 
hosilasi  bo’ladi,  demak  u  nisbiy  tezlanish 
r
W
  ni  ifodalaydi,  ya’ni  nuqtaning 
harakatlanuvchi koordinatalar sistemasiga nisbatan tezlanishi bo’ladi 
k
z
j
y
i
x
dt
d
W
r
r
















~
. 
 
 
 
 
(10.34.3) 
(10.33.3),  (10.33.4),  (10.34.2)  va  (10.34.3)  tengliklardan  foydalanib, 
(10.34.1) formulani quyidagi ko’rinishga keltiramiz: 


,
2
)
(
)
(
)
(
0
0
r
r
r
r
r
W
W
W
W
W























































  
 
 
(10.34.4) 
bu  yerda 
0
0




W
  -  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi  boshining  tezlanishi, 





 - uning burchak tezlanishi. 
 
e
W

  -  ko’chirma  tezlanishini  topish  uchun  harakatlanuvchi  koordinatalar 
sistemasiga nuqtani mahkamlab qo’yamiz, ya’ni 
0
,
0


r
r
W



. 
 
Bu holda (10.34.4) formulaga asosan, quyidagi munosabatga ega bo’lamiz: 
)
(
0

















 W
W
e
, 
 
 
 
 
(10.34.5) 
ya’ni  ko’chirma  tezlanish  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasi  bilan 
mahkamlangan  ozod  qattiq  jism  nuqtasining  tezlanishidan  iborat.  Shunday  qilib, 
quyidagi formulaga kelamiz: 
r
r
e
a
W
W
W











2
, 
 
 
 
 
 
(10.34.6) 
r





2
 ifoda bilan aniqlanadigan tezlanishga burilish yoki koriolis tezlanishi 
deb aytiladi va 
c
W

 orqali belgilanadi, ya’ni  
r
c
W






 2
.   
 
 
 
 
(10.34.7) 
Shunday qilib, quyidagi formulaga ega bo’lamiz: 
c
r
e
a
W
W
W
W






.   
 
 
 
 
(10.34.8) 
r

 va 
r


 lar uchun (10.33.1) formulani qo’llab quyidagi formulani hosil qilamiz: 































dt
d
dt
d
dt
d
dt
d
W
r
a
)
(
0
. 
 
Bu yerda  

 
87
c
W

r





209-shakl
0
0
W
dt
d




-harakatlanuvchi koordinatalar sistemasining O nuqta bilan birgalikdagi 
harakatining  tezlanishi, 





dt
d
-harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasining 
aylanma harakat burchak tezlanishi, 
dt
d


-nisbiy harakat tezligi. (10.34.8) tenglik 
tezlanishlarini qo’shish teoremasini ifodalaydi. 
  
Koriolis  teoremasi.  Murakkab  harakatdagi  nuqtaning  tezlanishi 
ko’chirma, nisbiy va koriolis tezlanishlarning geometrik yig’indisiga teng. 
 
(10.34.8)  formula  orqali  nuqtaning  tezlanishini  topish  uchun  quyidagilarni 
hisobga olish talab etiladi: 
1. Ko’chirma  tezlanishni  topishda  qattiq  jism  nuqtasining  tezlanishini  topish 
qoidasiga rioya qilish kerak. 
2. 
r
W
nisbiy tezlanishni topish uchun harakatlanuvchi koordinatalar sistemasini 
qo’zg’almas deb qarab, VI-bobda tasvirlangan qoidadan foydalanish kerak.  
r
c
W






 2
 
 
Koriolis tezlanishning moduli 
)
,
sin(
2
r
r
c
W







 
 
 
 
 
(10.34.9) 
formula orqali aniqlanadi. 
 


 va 
r


 vektorlarning vektorli ko’paytmasining 
yo’nalishiga  qarab, 
c
W

  koriolis  tezlanishning 
yo’nalishi  aniqlanadi  (208,a-shakl): 
c
W

  koriolis 
tezlanishi  П  tekisligiga  perpendikulyar  bo’ladi, 
yo’nalishi 


 dan 
r


ga eng qisqa o’tish soat milining aylanishiga teskari bo’lgan 
tomonga yo’nalgan bo’ladi. 
 
(10.34.9)  formulaga  asosan  koriolis  tezlanishi  quyidagi  hollarda  nolga  teng 
bo’ladi: 

 
88
1. 
0


,  ya’ni  harakatlanuvchi  koordinatalar  sistemasining  harakati 
ilgarilanma harakat bo’lsa. 
2.  Harakakatlanuvchi koordinatalar sistemasining 


 burchak tezligi 
r


 nisbiy 
tezlikka parallel bo’lsa.