Alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti hisoblash usullari

MISOL.  Progonka usulida 
x
y
y
x
y
4
2
2





                                      (7.19) 
tenglamaning 
 
 
 
718
,
3
1
1
,
0
0
0






e
y
y
y
                         (7.20) 
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi taqribiy yechimini toping. 
 
YeChISh:    (7.19)-(7.20)  tenglamalarni 
1
,
0

h
  deb  olib  chekli  ayirmali  sitema  bilan 
almashtiramiz: 


8
,...,
2
,
1
,
0
,
4
2
1
,
0
2
01
,
0
2
1
1
2










i
x
y
y
y
x
y
y
y
i
i
i
i
i
i
i
i
 

 
227
718
,
3
,
0
1
,
0
10
0
1
0




y
y
y
y
 
O’xshash hadlarni ixchamlab 




i
i
i
i
i
i
x
y
x
y
x
y
4
01
,
0
2
,
0
98
,
0
2
,
0
2
1
2










 
formulani hosil qilamiz. Bundan 
i
i
i
i
i
i
x
f
x
k
x
m
4
,
2
,
0
98
,
0
,
2
,
0
2






, 
718
,
3
,
0
,
0
,
1
,
1
,
1
1
1
0
0







B
A




 
ekani kelib chiqadi. 
Hisoblashlarni yuqoridagi kabi jadvalga joylashtiramiz. 
 
 
i
 
 
i
x
 
 
i
m
 
 
i
k
 
 
i
f
 
To’g’ri yo’l 
Teskari 
yo’l 
Aniq 
yechim 
i
c
 
i
d
 
i
y
 
i
y
 
0 
0,0 
-2,00 
0,98 
0,0 
-0,9016 
0,0000 
1,117 
1,000 
1 
0,1 
-2,02 
1,00 
-0,4 
-0,8941 
-0,0040 
1,229 
1,110 
2 
0,2 
-2,04 
1,02 
-0,8 
-0,8865 
-0,0117 
1,363 
1,241 
3 
0,3 
-2,06 
1,04 
-1,2 
-0,8787 
-0,0228 
1,521 
1,394 
4 
0,4 
-2,08 
1,06 
-1,6 
-0,8706 
-0,0372 
1,704 
1,574 
5 
0,5 
-2,10 
1,08 
-2,0 
-0,8623 
-0,0550 
1,916 
1,784 
6 
0,6 
-2,12 
1,10 
-2,4 
-0,8536 
-0,0761 
2,364 
2,033 
7 
0,7 
-2,14 
1,12 
-2,8 
-0,8446 
-0,1007 
2,455 
2,332 
8 
0,8 
-2,16 
1,14 
-3,2 
-0,8354 
-0,1290 
2,800 
2,696 
9 
0,9 
 
 
 
 
 
3,214 
3,148 
10 
1,0 
 
 
 
 
 
3,718 
3,718 
 
Berilgan chegaraviy masalani progonka usulida yeching. 
1. 
5
cos
"
3
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
2. 
3
cos
"
2
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
3. 
10
cos
"
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
4. 
2
cos
"
4
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
5. 
11
cos
"
y
x
y


 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
6. 
5
sin
"
2
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
7. 
3
sin
"
3
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
8. 
10
sin
"
3
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 

 
228
9. 
3
sin
"
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
10. 
11
sin
"
y
x
y


 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
11. 
12
cos
"
3
y
x
y


 
 
6
,
2
8
,
1
0

y
 


8
,
2
;
8
,
1

x
 
12. 
2
cos
"
3
2
y
x
y


 
 
6
,
4
6
,
1
0

y
 


6
,
2
;
6
,
1

x
 
13. 
4
cos
"
3
y
x
y


 


8
,
0
6
,
0
0

y
 


6
,
1
;
6
,
0

x
 
14. 
5
sin
"
2
y
x
y


 


4
,
1
8
,
0
0

y
 


8
,
1
;
8
,
0

x
 
15. 
2
sin
1
"
y
x
y



 
 
5
,
2
1
,
2
0

y
 


1
,
3
;
1
,
2

x
 
16. 
10
9
"
2





x
y
y
x
y
 
 
4
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
17. 
4
9
6
3
"
3




x
x
xy
y
 
 
3
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
18. 
2
2
"
2




x
y
x
y
 
 
6
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
19. 
10
3
"
2






x
y
y
x
y
 
 
7
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
20. 
2
3
"
x
y
y
x
y





 
 
2
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
21. 
3
2
"
2






x
x
y
y
y
 
 
1
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
22. 
1
2
"
2







x
x
y
y
y
 
 
2
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
23. 
1
"
2





x
y
y
x
y
 
 
5
2
0

y
 


3
;
2

x
 
24. 
1
"
2





x
x
y
y
 
 
4
1
0

y
 
 
2
;
1

x
 
25. 
x
x
y
y
2
2
2
"
2




 
 
1
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
26. 
x
y
y
4
2
"




 
 
0
0
0

y
 
 
1
;
0

x
 
 
 
Mustaqil ishlash bo’yicha savollar 
1. Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamani  taqribiy  yechish  masalasi 
qanday qo’yiladi ? 
2. Birinchi va ikkinchi tartibli hosilani chekli ayirmalarda ifodalang. 
3.  Ikkinchi  tartibli  differensial  tenglamalarni  yechishning  Progonka 
usulini tushintirib bering. 
 
11. Bir o’lchamli nostatsionar issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini ChA usuli bilan yechish. 
Ishdan  maqsad:    Bir  o’lchamli  nostatsionar  issiqlik  o’tkazuvchanlik  tenglamasini 
approksimatsiya  qilish  va  unga  qo`yilgan  masalani  chekli  ayirmalar  usuli  bilan  yechish 
talabalarga o’rgatish 
Masalaning  berilishi.  Birinchi  chegaraviy  masala  (I): 


T
t
,
x
D





0
1
0
  da 
uzluksiz bo`lgan quyidagi masalaning 
)
,
( t
x
u
 yechimini topamiz  

 
229
.
T
t
),
t
(
u
)
t
,
(
u
),
t
(
u
)
t
,
(
u
,
x
),
x
(
u
)
,
x
(
u
,
T
t
,
x
),
t
,
x
(
f
x
u
t
u

















0
1
0
1
0
0
0
1
0
2
1
0
2
2
 
 
 
Quyidagi to`rni kiritamiz 




J
,...,
,
j
,
j
t
,
I
,...,
,
i
,
ih
x
j
i
h
1
0
1
0










 
va 
D
 to`rni 




J
,...,
,
j
,
I
,...,
,
i
,
j
,
ih
h
h
1
0
1
0











 
ko`rinishda   
J
T
,
I
h


 1
qadamlar  bilan  kiritamiz,  bunda 

j
i
y
 


h
  da  aniqlangan 
bo`lib, y  funktsiyaning 


j
i
t
,
x
 tugundagi  qiymati. 
 
Bir parametrli ayirmali sxemalar oilasini qaraymiz 


J
j
,
I
i
,
y
)
(
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i











0
0
1
1
1





, 
bunda 
2
1
1
2
h
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
x
x
j
i







,  

 – haqiqiy parametr. 
 
 Bu sxema ba`zan vaznli sxema deb ataladi. 
 
CHegaraviy va boshlang`ich shartlar quyidagicha aniq approksimatsiyalanadi: 
,
,
2
1
0
j
j
I
j
j
u
y
u
y


 
).
x
(
u
)
,
x
(
y
y
i
i
i
0
0
0 

 
 
Ikki qatlamli sxemalar 
=0 
da 
(x
i
,t
j+1
), 
(x
i
,t
j
), 
(x
i±1
,t
j
) 
shablonda 
aniqlanuvchi 
to`rt 
nuqtali  
j
i
j
i
j
i
j
i
y
y
y






1
 sxemani hosil qilamiz yoki uni quyidagicha yoza olamiz 
.
h
     
,
)
y
y
(
y
)
(
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
2
1
1
1
2
1














  
 
Bu sxema  oshkor sxema deb ataladi.  
 
Agar 
0


 bo`lsa, u  holda sxema oshkormas ikki qatlamli sxema deb ataladi. 
0


 da 
1

j
i
y
larni aniqlash uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi 
1
2
1
1
1
0






j
j
I
j
i
j
u
y
,
u
y
   
, 
algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilamiz: 
 
,
F
y
y
j
i
j
i
j
i








1
1
1
  
 
 
 
 


,
1
1
j
i
j
i
j
i
j
i
y
y
F








 
i=1,…,I-1. 

 
230
Bu ayirmali tenglama echimi progonka usuli bilan topiladi.  
 
1


 da sof oshkormas sxemaga ega bo`lamiz  
.
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i








1
1
  
 
 
 
 
5
0,


 da olti nuqtali simmetrik sxemani hosil qilamiz  


,
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i









1
1
2
1
 
 
 
 
ba`zan bu sxema  Krank-Nikol’son sxemasi deb ataladi. 
Uch qatlamli sxemalar. Bunday sxemalardan bittasi Richardson sxemasidir: 
j
j
j
y
y
y






2
1
1
  yoki 
j
t
y
y


0
,  
 
 
 
 
bunda 
x
x
j
j
j
t
y
y
   
,
y
y
   
,
y
y
   
,
y
y
€
    
,
y
y
€
y












1
1
2
0
.  Bu  sxema 

  va  h  bo`yicha 
ikkinchi  tartibli  approksimatsiga  ega   
)
h
(
O
u
Λu
t
2
2
0






.  Ammo  u  absalyut 
turg`unmas sxemadir.  
 
 Oxirgi sxemani quyidagi ko`rinishda yozamiz 
2
1
1
1
1
2
2
h
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i









. 
 
 
 
    (*) 
Agar (*) ning o`ng tarafidagi 
j
i
y
2
 ni  
1
1



j
i
j
i
y
y
 ga almashtirsak, u holda uch qatlamli 
«romb» sxemaga (Dyuffort-Frenkel sxemaga) kelamiz: 
2
1
1
1
1
1
1
2
h
y
y
y
y
y
y
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i
j
i












. 
Misol.
5
,
0


 bo’lgan xol uchun, 
)
025
.
0
0
(
,
0
)
;
1
(
)
,
0
(
,
1
0
(
sin
)
0
,
(
,
2
2












t
t
u
t
u
x
x
x
u
x
u
t
u

  masala yechilsin.