Amaliy mashg‘ulot chidamliligi va ishonchligini tahlil qilish uchun matematik modellarini ishlab chiqarish. Tugallangan elementlar metodi

1. 
   AMALIY MASHG‘ULOT
   

Chidamliligi va ishonchligini tahlil qilish uchun matematik modellarini ishlab chiqarish.

Tugallangan elementlar metodi.
Mexatronik buyumlarning chidamlilik vazifasini aniqlashda barcha bosqichlarda metodlar ichida tugallangan elementlar metodi (МКЭ) keng tarqaldi. Tugallangan elementlar metodining yutuqlari quyidagilardan iborat: turli sharoitlarda topshiriqning bajarish osonligi, bir konstruksiyada bir qancha materiallarni hisobga olishning oddiyligi, tugallangan elementlarni bir setkaga (to‘rga) joylashtirish yo‘li bilan joylarda kutilayotgan konsentratsiyani aniqlash mumkinligi, oson dasturlashtirish va boshqalar. Yaqin o‘tmishda EHM larda hisoblash vaqtining ko‘pligi va katta xotiraning talab etilishi tugallangan elementlar metodi (CHEM) ning muommolaridan biri bo‘lib hisoblanardi, lekin hisoblash texnikalari va hisoblashlarni qisqartirish metodlarining rivojlanishi bu muammolarni to‘liq bartaraf etish imkonini berdi.

MKE o‘zining deyarli barcha elementlari turli xossalarga ega murakkab bo‘lgan geometrik

Uzoq muddatlilikni hisoblashda MKE da asos bo‘lib quyidagi operatsiyalar hisoblanadi:

• 
  Tugallangan elementlar setkasini yaratish, uzellar koordinatalarini aniqlash, tugallangan elementlar topologiyasi va chegara shartlarini qo‘yish;
  
• 
  Tugallangan elementlarining asosiy matritsasini aniqlash;
  
• 
  Nagruzkalarni qo‘yish;
  
• 
  Algebravik tenglamalar sistemasini tuzish va yechish;
  
• 
  Konstruksiyaning statistik va dinamik xarakteristikasini aniqlash;
  
• 
  Resursning hisoblangan bahosi (uzoq muddatliligi).
  

Haqiqiy ishda sistemaning to‘liq potensial energiyasini minimallashtirishni ko‘chish orqali amalga oshirishda ko‘chishlar metodi nomi bilan tanilgan yo‘l ko‘rib o‘tilgan.

2. 
   MKE uchun buyumning statik va dinamik holati.
   

Konstruksiyaning har bir nuqtasining deformatsiyalangan holati funksiya shakli N va ko‘chish vektori δ orqali ifodalanishi mumkin:

d=Nδ (1)

deformatsiya ε munosabatlardan kelib chiqib aniqlanadi:

ε=Ld (2) yoki

ε =Bδ (3)

Matritsani funksiya shakli va aniq bo‘lgan ko‘chish va deformatsiya orasidagi munosabatdan ham aniqlash mumkin

B= LN (4)

L – chiziqli operator.

Kuchlanishlar va deformatsiyalar orasidagi umumiy munosabatlar quyidagicha yoziladi:

δ =Dε (5)

Yana D materialni mexanik xossalarini xarakterlovchi elastiklik matritsasi hisoblanadi. MKE ning statistik kuchlanishga – deformatsiyalangan holatini quyidagi formula orqali ifodalash mumkin:

Kδ=Fст, (6)

Bu yerda K – mustahkamlik (qattiqlik) matritsasi, δ – uzel nuqtalarining statistik ko‘chish vektori, Fст–statistik nagruzkaning vektori.

MKE dan foydalanish jarayonida chiziqli demferlash uchun dinamik xarakteriatika quyidagi tenglik orqali ifodalandi:

Mδ+Cδ+Kδ=Fdin(t), (7)

Bu yerda M – massa matritsasi, δ – uzel nuqtalaridagi tezlanish, C – demferlash matritsasi, δ – uzel nuqtalaridagi tezlanish (tezlik), K – mustahkamlik (qattiqlik) matritsasi, δ – uzel nuqtalarining ko‘chish vektori, Fdin(t) – vujudga kelgan kuchlar vektori.

Erkin tebranishda dempferlashsiz harakat tengligi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi

Mδ+Kδ=0, (8)

Chunki

Δ=δ0 cos

ωt – β, (9) va shu yerda, ω – sistemaning aylanishlar chastotasi, β – tebranishlar fazasi.

Y-K-ω2M-δ0=0. (10) determinant 0 ga teng bo‘lganda ma’noga ega.

К- ω2M=0 (11) ushbu tenglikni yechishda va tegishli yechimlarni topishda standart algoritmlar qo‘llaniladi.

Zarur bo‘lgan tebranishlar masalasini tahlil qilishda (6) tenglikni yechish va dempferlash matritsasini aniqlash zarur bo‘ladi. Yechish qoidaga muvofiq xususiy shakllarga (formaga) ko‘ra ajratish metodi yordamida hisoblanadi. Bunda olingan tengliklarni tugash (chegaralangan) vaqti oralig‘ida integrallash metodi yordamida yechish mumkin.

2. 
   Qo‘llaniladigan tugallangan elementlari.
   

Tavsiya etilayotgan ishda ikki o‘lchovli va uch o‘lchovli tugallangan elementlar qo‘llanilgan (10.1 rasm). Ikki o‘lchamli tugallangan element sifatida membrane holatni va burilishni harakterlovchi tugallangan element sirtqi ko‘rinishi qo‘llanilgan. Elementlar 3 yoki 4 uzelga va uzel 5 erkinlik darajasiga ega. To‘ldiruvchi 6- erkinlik darajasi (burilish element tekisligiga perpendikulyar o‘q bilan bog‘liq) keyinroq mahalliy koordinatalar sistemasini umumiy (global) koordinatalar sistemasiga o‘zgarishi vaqtida vujudga keladi. Uch o‘lchamli bazaviy element 16 ta uzelldan iborat va uzellda 3 ta erkinlik darajasi mavjud (1 – rasm). Tugallangan element ingichka sirtqi ko‘rinishlar va 3 o‘lchamli tanasida shifrlar o‘rniga ishda maslahat berilgan abbriviaturadan foydalanilgan.

1. 
   – tenglikda formaning vazifasini aniqlash uchun 2 o‘lchamli elementni quyidagi ko‘rinishda taklif etamiz.
   

U=L1u1+L2u2+L3u3, (1020)

V=L1v1+L2v2+L3v3, (1021)

Bu yerda L1, L2, L3 – uchburchakli koordinatalar.

1-rasm.Bazaviy tugallangan elementlar.

2-rasm. Koordinatalarning dekart va silindrikli sistemasi.

Global va egri chiziqli koordinatalar sistemasi orasidagi bog‘liqlik quyidagicha:

Yoki

(10.11) tenglikdagi matritsa B (10.12) dan mos keladigan qilib olinadi. Ikki o‘lchamli tugallangan element uchun deformatsiya quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Bu yerda B

Bu yerda ∆ - uchburchakning yuzi, b₁ = y₂-y₃, a₁=x₁-x₂, bu yerda a₁, b₁ (i=2.3) siklik o‘rnatish amalga oshiriladi.

Egilgan qism uchun deformatsiya, shuningdek egilganlik quyidagi tenglikdan aniqlanadi

Matritsa B quyidagi ko‘rinishni oladi:

Uch o‘lchamli element uchun quyidagi tenglik o‘rinli:

Matritsa osti esa quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

I=1…..16 uchun.

Elastiklik matritsasi va (10.13) tenglik quyidagi ko‘rinishni oladi

Elastiklikka mos holda

Bu yerda E – elastiklik moduli, v – puasson koeffitsienti, h – element qalinligi.

Buyumning ichki bo‘shlig‘ini tebranishini va chidamliligini hisoblashda konstruksiyaning haqiqiy geometriyasini hisobga olish zarur. Konstruksiyaning ichki bo‘shliqlarini hisobga olish uchun chekli elementlar (KE) modifikatsiyasi STIO 18 ishlab chiqilgan. Modifikatsiyalangan tugallangan elementlarning qalinligi chiziqlilik qoidasi asosida o‘zgaradi. Kuchlanishlar elementning yuqori va pastki yuzalarida yotuvchi M1 va M2 nuqtalarda uchburchakning og‘irlik markazida hioblanadi. Boshlang‘ich ma’lumot o‘rnida uzellardagi qalinliklarning ikkita parametrlari beriladi: qalinlik h, masofa d (1-rasm). Agar yaxlit konstruksiya hisoblansa unda d=h/2 va element yaxlit holda ishlaydi.

Yupqa tugallangan elementlardan foydalanishda yuza konstruksiyasida chekli elementlar approksimatsiyasini oshirish katta ahamiyat kasb etadi. Bunga ikki yo‘l bilan erishiladi: tugallangan elementlar sonini oshirish yo tugallangan elementlar orasiga aralashtirilgan approksimasiyalar tartibini yaxshilash. Oxirgi songa KЭSTIM 24 (1-rasm) yaratish, 4ta uchburchak STIO 18 ning birlashuvidan hosil qilingan bitta markaziy uzellga ega. Markaziy uzel iqtisodlashtirish yoki super elementlar metodi bilan aniqlanadi va hisoblashlar jarayonida ishtirok etmaydi.

1.