Amaliy matematika va informatika

2. Runge-Kutta metodlari.

Metodlarning tavsifi.

_

Koshi masalasini qaraymiz.

Runge-Kutta m-bosqichli oshkor metodi quyidagidan iborat.

_ qiymat bo’lsin. _ koeffitsientlar beriladi va

………………………………………………………..

funksiyalar ketma-ket hisoblanadilar

Undan so’ng



formuladan _ topiladi. _ , koeffitsientlar aniqlik shartlaridan topiladilar. Masalan, (2)-dastlabki (1)-tenglamani approksimatsiya qilishi uchun

bo’lishi uchun zarur. Ba’zi bir metodlarga alohida to’xtalamiz. M=1 bo’lsa 1-misolda qaralgan Eyler sxemasi hosil bo’ladi.m=2 bo’lganda

_{ }

metodlar majmuasini hosil qilamiz.(3)-mrtodlar approksimatsiyaning parametrlarini tadqiq etamiz.

Oxirgi tengliklardan _va _ -larni f orqali ifodasini almashtirib

_

tenglikka ega bo’lamiz.

Approksimatsiya xatoligi ta’rifiga ko’ra (3)-metodning approksimatsiyasi (4)-dan _ ni _ -aniq yechimi bilan almashtirishdan hosil bo’lgan

_

ifodaga aytiladi.

U(t) va f(t,y) funksiyalarni yetarlicha silliq deb qarab approksimatsiya tartibini aniqlaymiz. Buning uchun (5)-dagi barcha qiymatlarni Teylor formulasi bo’yicha _ -nuqtada yoyib chiqamiz va quyidagilarga ega bo’lamiz.

(1)-ga asosan

shuning uchun



Bundan ko’rinib turibdiki, agar _ qilib olinsa, approksimatsiya tartibi birga teng bo’ladi. Agar bunga qo’shimcha ravishda _ talab qilsak, approksimatsiya tartibi ikkiga teng bo’ladi. Shunday qilib, ikki bosqichli approksimatsiya tarbibi ikkiga teng bo’lgan bir parametrli Runge-Kutta metodi borligianiqlandi.

Bu metodlar oilasini quyidagicha yozish mumkin.

_

Bundan _

Xususiy holda, _ bo’lganda 3-misol kelib chiqadi. _ bo’lganda ikkinchi tartibli

metod hosil bo’ladi.

Uchinchi tartibli ikki bosqichli metod mavjud emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun u’=u tenglamani qarash kifoya.

Approksimatsiya tartibi yuqori bo’lgan Runge-Kutta metodlari misoli bor.

Uchinchi tartibli metod:

Uchinchi tartibli metod:

To’rtinchi tartibli metod

To’rtinchi tartibli metod

Runge-Kutta metodlaridan ikkinchisi:

Keltirilgan metodlar Runge-Kutta metodlarining xususiy hollaridir.