Analytical Mechanics This page intentionally left blank

p

q

0

q

1

q

Natural motion

Perturbed motion

Fig. 9.4 Sketch of the synchronous perturbations.

T

heorem 9.4 A necessary and sufficient condition that δA = 0, to first order

in the class of perturbations (9.44), is that q

∗

k

, p

∗

k

are solutions of the Hamilton

equations (8.24).

Proof

We immediately find that

δA =

t

1

t

0

(

ζ · ˙q

∗

+ p

∗

· ˙η + ζ · ˙η − δH) dt,

(9.45)

and since we are only interested in the first-order variation we can neglect the

term

ζ · ˙η and write

δH

(

∇

q

H)

∗

· η + (∇

p

H)

∗

· ζ,

(9.46)

where (

·)

∗

denotes the values taken along the natural motion.

Integrating by parts the term containing ˙

η, we arrive at the expression

δA =

t

1

t

0

[

ζ · ( ˙q − ∇

p

H)

∗

− η · ( ˙p + ∇

q

H)

∗

] dt.

(9.47)

From this we can deduce the equivalence

δA

0

⇔ ( ˙q − ∇

p

H)

∗

= ( ˙

p +

∇

q

H)

∗

= 0,

(9.48)

if we proceed as in the final part of the proof of Theorem 9.1.

Remark 9.5

The previous theorem is still valid if we restrict to the class of perturbations

(9.44), imposing the limitations

ζ

k

(t

0

) =

ζ

k

(t

1

) = 0 (what needs to be modified

in the proof is not essential).

316

Analytical mechanics: variational principles

9.5

9.5

Principle of the stationary action

Besides Hamilton’s principle, there exist several other variational principles.

1

We will discuss only one more, the most famous, which has special interest for

its geometric implications. This principle is called the principle of stationary

action, or Maupertuis’ principle. It is valid for systems with a time-independent

Hamiltonian.

It is convenient to refer to the space (p, q, t) and to parametrise not only p

and q but also t, thus considering the curves in R

2 +1

given by the equations

p = p(u), q = q(u), t = t(u). To obtain a parametrisation of the natural motion,

it is enough to consider a function t = t(u), u

0

≤ u ≤ u

1

, in

C

2

[u

0

, u

1

] with

t (u) =

/ 0 in [u

0

, u

1

], and consequently define the functions q

k

(u) = q

∗

k

(t(u)),

p

k

= p

∗

k

(t(u)).

We find the curve of equations

p = p(u),

q = q(u),

t = t(u),

(9.49)

along which we introduce the perturbations

p = p(u) +

ζ (u), q = q(u) + η (u), t = t(u) + τ(u),

(9.50)

in such a way that the new functions p(u), q(u), t(u) are also

C

2

, and satisfy

η(u

0

) =

η(u

1

) = 0.

The relevant novelty is that perturbations now include a variation in the

temporal scale. Therefore they are called asynchronous perturbations (Fig. 9.5).

We note that, in analogy with the case discussed in the previous section, only

a subset of the curves (9.50) is associated with possible motions. However, every

stationarity result obtained in this wider class applies to the subfamily of possible

motions.

In what follows we select a particular subclass of perturbations, satisfying

H(p(u), q(u)) = H(p(u), q(u)).

(9.51)

The asynchronous perturbations subject to the condition (9.51) are called isoen-

ergetic. It will soon be clear that the need to introduce asynchronous variations

is due to the constraint imposed on the energy.

The functional we want to study is

A =

t

(u

1

)

t

(u

0

)

p

· ˙q dt,

(9.52)

which is also called the action. The integrand must be understood in the Hamilto-

nian formalism. This functional is obviously linked to the time average of the

kinetic energy (see (4.34)).

1

See, for example, Levi-Civita and Amaldi (1927), Whittaker (1936) and Agostinelli and

Pignedoli (1989).

9.5

Analytical mechanics: variational principles

317

t

q

1

p

q

0

q

t

0

t

1

Natural motion

Perturbed motion

Fig. 9.5 Sketch of the asynchronous variations.

T

heorem 9.5 (Stationary action of Maupertuis’ principle) If the Hamiltonian

does not depend explicitly on time, the functional (9.52) along the natural motion

is stationary with respect to the class of isoenergetic asynchronous perturbations.

Proof

We make the change of variables t = t(u) in (9.52) and we write

A(

ζ, η, τ) =

u

1

u

0

(p +

ζ(u)) ·

d

du

(q +

η(u)) du.

(9.53)

Neglecting the higher-order term

ζ ·

d

du

η and integrating by parts where

necessary, we arrive at the expression for the variation δA:

δA

u

1

u

0

ζn ·

d

du

q

− η ·

d

du

p

du.

(9.54)

Using the Hamilton equations we find immediately that, to first order,

ζ ·

d

du

q

− η ·

d

du

p

δH

dt

du

.

(9.55)

Since by hypothesis δH = 0, the proof is finished.

318

Analytical mechanics: variational principles

9.6

Remark 9.6

The functional (9.52) contains only information on the geometric-material struc-

ture of the system. The dynamic information comes into play because of the

isoenergetic constraint.

Before examining the geometric consequences of this principle, we consider a

few simple examples.

Example 9.8: motion of a free point in the absence of forces

Isoenergetic motions are in this case the uniform motions with the same mag-

nitude of velocity as the natural motion. It is clear then that it is impossible to

perturb the trajectory without perturbing the temporal scale. The functional A

can be written as

A =

1

2

mv

t

(u

1

)

t

(u

0

)

v

d

t =

1

2

mvs,

(9.56)

where s is the length of the path travelled. The geometric interpretation of the

principle of the stationary action is then that the natural motion is the motion

which makes the length of the travelled path stationary with respect to any other

path with the same velocity connecting the same start and end points.

Example 9.9 motion of a point on an equipotential surface

Let P be constrained on the surface V = constant. In this case as well the

isoenergetic motions are the uniform motions with the same magnitude of velocity

as the natural motion, and the conclusion is the same as in the previous case:

the trajectory is a geodesic of the surface (Proposition 2.2).

In fact, the minimality property of the path stressed by the previous examples

holds in general, as long as the manifold of configurations is endowed with the

appropriate metric. We shall develop this concept in the next section.

9.6

The Jacobi metric

Consider a holonomic system with fixed, smooth constraints, not subject to any

force directly applied to it. For such a system the kinetic energy is constant:

T = constant.

(9.57)

Recall that T =

1

2

h,k

=1

a

hk

˙

q

h

˙

q

k

is a positive definite quadratic form. We

interpret (a

hk

) as the metric tensor of the manifold of configurations of the

9.6

Analytical mechanics: variational principles

319

system, as we did in Theorem 4.3:

(ds)

2

=

h,k

= 1

a

hk

dq

h

dq

k

.

(9.58)

With this metric, the velocity of the representative point in the space is such

that

| ˙q|

2

= 2T,

(9.59)

and hence

| ˙q| = constant.

We can apply the principle of stationary action and conclude that the natural

motion is an extremal for the length of the path travelled on the Riemannian

manifold

V endowed with the metric (9.58) (this is indeed the meaning of the

action). On the other hand, note that in this case Theorem 9.2 refers to the

extremal for the functional

t

1

t

0

√

2T dt, the Euler equations coinciding, for T =

constant, with the Lagrange equations for L = T (see Problem 9.5).

Turning to the general case, when there is a conservative force field with

potential energy V (q), it is still possible to obtain an analogous result, as long

as the chosen metric incorporates the function V (q) in a suitable way, at the

same time preserving the information encoded in T . More precisely, we write

(ds)

2

= 2(E

− V )

h, k

=1

a

hk

dq

h

dq

k

,

(9.60)

so that

| ˙q| = 2T

(9.61)

and consequently the action coincides directly with the length of the arc of the

trajectory travelled by the point in the space of configurations. The metric (9.60)

is called the Jacobi metric and it is defined in the regions

V

E

=

{V (q) ≤ E}.

For a fixed energy E, the manifold

V

E

with the metric (9.60) defines a Rieman-

nian manifold with boundary (∂

V

E

=

{V (q) = E}), and from the Maupertuis

principle it follows that the natural motion travels along the geodesics of this

manifold. Note that the metric (9.60) is singular on ∂

V

E

.

The following examples make reference to systems with two degrees of freedom.

In the space (q

1

, q

2

) we look for the trajectories of the form q

1

= f (q

2

). Hence

the functional we have to study is of the form

l(f ) =

b

a

[E

− V (f, q

2

)]

1/2

a

11

df

dq

2

2

+ 2a

12

df

dq

2

+ a

22

1/2

dq

2

,

320

Analytical mechanics: variational principles

9.6

with a

ij

functions of f and q

2

. After elimination of time, we can neglect the

perturbations of this variable.

Example 9.10

Verify that the trajectory of a central motion with potential energy V (r) is a

geodesic with respect to the Jacobi metric (9.60).

We seek the extremals of the functional

ϕ

2

ϕ

1

[(ρ

2

+ ρ

2

)(E

− V (ρ))]

1/2

d

ϕ,

(9.62)

from which we obtain the Euler equation

ρρ

− 2ρ

2

− ρ

2

ρ

2

+ ρ

2

+ ρ

V

2(E

− V )

= 0

(9.63)

for the trajectory r = ρ(ϕ). We want to check that by integrating (9.63) we find

the trajectory of the motion under consideration. Indeed, it is enough to note

that, setting u = 1/ρ and ˆ

V (u) = V (ρ), equation (9.63) becomes

u + u

u

2

+ u

2

=

ˆ

V (u)

2( ˆ

V

− E)

,

(9.64)

admitting the first integral

u

2

+ u

2

= k(E

− ˆ

V ),

(9.65)

with k constant (it suffices to multiply the two sides of (9.64) by 2u ). This is

simply the energy integral, after identifying k with 2m/L

2

z

(see (5.27)).

Indeed, by substituting (9.65) into (9.64) we find

u + u =

−

m

L

2

z

ˆ

V (u),

(9.66)

and hence we obtain (5.26).

This proves that the solution of the variational problem, i.e. the integra-

tion of equation (9.64), is equivalent to the classical solution of the dynamical

problem.

Example 9.11: motion of a point mass in a one-dimensional field

Choose the x

3

-axis in the direction of the field, and let V (x

3

) be the potential

energy, with V (0) = 0. We study the motion in the (x

1

, x

3

) plane, with the initial

conditions x

1

(0) = x

3

(0) = 0, ˙

x

1

(0) = v

01

, ˙

x

3

(0) = v

03

.

9.6

Analytical mechanics: variational principles

321

Since x

1

(t) = v

01

t and ˙

x

3

=

± −2/m (V (x

3

) + v

2

03

)

1/2

, we find by separation

of variables in the latter

t =

±

x

3

0

−

2

m

V (ζ) + v

2

03

−1/2

d

ζ.

(9.67)

The equation of the trajectory is then

x

1

=

±v

01

x

3

0

−

2

m

V (ζ) + v

2

03

−1/2

d

ζ,

(9.68)

where the sign must be changed in correspondence to the possible singularities

of the integrand.

We now solve the problem using the variational technique considered in this

section, by finding the extremal of the length of the arc of the trajectory with

respect to the metric (9.60). Hence we find the function x

1

= ξ(x

3

) which is an

extremal of the functional

(ξ) =

ζ

0

0

[

−2V (x

3

) + m(v

2

01

+ v

2

03

)]

1/2

[m(1 + ξ

2

(x

3

))]

1/2

d

x

3

,

(9.69)

where ξ(0) = 0 and ξ(ζ

0

) must coincide with the value taken by (9.68) for x

3

= ζ

0

.

Since the integrand in (9.69) does not depend on ξ(x

3

), the Euler equation

admits the first integral

[

−2V (x

3

) + m(v

2

01

+ v

2

03

)]

1/2

ξ

(1 + ξ

2

)

1/2

= c,

i.e.

ξ = c[

−2V (x

3

) + m(v

2

01

+ v

2

03

)

− c

2

]

−1/2

.

(9.70)

To find the desired value of ξ(

ζ

0

) we take c

2

= mv

2

01

, and hence c =

±

√

mv

01

,

and the integral of equation (9.70) then coincides with (9.68).

Example 9.12

Consider a rod AB constrained in the (x, z) plane, and with the point A sliding

on the x

1

-axis, without any directly applied force. The rod has length 2

and

mass m. We seek the equation of the trajectory in the Lagrangian coordinate

space. Choose the coordinates ϕ, ξ = x/ as in Fig. 9.6.

We compute the kinetic energy

T =

1

2

m

2

˙

ξ

2

− 2 ˙ξ ˙ϕ sin ϕ +

4

3

˙

ϕ

2

(9.71)

322

Analytical mechanics: variational principles

9.6

y

B

A

x

A

x

w

Fig. 9.6

and deduce that the correct metric to use in solving the problem is

d

s

2

=

d

ξ

2

− 2 sin ϕ

d

ξ

d

ϕ +

4

3

d

ϕ

2

.

By seeking the trajectories in the form ξ = ξ(ϕ), we must find the extremal of

the functional

(ξ) =

ϕ

2

ϕ

1

ξ

2

− 2 sin ϕξ +

4

3

1/2

d

ϕ.

(9.72)

The Euler equation admits the first integral

∂

∂ξ

ξ

2

− 2 sin ϕξ +

4

3

1/2

= k,

from which

ξ = sin ϕ

± (1 − k

2

)

−1/2

4

3

− sin

2

ϕ

1/2

,

with

|k| < 1.

(9.73)

This equation leads to an elliptic integral.

Classically we can solve the problem by writing the conservation of the kinetic

energy:

˙

ξ

2

− 2 ˙ξ ˙ϕ sin ϕ +

4

3

˙

ϕ

2

= c

0

(9.74)

and of the first component of the momentum:

˙

ξ

− ˙ϕ sin ϕ = c

1

.

(9.75)

Note that we must have c

0

≥ c

2

1

.

Solving the system (9.74), (9.75) with respect to ˙

ξ, ˙

ϕ and eliminating time,

we find (9.73), with k = c

1

/

√

c

0

.

9.7

Analytical mechanics: variational principles

323

9.7

Problems

1. Determine all plane curves of equation y = y(x) passing through the origin,

and through the point with coordinates (π/2, 1) that are extremals for the

functional

π/

2

0

[(y )

2

− y

2

]

d

x.

2. Consider all plane curves y = y(x) passing through two fixed points A and

B. Show that the area of the surface of rotation obtained by rotating the graph

of the curve around the x-axis is given by S(y, y ) = 2π

x

B

x

A

y

1 + (y )

2

d

x. Show

that the area is stationary if y = a cosh(x

− b)/a, and hence a catenary. The

constants of integration a and b are determined by requiring that the curve passes

through the points A and B (depending on the relative position of the points,

the solution may or may not be unique, or may not exist. Discuss all possible

cases). (Hint : since the integrand is independent of x, use Remark 9.2(c).)

3. Determine the extremals of the following functionals, for fixed values of

q(t

0

), q(t

1

):

(a)

t

1

t

0

(t ˙

q + ˙

q

2

)

d

t;

(b)

t

1

t

0

(q

2

+ ˙

q

2

− 2qt)

d

t;

(c)

t

1

t

0

( ˙

q + t

2

˙

q

2

)

d

t.

4. Let h = R

2

→ R be of the form h(x, x ) = (x − x )

2

/2 + u(x), where

u : R

→ R is of class C

∞

. Given any finite sequence of real numbers (x

j

, . . . , x

k

),

j < k, set h(x

j

, . . . , x

k

) =

k

−1

i

=j

h(x

i

, x

i

+1

). A (k

− j)-tuple is minimal for h if

h(x

j

, . . . , x

k

)

≤ h(x

j

, . . . , x

k

)

for every (x

j

, . . . , x

k

) such that x

j

= x

j

, x

k

= x

k

. Prove that if (x

j

, . . . , x

k

) is

minimal then it satisfies the following condition to be stationary:

x

i

+1

− 2x

i

+ x

i

−1

= u (x

i

)

for all j < i < k.

Determine all the stationary n-tuples for the case u

≡ constant and u = ax.

Which are the minimal ones?

5. Deduce from the principle of stationary action that the orbit of a point

particle in a central force field of potential energy V (r) =

1

2

kr

2

, k > 0, is an

ellipse with centre at the origin.

6. Within special relativity theory, the Lagrangian of a point particle with

mass m (at rest) and in the absence of forces, is L( ˙

q) =

−mc

2

1

− (| ˙q|

2

/c

2

),

where c is the speed of light.

324

Analytical mechanics: variational principles

9.9

Determine the kinetic momentum p, the Hamiltonian H and show than, for

any speed much smaller than the speed of light, H

∼ mc

2

+

|p|

2

/2m. Write the

Euler equations for the relativistic action functional S =

L( ˙q)

d

t and show that,

in the case

| ˙q|

c, they reduce to the equation m¨

q = 0.

9.8

Additional remarks and bibliographical notes

Although the first studies in the calculus of variations date back to the seventeenth

century, it was only in 1736 that Euler proved Theorem 9.1, which is still today

considered the fundamental result in this field. The proof we gave is due to

Lagrange, who obtained it in 1756. He also introduced the principle of stationary

action, without, of course, using the Hamiltonian formalism. The problem of

the additional conditions that a solution of the Euler equation must satisfy, in

order to effectively provide the maximum or minimum of the functional, was

successfully considered by Legendre, who gave an additional necessary condition.

It was only in 1837 that Jacobi succeeded in strengthening the condition of

Legendre to make it a sufficient condition, when he discovered the existence of

conjugate points at which the minimisation problem loses uniqueness. A detailed

discussion of these beautiful results goes beyond the scope of this work; for an

elementary and pleasant introduction, we recommend Fox (1987, chapters 1–3).

We simply note that if

(1) the Euler equation is satisfied,

(2) the interval of integration [t

1

, t

2

] is sufficiently small,

(3) the

× matrix ∂

2

F /∂ ˙

q

i

∂ ˙

q

j

is either positive definite or negative definite,

then there is a maximum or a minimum according to whether ∂

2

F/∂ ˙

q

i

∂ ˙

q

j

is

negative or positive definite. This is enough to show that the Hamiltonian action

(9.35) is minimised along the natural motion (for sufficiently short time intervals).

9.9

Additional solved problems

Problem 1

Let S be a surface given as the graph z = f (x, y), with f

∈ C

2

(R

2

). Find the

periodic function ρ(ϕ) > 0 such that the area of the portion of S projected in

the region bounded by the curve r = ρ(ϕ) on the plane (x, y), with prescribed

length , is an extremal.

Solution

The length of the curve is

=

2π

0

ρ

2

(ϕ) + ρ

2

(ϕ)

d

ϕ.

9.9

Analytical mechanics: variational principles

325

The area we are considering is

A(ρ) =

2π

0

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ρ

(ϕ)

0

EG

− F

2

d

r

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

d

ϕ,

where E, F, G are obtained by the following parametrisation of S:

x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ,

z = f (r cos ϕ, r sin ϕ).

One verifies that

EG

− F

2

= r

2

(1 + (

∇f)

2

),

and hence the functional for which we seek an extremal is

2π

0

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

ρ

(ϕ)

0

r(1 + (

∇f)

2

)

1/2

d

r

− λ ρ

2

+ ρ

2

⎫

⎪

⎬

⎪

⎭

d

ϕ.

Note that if S is a plane, then (

∇f)

2

is constant and A(ρ) is simply the

area enclosed by the curve r = ρ(ϕ), and hence

1

2

2π

0

ρ

2

(ϕ)

d

ϕ, divided by

1/(1 + (

∇f)

2

)

1/2

. In this case the problem is equivalent to that of Example 9.4.

More generally, we must solve the Euler equation

d

d

ϕ

λρ

ρ

2

+ ρ

2

+ ρ(1 + (

∇f)

2

)

1/2

r

=ρ(ϕ)

−

λρ

ρ

2

+ ρ

2

= 0

requiring that the solution is periodic, with period 2π, and determining λ using

the constraint on length. As an example, in the case of a surface of rotation

z = f (r) we find (

∇f)

2

= f

2

and the above equation becomes

λρ

ρρ

− 2ρ

2

− ρ

2

(ρ

2

+ ρ

2

)

3/2

+ ρ(1 + f

2

(ρ))

1/2

= 0,

which admits the solution ρ = R

0

, with R

0

= /2π, as long as R

0

is inside the

domain of definition of f ; indeed, it is enough to choose λ = (1 + f

2

(R

0

))

1/2

/R

0

.

In the case of the sphere f (r) =

√

R

2

− r, to find the circular solution we need

R

0

< R.

Problem 2

On the surface of rotation

x = ρ(z) cos ϕ,

y = ρ(z) sin ϕ,

z = z

326

Analytical mechanics: variational principles

9.9

consider the family of elicoidal curves defined by

ϕ = f (z),

f (z

1

) = 0,

f (z

2

) = 2π,

with f

∈ C

2

increasing, and the interval (z

1

, z

2

) inside the domain of definition

of ρ(z). Find f so that the length of the curve is stationary.

Solution

The length of the curve is given by the functional

(f ) =

z

2

z

1

[(1 + ρ

2

) + ρ

2

f

2

]

1/2

d

z.

Since the integrand does not depend on f , we can immediately write a first

integral of the Euler equation:

ρ

2

f = c[(1 + ρ

2

) + ρ

2

f

2

]

1/2

,

c > 0,

(9.76)

from which we find f :

f =

c

ρ

1 + ρ

2

ρ

2

− c

2

1/2

.

The constant c has to be determined by imposing, if possible,

c

z

2

z

1

1

ρ

1 + ρ

2

ρ

2

− c

2

1/2

d

z = 2π.

(9.77)

If the surface has a vertex in z = z

∗

(i.e. ρ(z

∗

) = 0) and z

∗

lies in [z

1

, z

2

],

then equation (9.76) is incompatible with f > 0, because it forces c = 0. In this

case the problem does not admit a solution. Even when this is not the case,

equation (9.77) is not always solvable. Take for example the cone ρ = zα, with

opening angle α, for which

f =

c

zα

1 + α

2

z

2

α

2

− c

2

1/2

=

γ

z

(1 + α

2

)

1/2

α

1

z

2

sin

2

α

− γ

2

1/2

,

with γ = c(sin α)/α. Setting

z sin α = ζ

and

ζ =

−γ

1 + t

2

1

− t

2

,

the integral can easily be computed and yields

f (z) =

2

α

(1 + α

2

)

1/2

arctan

z

1

sin α + γ

z

1

sin α

− γ

1/2

−

arctan

z sin α + γ

z sin α

− γ

1/2

.

(9.78)

9.9

Analytical mechanics: variational principles

327

It is easy to see that the difference of the arctangents is positive for z > z

1

, and

it is always less than π/4. Hence the condition f (z

2

) = 2π cannot be satisfied

if α

2

> 1/15. If on the other hand there exists a solution, it is unique, as the

right-hand side of (9.78) is an increasing function of γ in the interval (0, z

1

sin α).

It is not at all intuitive that there may be cases when no solution exists. In fact a

solution always exists, but when it is singular it cannot be found as a solution of

the Euler equation. Indeed, in the class considered, a path that follows meridians

(f = 0) and parallels (f

singular) may be the most economical (in terms of

length).

Problem 3

A point particle travels along the smooth curve z =

−f(x) ≤ 0, 0 < x < a, in the

vertical plane (x, z). The curve joins the two points (x = 0, z = 0), (x = a, z = 0).

Initially the point is at (0, 0) with zero velocity, and its motion is periodic. Find

the curve, in the family of curves of class C

2

(a, b) with fixed length

> a, for

which the period is an extremal.

Solution

Without the constraint on length, the curve would be a cycloid. The period is

twice the travelling time along the curve between the points (0,0) and (a, 0).

Conservation of energy implies that ˙s =

2gf (x). Since

d

s =

1 + f

2

d

x we

have

d

t = ((1 + f

2

)/2gf )

1/2

d

x. The period is then

T (f ) = 2

a

0

1 + f

2

2gf

1/2

d

x.

We need to find the extremals of the functional T (f )

− λ

a

0

(1 + f

2

)

1/2

d

x, where

λ is the Lagrange multiplier. The corresponding Euler equation has first integral

given by the Legendre transform of F (f, f ) = (1 + f

2

)

1/2

(2/gf )

− λ , i.e.

f

∂F

∂f

− F = λ −

2

gf

1

1 + f

2

.

Introducing the integration constant c we can write

f

2

= c

2

λ

−

2

gf

2

− 1,

and separate variables:

f

(x)

0

d

f c

2

λ

−

2

gf

2

− 1

−1/2

= x,

0 < x <

a

2

328

Analytical mechanics: variational principles

9.9

(the branch a/2 < x < a is symmetric, and equal values of f correspond to

opposite values of f ). Set λ

− 2/gf = ζ, i.e. gf/2 = (λ − ζ)

−2

and

d

f =

−4/g(λ − ζ)

−3

d

ζ. This puts the indefinite integral in the form

−

4

g

(λ

− ζ)

−3

(c

2

ζ

2

− 1)

−1/2

d

ζ.

The transformation (c

2

ζ

2

− 1)

1/2

= (cζ

− 1)t, i.e.

ζ =

−

1

c

1 + t

2

1

− t

2

,

d

ζ =

−

4

c

t

d

t

(1

− t

2

)

2

carries the integral to a rational form

−

8

cg

λ +

1

c

1 + t

2

1

− t

2

−3

d

t

1

− t

2

.

For f

↓ 0 we have ζ → −∞ and t → 1. The upper extremum can be deduced

from t = ((cζ + 1)/(cζ

− 1))

1/2

with ζ expressed through f (x). We then obtain

an implicit expression for f (x), where the constant c must be determined through

the condition f (a/2) = 0, i.e. c

2

λ

− 2/gf(a/2)

2

= 1. As usual the multiplier

λ is found by imposing the length constraint.

Problem 4

Prove that if for a functional

ϕ(q) =

t

1

t

0

F (q(t), ˙

q(t), t)

d

t, with q

∈ C

2

([t

0

, t

1

], R), q(t

0

) = q

0

, q(t

1

) = q

1

,

the Euler equation (9.12) becomes an identity, then ϕ does not depend on the

integration path q but only on (t

0

, q

0

) and (t

1

, q

1

).

Solution

Writing explicitly equation (9.12) we find

∂

2

F

∂ ˙

q

2

¨

q +

∂

2

F

∂q∂ ˙

q

˙

q +

∂

2

F

∂ ˙

q∂t

−

∂F

∂q

= 0.

If this equation is an identity, i.e. it is satisfied by any q, necessarily the coefficient

of ¨

q must be identically zero, because there is no other way to eliminate ¨

q. Hence

F must be of the form F = a(t, q) ˙

q + b(t, q). Substituting in the equation, we find

∂a/∂t = ∂b/∂q, and hence the 1-form F

d

t is exact: F

d

t = a(t, q)

d

q + b(t, q)

d

t =

d

f (t, q). From this it follows that

t

1

t

0

F (q, ˙

q, t)

d

t = f (t

1

, q

1

)

− f(t

0

, q

0

).

9.9

Analytical mechanics: variational principles

329

Problem 5

Consider the variational problem for the functional (9.9) in the function class

(9.8). Find the necessary and sufficient condition for its solutions to also be

solutions of the variational problem for the problem

ψ(q) =

t

1

t

0

G[F (q, ˙q, t)]

d

t

with G(F )

∈ C

2

, G =

/ 0.

Solution

Setting

F(q, ˙q, t) = G[F (q, ˙q, t)], we immediately find

d

d

t

∇

˙

q

F − ∇

q

F = ∇

˙

q

F

d

2

G

d

F

2

d

F

d

t

.

Hence the required condition is that the function F (q, ˙q, t) is a first integral of

the Euler equation for the functional (9.9).

This page intentionally left blank 

10 ANALYTICAL MECHANICS: CANONICAL

FORMALISM

10.1

Symplectic structure of the Hamiltonian phase space

Consider the real 2l

× 2l matrix

I =

0

−1

1

0

(10.1)

(with 1 and 0 we henceforth denote the identity and the null matrix, with

the obvious dimensions, e.g. l

× l in (10.1)). Note that I is orthogonal and

skew-symmetric, i.e.

I

−1

=

I

T

=

−I

(10.2)

and that

I

2

=

−1. As observed in Chapter 8, setting x = (p, q), the Hamilton

equations can be written in the form

˙x =

I∇

x

H(x, t).

(10.3)

Example 10.1

Let S be a real symmetric constant 2l

× 2l matrix. A linear Hamiltonian system

with constant coefficients is a system of 2l ordinary differential equations of the

form (10.3), where

H(x) =

1

2

x

T

Sx.

(10.4)

The Hamiltonian is then a quadratic form in x and (10.3) takes the form

˙x =

J Sx.

The solution of this system of differential equations with the initial condition

x(0) = X is given by

x(t) = e

tB

X,

(10.5)

where we set

B =

J S.

The matrices with this structure deserve special attention.

332

Analytical mechanics: canonical formalism

10.1

D

efinition 10.1 A real 2l×2l matrix B is called Hamiltonian (or infinitesimally

symplectic) if

B

T

I + IB = 0.

(10.6)

T

heorem 10.1 The following conditions are equivalent:

(1) the matrix B is Hamiltonian;

(2) B =

IS, with S a symmetric matrix;

(3)

IB is a symmetric matrix.

In addition, if B and C are two Hamiltonian matrices, B

T

, βB (with β

∈ R),

B

± C and [B, C] = BC − CB are Hamiltonian matrices.

Proof

From the definition of a Hamiltonian matrix it follows that

IB = −B

T

I = (IB)

T

,

and hence (1) and (3) are equivalent. The equivalence of (2) and (3) is immediate,

as S =

−IB.

The first three statements of the second part of the theorem are obvious (for

the first, note that B

T

=

−SI = IS , with S = ISI symmetric). Setting B = IS

and C =

IR (with S and R symmetric matrices) we have

[B, C] =

I(SIR − RIS)

and

(S

IR − RIS)

T

=

−RIS + SIR.

It follows that the matrix [B, C] is Hamiltonian.

Remark 10.1

Writing B as a 2l

× 2l block matrix

B =

a

b

c

d

,

where a, b, c, d are l

× l matrices, (10.6) becomes

B

T

I + IB = −

c + c

T

−a

T

− d

a + d

T

b

− b

T

,

and hence B is Hamiltonian if and only if b and c are symmetric matrices and

a

T

+ d = 0. If l = 1, B is Hamiltonian if and only if it has null trace.

Remark 10.2

From Theorem 10.1 it follows that the Hamiltonian matrices form a group (with

10.1

Analytical mechanics: canonical formalism

333

respect to matrix sum) called sp(l, R). If we identify the vector space of real 2l

×2l

matrices with R

4l

2

, the Hamiltonian matrices form a linear subspace, of dimension

l(2l + 1) (indeed, from what was previously discussed we may choose l(l + 1)/2

elements of the matrices b and c and, for example, l

2

elements of the matrix a).

In addition, since the Lie product (or commutator ) [ , ] preserves the group of

Hamiltonian matrices, sp(l, R) has a Lie algebra structure (see Arnol’d 1978a).

D

efinition 10.2 A real 2l × 2l matrix A is called symplectic if

A

T

IA = I.

(10.7)

T

heorem 10.2 Symplectic 2l × 2l matrices form a group under matrix mul-

tiplication, denoted by Sp(l, R). The transpose of a symplectic matrix is

symplectic.

Proof

Evidently the 2l

× 2l identity matrix is symplectic, and if A satisfies (10.7) then

it is necessarily non-singular, since from (10.7) it follows that

(det(A))

2

= 1.

(10.8)

In addition, it can be easily seen that

A

−1

=

−IA

T

I,

(10.9)

so that

(A

−1

)

T

IA

−1

= (A

T

)

−1

I(−IA

T

I) = (A

T

)

−1

A

T

I = I,

i.e. A

−1

is symplectic. If C is another symplectic matrix, we immediately

have that

(AC)

T

IAC = C

T

A

T

IAC = C

T

IC = I.

In addition, A

T

=

−IA

−1

I, from which it follows that

A

IA

T

= AA

−1

I = I.

Example 10.2

The group of symplectic 2

× 2 matrices with real coefficients, Sp(1, R), coincides

with the group SL(2, R) of matrices with determinant 1. Indeed, if

A =

α

β

γ

δ

,

the symplecticity condition becomes

A

T

IA =

0

−αδ + βγ

−βγ + αδ

0

=

I.

334

Analytical mechanics: canonical formalism

10.1

Hence A is symplectic if and only if det(A) = αδ

− βγ = 1. It follows that

every symplectic 2

× 2 matrix defines a linear transformation preserving area and

orientation. The orthogonal unit matrices (with determinant equal to 1) are a

subgroup of SL(2, R), and hence also of Sp(1, R).

Remark 10.3

Let A be a symplectic 2l

× 2l matrix. We write it as an l × l block matrix:

A =

a

b

c

d

.

(10.10)

The condition that the matrix is symplectic then becomes

A

T

IA = −

a

T

c + c

T

a

−a

T

d + c

T

b

−b

T

c + d

T

a

−b

T

d + d

T

b

=

0

−1

1

0

,

(10.11)

and hence A is symplectic only if a

T

c and b

T

d are l

× l symmetric matrices

and a

T

d

− c

T

b = 1. The symplecticity condition is therefore more restrictive in

dimension l > 1 than in dimension l = 1, when it becomes simply det(A) = 1. It

is not difficult to prove (see Problem 1) that symplectic matrices have determinant

equal to 1 for every l (we have already seen that det(A) =

±1, see (10.8)).

Remark 10.4

Symplectic matrices have a particularly simple inverse: from (10.9) and (10.10)

it follows immediately that

A

−1

=

d

T

−b

T

−c

T

a

T

.

(10.12)

Remark 10.5

If we identify the vector space of the 2l

×2l matrices with R

4l

2

, the group Sp(l, R)

defines a regular submanifold of R

4l

2

of dimension l(2l + 1) (this can be verified

immediately in view of the conditions expressed in Remark 10.3; indeed, starting

from the dimension of the ambient space, 4l

2

, we subtract 2(l(l

− 1))/2, since

the matrices a

T

c and b

T

d must be symmetric, and l

2

since a

T

d

− c

T

b = 1.)

P

roposition 10.1 The tangent space to Sp(l, R) at 1 is the space of Hamiltonian

matrices:

T

1

Sp(l, R) = sp(l, R).

(10.13)

10.1

Analytical mechanics: canonical formalism

335

Proof

Let A(t) be a curve in Sp(l, R) passing through 1 when t = 0, and hence such

that

A(t)

T

IA(t) = I

(10.14)

for every t and A(0) = 1.

By differentiating (10.14) with respect to t we find

˙

A

T

IA + A

T

I ˙

A = 0,

from which, setting B = ˙

A(0)

∈ T

1

Sp(l, R)

B

T

I + IB = 0,

and hence B

∈ sp(l, R).

Conversely, to every Hamiltonian matrix there corresponds a curve in Sp(l, R),

as shown in the following.

P

roposition 10.2 Let B be a Hamiltonian matrix. The matrix A(t) = e

tB

is

symplectic for every t

∈ R.

Proof

We must show that A(t) satisfies (10.7) for every t, i.e.

(e

tB

)

T

Ie

tB

=

I.

It follows immediately from the definition

e

tB

=

∞

n

=0

t

n

n!

B

n

that (e

tB

)

T

= e

tB

T

, and (e

tB

)

−1

= e

−tB

.

Hence the condition for the matrix to be symplectic becomes

e

tB

T

I = Ie

−tB

.

But

e

tB

T

I =

∞

n

=0

t

n

n!

B

T n−1

B

T

I =

∞

n

=0

t

n

n!

B

T n−1

(

−IB).

Iterating, we find

e

tB

T

I = I

∞

n

=0

t

n

n!

(

−1)

n

B

n

=

Ie

−tB

.

D

efinition 10.3 The symplectic product on a real vector space V of dimension

2l is a skew-symmetric, non-degenerate bilinear form ω : V

× V → R. The

336

Analytical mechanics: canonical formalism

10.1

space V endowed with a symplectic product has a symplectic structure and V is

a symplectic space.

We recall that a bilinear skew-symmetric form is non-degenerate if and only

if ω(v

1

, v

2

) = 0 for every v

2

∈ V implies v

1

= 0. We note also that only

vector spaces of even dimension admit a symplectic structure. Indeed, all bilinear

skew-symmetric forms are necessarily degenerate in a space of odd dimension.

Consider the canonical basis e

1

, . . . , e

2l

in R

2l

. The symplectic product ω has

a matrix representation W obtained by setting

W

ij

= ω(e

i

, e

j

).

Evidently the representative matrix W is skew-symmetric and the non-degeneracy

condition is equivalent to det(W ) =

/ 0. Moreover, for every x, y

∈ R

2l

We have

ω(x, y) =

2l

i,j

=1

W

ij

x

i

y

j

= x

T

W y.

(10.15)

By choosing the matrix W =

I we obtain the so-called standard symplectic product

(henceforth simply referred to as symplectic product unless there is a possibility

of confusion) and correspondingly the standard symplectic structure.

Remark 10.6

The standard symplectic product has an interesting geometric characterisation.

Given two vectors x, y we have

x

T

Iy = −x

1

y

l

+1

− . . . − x

l

y

2l

+ x

l

+1

y

1

+ . . . + x

2l

y

l

= (x

l

+1

y

1

− x

1

y

l

+1

) + . . . + (x

2l

y

l

− x

l

y

2l

),

corresponding to the sum of the (oriented) areas of the projection of the par-

allelogram with sides x, y on the l planes (x

1

, x

l

+1

), . . . , (x

l

, x

2l

). Hence, if p

is the vector constructed with the first l components of x, and q is the one

constructed with the remaining components, we have x = (p, q), and analogously

if y = (p , q ), we have

ω(x, y) = x

T

Iy = (q

1

p

1

− p

1

q

1

) + . . . + (q

l

p

l

− p

l

q

l

).

(10.16)

Note that in R

2

the symplectic product of two vectors coincides with the unique

non-zero scalar component of their vector product.

D

efinition 10.4 Suppose we are given a symplectic product in R

2l

. A symplectic

basis is a basis of R

2l

with respect to which the symplectic product takes the

standard form (10.16), and hence it has as representative matrix the matrix

I.

Given

a

symplectic

product

ω,

a

symplectic

basis

e

1

, . . . , e

2l

=

e

p

1

, . . . , e

p

l

, e

q

1

, . . . , e

q

l

satisfies

ω(e

q

i

, e

q

j

) = ω(e

p

i

, e

p

j

) = 0,

(10.17)

10.1

Analytical mechanics: canonical formalism

337

for every i, j = 1, . . . , l and

ω(e

q

i

, e

p

j

) = δ

ij

.

(10.18)

Remark 10.7

It follows that the choice of standard symplectic structure for R

2l

coincides

with the choice of the canonical basis of R

2l

as symplectic basis.

Using a technique similar to the Gram–Schmidt orthonormalisation for the

basis in an inner product space, it is not difficult to prove the following theorem.

T

heorem 10.3 In any space endowed with a symplectic product it is possible to

construct a symplectic basis.

As for inner product spaces, it is possible to choose as the first vector of the

basis any non-zero vector.

Pursuing the analogy between an inner and a symplectic product, we can

define a class of transformations that preserve the symplectic product, taking as

a model the orthogonal transformations, which preserve the inner product.

D

efinition 10.5 Given two symplectic spaces V

1

, ω

1

and V

2

, ω

2

, a linear map

S : V

1

→ V

2

is symplectic if ω

2

(S(v), S(w)) = ω

1

(v, w) for every v, w

∈ V

1

. If

moreover S is an isomorphism, we say that S is a symplectic isomorphism.

Remark 10.8

From Theorem 10.3 it follows, as an obvious corollary, that all symplectic spaces

of the same dimension are symplectically isomorphic. A ‘canonical’ isomorphism

can be obtained by choosing a symplectic basis in each space, and setting a

correspondence between the basis elements with the same index. In particular,

all symplectic spaces of dimension 2l are symplectically isomorphic to R

2l

with

its standard structure.

T

heorem 10.4 Let R

2l

be considered with its standard structure. A linear map

S : R

2l

→ R

2l

is symplectic if and only if its representative matrix is symplectic.

Proof

This is a simple check: given x, y

∈ R

2l

we have

ω(Sx, Sy) = (Sx)

T

ISy = x

T

S

T

ISy,

which is equal to

ω(x, y) = x

T

Iy

for every x, y if and only if

S

T

IS = I.

We conclude this section with the definition and characterisation of Hamiltonian

vector fields (or symplectic gradient vector fields). These are useful in view of

the fact that the Hamilton equations can be written in the form (10.3).

338

Analytical mechanics: canonical formalism

10.1

D

efinition 10.6 A vector field X(x, t) in R

2l

is Hamiltonian if there exists a

function f (x, t) in

C

2

such that

X(x, t) =

I∇

x

f (x, t).

(10.19)

In this case f is called the Hamiltonian corresponding to the field X and the

field X is called the symplectic gradient of f . If X is Hamiltonian, the system of

differential equations

˙x = X(x, t)

(10.20)

is called Hamiltonian.

The system of Example 10.1 is Hamiltonian.

Remark 10.9

A Hamiltonian vector field determines the corresponding Hamiltonian f up to

an arbitrary function h(t) depending only on time t. This arbitrariness can

be removed by requiring that the Hamiltonian associated with the field X = 0

be zero.

Remark 10.10

In R

2

the vector w =

Iv can be obtained by rotating v by π/2 in the positive

direction. It is easy to check that, in R

2l

,

Iv is normal to v. It follows that

in a Hamiltonian field, for every fixed t, the Hamiltonian is constant along the

lines of the field (Fig. 10.1). If the field is independent of time the Hamilto-

nian is constant along its integral curves, i.e. along the Hamiltonian flow (recall

equation (8.26)).

It is essential to characterise Hamiltonian vector fields. This is our next aim.

T

heorem 10.5 A necessary and sufficient condition for a vector field X(x, t) in

R

2l

to be Hamiltonian is that the Jacobian matrix

∇

x

X(x, t) is Hamiltonian for

every (x, t).

Proof

The condition is necessary. Indeed, if f is the Hamiltonian corresponding to X

we have that

∂X

i

∂x

j

=

l

k

=1

I

ik

∂

2

f

∂x

k

∂x

j

,

and hence the matrix

∇

x

X can be written as the product of the matrix

I and

the Hessian matrix of f , which is evidently symmetric.

The condition is also sufficient: if

∇

x

X(x, t) is Hamiltonian for every (x, t),

setting Y(x, t) =

IX(x, t), by (3) of Theorem 10.1, we have that

∂Y

i

∂x

j

=

∂Y

j

∂x

i

.

10.1

Analytical mechanics: canonical formalism

339

I

=