Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

Ikki chiziq orasidagi burchak. Urinmalar yordamida ikki egri chiziqorasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi.

Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.

Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f₁(x) va y=f₂(x) chiziqlar M₀(x₀;y₀) nuqtada kesishsin, hamda y=f₁(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan α burchak, y=f₂(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma esa β burchak tashkil qilsin. (3-rasm)
Agar γ urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda γ=β-α bo‘ladi. Bundan
esa

tgγ=tg(β-α)= ^tgβ−tgα

1+tgβ⋅tgα

tenglikka ega bo‘lamiz.

9-rasm
Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tgα=f₁’(x₀) va tgβ=f₂’(x₀), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun

tgγ=	f2' ( x0 ) − f1' ( x0 )									(3.4)
	1 −f	2	' ( x	0	) ⋅ f ' ( x	0	)
					1

formula o‘rinli bo‘ladi.
3-misol. y=x² parabola va y=¹ giperbolalar orasidagi burchakni toping. x

		2
Buning uchun ushbu ^y^=^x			,	sistemani yechamiz. Bundan x^2=	1	, x^3=1, x=1
y =	1				x
	x

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x²)’=2x

bo‘lgani uchun f1’(1)=2, shuningdek,

1

^'

= −

1

bo‘lgani

uchun f2’(1)=-1

х

х^2

bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra tgγ=

−1− 2

= 3bo‘lib, bundan burchak

1+ 2⋅(−1)

kattaligi uchun γ=arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.

(9 -rasm).

Hosila hisoblash qoidalari

Biz oldingi paragraflarda hosila tushunchasini turli fizik masalalarni yechishda, urinma tenglamasini yozishda foydalandik. Hosilaning boshqa tatbiqlarini kelgusida o‘rganamiz. Bu degani har xil masalalarda uchrashishi mumkin bo‘lgan turli xil funksiyalarning hosilalarini hisoblashni bilish zarurligini anglatadi. Ushbu paragrafda u(x) va v(x) funksiyalarning hosilalarini bilgan holda ularning yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasining hosilalarini topishni o‘rganamiz.

Quyida keltirilgan teoremalar isbotida hosila topish algoritmidan, limitga ega bo‘lgan funksiyalar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalardan foydalanamiz. Shuningdek ∆u=u(x+∆x)-u(x) va ∆v=v(x+∆x)-v(x) ekanligini hisobga olgan holda, u(x+∆x)=u(x)+∆u, v(x+∆x)=v(x)+∆v tengliklardan foydalanamiz.
u(x) va v(x) funksiyalar (a,b) intervalda aniqlangan bo‘lsin.
1. Yig‘indining hosilasi.
1-teorema. Agaru(x)vav(x)funksiyalarningx∈(a,b)nuqtada hosilalarimavjud bo‘lsa, u holda f(x)=u(x)+v(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va

f’(x)=u’(x)+v’(x)

(4.1)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. 1^0.f(x)=u(x)+v(x).

2^0. f(x+∆x)= u(x+∆x)+ v(x+∆x)= u(x)+∆u+ v(x)+∆v.

3^0. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆u+∆v.

4^0.

∆y

=

∆u + ∆v

=

∆u

+

∆v

.

∆x

∆x

∆x

∆x

5^0. lim

∆y

= lim

∆u + ∆v

= lim

∆u

+ lim

∆v

= u' ( x ) + v' ( x ).

∆x

∆x

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x→0

Shunday qilib, (4.1) tenglik o‘rinli ekan. Isbot tugadi.
Misol. (x²+1/x)’=(x²)’+(1/x)’=2x-1/x².

Matematik induksiya metodidan foydalanib, quyidagi natijani isbotlash mumkin:

Natija. Agaru1(x), u2(x), ... ,un(x)funksiyalarningxnuqtada hosilalarimavjud bo‘lsa, u holda f(x)= u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x) funksiyaning ham x nuqtada hosilasi mavjud va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)=( u₁(x)+ u₂(x+ ...+u_n(x))’= u’₁(x)+ u’₂(x+ ...+u’_n(x) .
2. Ko‘paytmaning hosilasi.
2-teorema. Agaru(x)vav(x)funksiyalarx∈(a,b)nuqtada hosilaga egabo‘lsa, u holda ularning f(x)=u(x)⋅v(x) ko‘paytmasi ham x∈(a,b) nuqtada hosilaga ega va

f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)

(4.2)

tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Isboti. 1^0. f(x)=u(x)⋅v(x).

2^0. f(x+∆x)=u(x+∆x)⋅v(x+∆x)=(u(x)+∆u)⋅(v(x)+∆v)=

=u(x)v(x)+∆uv(x)+∆vu(x)+ ∆u∆v.

3 ^0. ∆y= f(x+∆x)- f(x)= ∆uv(x)+∆vu(x)+∆u∆v.

∆u

4^0.

∆y

=

∆uv( x ) + ∆vu( x ) + ∆u∆x

=

∆u

v( x ) +

∆v

u( x ) +

∆v.

∆x

∆x

∆x

∆x

∆x

5^0. lim

∆y

=( lim

∆u

)⋅ v( x ) + ( lim

∆v

)⋅ u( x ) + lim

∆u

⋅ lim ∆v =

∆x

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x

∆x→0

∆x→0

=u’(x)⋅v(x)+u(x)⋅v’(x)++u’(x)⋅lim∆v.
∆x→0

Bunda v(x) funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olsak lim∆v=0 va natijada

∆x→0
(4.2) formulaga ega bo‘lamiz.
1-natija. Quyidagi(Cu(x))’=C⋅u’(x)formula o‘rinli.
Isboti. Ikkinchi teoremaga ko‘ra(Cu(x))’=C’⋅u(x)+C⋅u’(x). AmmoC’=0,demak (Cu(x))’=C⋅u’(x).
Misollar. 1. (6x²)’=6(x²)’=6⋅2x=12x.

2. 
   (x⁴)’=((x²)(x²))’=(x²)’(x²)+(x²)(x²)’=2x(x²)+(x²)⋅2x=4x³.
   
3. 
   (0,25x4-3x2)’=(0,25x⁴)’+(3x²)’=0,25⋅4x³+3⋅2x= x³+6x.
   

2-natija. Agaru₁(x), u₂(x), ... ,u_n(x)funksiyalarxnuqtada hosilaga egabo‘lsa, u holda ularning ko‘paytmasi f(x)= u₁(x)⋅u₂(x)⋅...⋅u_n(x) ham x nuqtada hosilaga ega va quyidagi formula o‘rinli bo‘ladi:

f’(x)= (u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x))’= u’₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+ u₁(x)⋅ u’₂(x)⋅ ...⋅u_n(x)+...+

u₁(x)⋅ u₂(x)⋅ ...⋅u’_n(x).