Andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti matematika yo

5. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari.

Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalanib, y=arssinx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasini topaylik.

Bu

funksiyaga

teskari bo‘lgan

x=siny funksiya

−

π

;

π

da

monoton

2

2

o‘suvchi

va

−

π

;

π

intervalda hosilaga

ega, hamda

bu

intervalning har bir

2

2

1

1

nuqtasida hosila noldan farqli: x'y=cos y≠ 0 . Shuning uchun

y'x=

=

.

x'y

cos y

Endi −

π

π

intervalda cosy>0

;

va

bunda cosy=

1 −sin^2

x

formula

o‘rinli

2

2

1

1

bo‘lganligi uchun

y’x=

=

bo‘ladi.

1 −sin^2y

1 −x^2

Demak,

1

(arcsin x )' =

, (-1<x<1)

1 −x^2

formula o‘rinli.

Endi y=arccosx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasi uchun formula keltirib chiqaramiz. Bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=cosy funksiya [0,π] da monoton
kamayuvchi, (0;π) da hosilaga ega bo‘lib, bu intervalning har bir nuqtasida noldan farqli x’_y=-siny hosilaga ega. Demak, teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teorema shartlari o‘rinli. Shu sababli (5.4) ga ko‘ra

y'x=

1

= −

1

= −

1

= −

1

ham o‘rinli bo‘ladi. (Bu erda (0;π)

x'y

sin y

1 −cos^2y

1 −x^2

da siny=

1 −cos^2y

ekanligidan foydalandik).

Shunday qilib, (arccosx)’= −

1

(-1<x<1) formula o‘rinli ekan.

1 −x^2

Ma’lumki, y=arctgx funksiyaning qiymatlar to‘plami −

π

;

π

intervaldan

2

x=tgy

2

iborat. Shu

intervalda unga

teskari

bo‘lgan

funksiya

mavjud

va bu

funksiyaning

hosilasi

x'y=

1

noldan

farqli. Teskari funksiyaning

hosilasi

cos^2 y

haqidagi teoremadan foydalansak,

y'x=

1

=

1

= cos y =

1

=

1

( tgy )'

1 +tg^2y

1 +x^2

x'y

bo‘ladi.

Demak, quyidagi formula o‘rinli:

(arctgx)’= ¹ 2^.

1 +x

Xuddi yuqoridagi kabi y=arcstgx funksiya uchun

(arcstgx)’=- ¹ 2

1 +x

formulaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Teskari trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidanquyidagi formulalar kelib chiqadi:

(arcsinu(x))’=

u' ( x )

; (arccosu(x))’=-

u' ( x )

;

1 −u^2( x )

1 −u^2( x )

(arctgu(x))’=

u' ( x )

;

(arcstgu(x))’=-

u' ( x )

;

1 +u^2( x )

1 +u^2( x )