Andijon mashinasozlik I

Andijon mashinasozlik instituti
Iqtisodiyot fakulteti
Buxgalteriya hisobi va Audit yo’nalishi
K 17-22 gurux talabasi
Samiyev Isroiljonning iqtisodchilar
uchun matematika fanidan
mustaqil ishi
Chiziqli operatorlar
Chiziqli algebra va funksional analiz fanlarining asosiy tushunchalaridan
biri bu chiziqli operator tushunchasidir. Shu sababli ham chiziqli
operatorlarlarni, ular aniqlangan chiziqli fazo va evklid fazolarini hamda
bufazolarda berilgan operatorlarlarni muhim xossalari va tatbiqlarini o`rganish juda muhim.
Masalan, algebra fanidagi chiziqli almashtirishni, matematik
fizika tenglamalari fanida differensiallashni operator sifatida qarash mumkin
shuning uchun ham operator xossalarini o`rganish matematika fani nuqtayi
nazaridan juda dolzarb masaladir.
Ta’rif. Agar L₁ chiziqli fazoning har bir elementi L₁ uchun
biron qoida , qonunga asosan L₂ chiziqli fazoning aniq elementi mos
qo’yilgan bo’lsa , L₁ ni L₂ ga akslantiruvchi operatorlar berilgan deyiladi.
Bu operatorni A deb belgilab, akslantirishni A : L₁ L₂ shaklda ifoda
etiladi, bu akslantirishda x ning y ga mos kelishi Ax=y kabi yoziladi.
Ta’rif . Agar istalgan x L₁ , y L₂ va son uchun
A(x+y)=Ax=Ay
A( x)+ Ax
Tenglik o’rinli bo’lsa, u holda A:L₁ L₂ operatorlar chiziqli operator chiziqli
Operator deyiladi.
A:L₁ L₂ va B:L₂ L₃ chiziqli operatorlar bo’lsa, A va B operatorlar-
ning ko’paytmasi ( yoki kompozitsiyasi ) deb ushbu ( AB )( x )=A( Bx) ko’-
rinishida aniqlangan operatorga aytiladi. Bu yerda, AB : L₁ L₃ va C = AB
chiziqli operatordir.
Agar A : L L va B : L L chiziqli operatorlar bo’lsa, bunday
operatorlar uchun A + B, A va A B chiziqli operatorlarni aniqlashimiz
mumkin bo’ladi. L chiziqli fazoning o’zini – o’ziga akslantiruvchi barcha
chiziqli operatorlar to’plami ( L ) deb belgilaymiz, operatorlarni qo’shish
va songa ko’paytirishga nisbatan ( L ) to’plam chiziqli fazoni tashkil etadi.
Ta’rif. Agar A ( L ) operatorlar uchun shunday 𝝺 son mavjud bo’lib,
Ax = 𝝺x, x 0
tenglik o’rinli bo’lsa, u holda x vector A operatorning xos vektori
deyiladi.
A : Rⁿ R^m chiziqli operator bo’lsin. Biz A operatorining ko’rinishini
hosil qilamiz. Buning uchun Rⁿ da l₁ , l₂ , … l_n va R^m da esa l₁^* , l₂^* , … l_m^*
bazilarini olaylik . x = Rⁿ , Ax = y R^m , Al₁ R^m uchun ushbu tengliklarni yoza
olamiz:
x = x₁ l₁ + x₂ l₂ + … + x_n l_n
Ax = y = y₁ l₁^* + y₂ l₂^* + … + y_m l_m^*
Al₁ = a_1j l₁^* + a_2j l₂^* + … + a_mj l_m^* , j = 1, 2,…, n
Bu yerda quyidagilarni hosil qilamiz:
Ax _j Al_j = _ijl_i^* = ( _ijx_j)l₁^*‑
Ax= y = _il_i^*
Demak, y_i = _ijx_{j ,} I = 1, 2, …, m tengliklar hosil bo’ladi. Agar biz ushbu mat-
ritsalarni kiritsak,
X = , Y = , A =

u holda yuqoridagi tengliklani quyidagicha yozishimiz mumkin:

AX = Y
Bu yerda, A matritsa qaralayotgan A operatorning berilgan bazilaridagi matrit-
sa deyiladi. A ( Rⁿ ) bo’lsa, u holda bu operatorga mos keladigon matritsa
kvadratik matritsa bo’ladi.

A =

x = ( x₁ , x₂ , … , x_n ) Rⁿ vector A chiziqli operatorning xos soniga mos keluvchi xos vector, ya’ni Ax = x bo’lsin.
Agar x = . vector matritsa bo’lsa, u holda ushbu tenglik

hosil bo’ladi AX = X.

Bu yerdan E birlik matritsa uchun, quyidagi ( A - ) x = o tenglikni yoza
olamiz. Bu bir jinsli tenglamalar sistemasi har doim x = 0 yechimga ega. U noldan
farqli yechimga ega bolishi uchun, ya’ni xos vektorning mavjud bolishi uchun
| A - E | bolishi, ya’ni

= = 0

ekanligi zarur va yetarlidir. Bu determinant ga nisbatan n-tartibli ko‘phaddan

iborat boiadi, uni A operatorning yoki A matritsaning xarakteristik ko'phadi, (l)
tenglama A operatorning (matritsaning) xarakteristik tenglamasi deyiladi. Shuni
ta’kidlash lozimki, xarakteristik ko‘phad qaralayotgan bazisga bogliq bolmaydi.
A operator n ta chiziqli-erkli l₁, l₂, … l_n xos vektorlarga ega bolib, ₁, ₂, … _n
xos sonlari bolsin, u holda A operatorning l₁, l₂, … l_n barisga mos keluvchi A
matritsasi quyidagi ko‘rinishda boladi:
A =
Aksincha, biron-bir bazida A operator matritsasi diagonal ko‘rinishga ega bolsa, u
holda bu bazi vektorlari A operatorning xos vektorlari bolib, matritsa
diagonallaridaga sonlar uning xos sonlaridan iborat boladi. Agar A operator n ta
turli xos sonlarga ega bolsa, u holda ularga mos keluvchi xos vektorlar chiziqli-
egri bolib, shu vektorlar hosil qilgan pazisada A operator matritsasi diagonal
ko‘rinishga ega boladi.