Аниқ интеграл 8-мавзу. Аниқ интеграл ва унинг асосий хоссалари

3. Хосмас интеграллар
Аниқ интегралнинг таърифида интеграллаш чегаралари чекли ва интеграл остидаги функция оралиқда чегараланган деб олинган эди. Бу шартлардан ҳеч бўлмаганда бирортаси бажарилмаса, интегралнинг юқоридаги таърифи маъносини йўқотади.
Бироқ назарий ва амалий мулоҳазаларга мувофиқ аниқ интегралнинг таърифи бу чекланишлар бажарилмайдиган ҳоллар учун ҳам умумлаштирилиши мумкин.
Бундай интеграллар бизга таниш бўлган аниқ интегралларга хос бўлмаган қисқача хосмас интеграллар деб айтилади.
Хосмас интегралларнинг икки асосий турини қараймиз:
1). Узлуксиз функцияларнинг чексиз оралиқ бўйича интеграллари. функция оралиқда берилган ва унинг исталган қисми да интегралланувчи, яъни исталган да аниқ интеграл мавжуд бўлсин. Бу ҳолда

лимитга функциянинг оралиқдаги хосмас интеграли дейилади ва қуйидагича белгиланади:
. (1 )
лимит чекли бўлса, хосмас интеграл яқинлашувчи дейилади. Лимит мавжуд бўлмаса, хосмас интеграл узоқлашувчи дейилади.
функциядан оралиқ бўйича олинган хосмас интеграл ҳам худди юқоридагига ўхшаш аниқланади:
. (2)
функциядан оралиқ бўйича олинган хосмас интеграл қўйидагича аниқланади.:
(3)
бу ерда исталган сон. (3) интегралларда ўнг томондаги иккала интеграл ҳам яқинлашса чап томондаги интеграл ҳам яқинлашувчи дейилади. Ўнг томондаги интеграллардан ақалли биттаси узоқлашса, чап томондаги интеграл ҳам узоқлашувчи бўлади.
Хосмас итегралларни ҳисоблаш учун Ньютон-Лейбниц формуласидан фойдаланилади. функция оралиқда учун бошланғич функция бўлса,

бўлиб, бу ерда: интегралнинг яқинлашишини ёки
узоқлашишини аниқлайди.
1-мисол. интегралнинг яқинлашишини текширинг.
Ечиш:
Демак, интеграл яқинлашувчи ва га тенг.
2-мисол. бўлиб, бу интеграл узоқлашувчи.