Аник ва табиий фанлар кафедраси Олий Математика фанидан 1-курс еутт, айа

Аник ва табиий фанлар кафедраси « Олий Математика ” фанидан 1-курс ЕУТТ, АЙА, 

ЭЭтаълим йўналиши талабалари учун 2-семестр 1-оралиқ назорат саволлари 

17-вариант 

1.  Экстремумнинг зарурий ва етарлилик шартлари. Функциянинг кесмадаги энг кичик 

ва энг катта кийматлари. 

2. 

 хисобланг. 

3. 

 funksiyaning 

 2;2 kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatini 

toping. 

 

Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlari 

 

𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiya biror [𝑎; 𝑏] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. Unda, Veyershtrass 

teoremasiga  asosan,  funksiya  bu  kesmadagi  qandaydir  𝑥   va  𝑥   nuqtalarda  o’zining  eng  katta 

𝑓(𝑥 ) = 𝑀 va eng kichik 𝑓(𝑥 ) = 𝑚 qiymatlarini qabul qiladi. 

Veyershtrass  teoremasida  kesmada  uzluksiz  funksiyalar  uchun  eng  katta  va  eng  kichik 

qiymatlar  mavjudligi  tasdiqlanadi,  ammo  ularni  qanday  topish  masalasi  qaralmaydi.  Agar  𝑦 =

𝑓(𝑥) funksiya [𝑎; 𝑏] kesma ichida differnsiallanuvchi bo’lsa, bu masala quyidagi algoritm (ketma-

ketlik) asosida amalga oshiriladi. 

1. Berilgan funksiyaning 𝑓 (𝑥) hosilasi topiladi. 

2.  𝑓 (𝑥) = 0  tenglamani  yechib  𝑥 ,  𝑥 ,  …,  𝑥   kritik  nuqtalar  topiladi  va  ulardan  [𝑎; 𝑏] 

kesmaga tegishli bo’lganlari ajratiladi. 

3.  Berilgan  funksiyaning  [𝑎; 𝑏]  kesmaga  tegishli  kritik  nuqtalardagi  va  kesmaning 

chetlaridagi 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏) qiymatlari topiladi. 

4. Yuqorida hisoblangan funksiya qiymatlari orasidan eng katta va eng kichigi ajratiladi. 

Ular biz izlayotgan 𝑚 va 𝑀 qiymatlar bo’ladi. 

Agar  𝑦 = 𝑓(𝑥)  funksiya  [𝑎; 𝑏]  kesmada monoton  o’suvchi  bo’lsa,  u  holda  𝑓(𝑎) = 𝑚  va 

𝑓(𝑏) = 𝑀 bo’ladi. 

Agar 𝑦 = 𝑓(𝑥) funksiya [𝑎; 𝑏] kesmada monoton kamayuvchi bo’lsa, u holda 𝑓(𝑎) = 𝑀 va 

𝑓(𝑏) = 𝑚 bo’ladi. 

Agar 𝑓(𝑥) funksiya biror (chekli yoki cheksiz) oraliqda uzluksiz va bitta ekstremumga ega 

bo’lib u maksimum (minimum) bo’lsa, u holda u funksiyaning berilgan oraliqdagi eng katta (eng 

kichik) qiymati bo’ladi. 

Juda  ko’plab  geometrik,  fizik  va  texnik  masalalarni  yechish  qandaydir  funksiyaning  eng 

katta va eng kichik qiymatlarini topishga olib keladi. Amaliyotda bunday masalalarni ko’pligi va 

ularning muhimligi matematik analizning rivojlanishi uchun muhim turtki bo’lgan. 

Bunday masalalarni yechishda ko’pincha masala shartiga asosan erkli o’zgaruvchini tanlash 

va  tekshirilishi  kerak  bo’lgan  miqdorni  u  orqali  ifodalash  (funksiyani  tuzish)  keyin  esa  hosil 

qilingan  funksiyaning  eng  katta  va  eng  kichik  qiymatini  topish  kerak  bo’ladi.  Bunda  erkli 

o’zgaruvchining o’zgarish oralig’i (chekli yoki cheksiz) ham masala shartidan aniqlanadi. 

Ba’zi bir masalalarda tekshirilishi kerak bo’lgan funksiya tayyor holda berilishi ham 

mumkin.