Aniq integral. Biz tekislikda berilgan yassi shakllar yuzalari haqida ma’lumotlarga egamiz. Masalan, uchburchak, doira, kvadrat, trapetsiya va bo’shqa shakllarning yuzasini topishni bilamiz. Xususan


Download 224.2 Kb.
Sana27.01.2020
Hajmi224.2 Kb.

Aniq integral.

Biz tekislikda berilgan yassi shakllar yuzalari haqida ma’lumotlarga egamiz. Masalan, uchburchak, doira, kvadrat, trapetsiya va bo’shqa shakllarning yuzasini topishni bilamiz. Xususan, trapetsiyaning yuzi

formula asosida topiladi.

Matematikada egri chiziqli trapetsiyaga doir masalalar muhim o’rin tutadi. Yuza bilan bo’g’liq ko’pgina masalalarni yechish aniq integral yordamida hal etiladi . Bu va boshqa muhim tushunchalar bilan tanishamiz.

Ta’rif.

kesmada uzluksiz va musbat bo'lgan

funksiya grafigi, OX o’q, hamda x=a, x=b to'g'ri chiziqlar kesmalari bilan chegaralangan figura egri chizqli trapetsiya deb ataladi.

y

O x



x

 

O



Biz endi bu egri chiziqli trapetsiya yuzini hisoblash masalasini qaraymiz [a;b] kesmada integrallanuvchi y=f(x) funksiya berilgan bo’lsin.

Agar

bo'lsa, u holda f(x) funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi bo'lib, F(x) uning boshlang’ich funksiyasi bo’lsin. F(x)ning [a;b] kesmadagi orttirmasi F(b)-F(a) ayirma

aniq integral

ning qiymatiga teng bo’ladi, ya’ni

Aniq integral Nyutоn - Leybnitsning

fоrmulasi yordamida hisоblanadi.

Aniq integral xоssalari.

1-xossa.Agar aniq integralning chegaralari almashtirilsa, uning ishоrasi qarama-qarshiga almashadi:

2-xossa. Yuqоri va quyi chegarasi teng bo‘lsa aniq integral nоlga teng bo‘ladi:

3-xossa. Integrallash оraliqlarini bo‘laklarga bo‘lish mumkin:

4-xossa. O‘zgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chikarish mumkin:

5-xossa. Yig‘indining aniq integrali qo‘shiluvchilar aniq integrallarining yig‘indisiga teng:

Aniq integral Nyutоn - Leybnitsning

fоrmulasi yordamida hisоblanadi.

Aniq integralni integrallash usullari.

1.O‘zgaruvchini almashtirish usuli.

Agar

funktsiya

da uzluksiz bo’lib

bo‘lsa, u ћоlda

funktsiya

uzluksiz bo‘lib,

da

fоrmula o‘rinli bo‘ladi.

2. Aniq integralni bo‘laklab integrallash.

Agar u va v funktsiyalar [a;b] da differensiallanuvchi bo‘lsa,

fоrmula o‘rinli bo‘ladi.

Olingan ma’lumotlar va natijalar asosida misol va masalalar qaraymiz.

1-misol.

chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzini toping.

Yechish: Nyuton-Leybnits formulasiga ko’ra topamiz:

2-misоl.

ni hisoblang.

Aniq integralning tatbiqlari

Aniq integralning fizik, geometrik va boshqa sohalarga tatbiq etiladigan masalalarni yechish uchun quyidagi asosiy ma’lumotlarni keltiramiz.

Faraz qilaylik, f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz va musbat funksiya bo’lsin.

U holda mos egri chiziqli trapetsiyaning yuzi quyidagi formula yordamida hisoblanadi:

1)Agar

kesmada

bo’lsa, mos egri chiziqning yuzini hisoblash uchun

formula yordamida

hisoblanadi.

x

O



S

a

b

y

2) Faraz qilaylik f(x) funksiya [a;b] kesmada uzluksiz bo’lib, musbat va manfiy qiymatlarni qabul qilsin. Bunda [a;b] kesmani shunday qismlarga bo’lamizki, ularning har birida f(x) funksiya o’z ishorasini

o’zgartirmasin.

So’ngra bu oraliqlarning har birida egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarini yuqoridagi formulalardn mos keluvchi biri yordamida hisoblab, chiqqan natijalarni qo’shamiz:

O a c b x

y

S1 s2



3)Agar soha yuqoridan

funksiya grafigi bilan, chapdan x=a, o’ngdan x=b to’gri chiziq kesmalari pastdan

Grafigi bilan chegaralangan bo’lsa, yuza

formula

yordamida hisoblanadi.

4) Agar jismning OX o’qqa perpendikulyar bo’lgan ko’ndalang kesimining S(x) yuzi ma’lum bo’lsa, uning hajmini

formula yordamida

hisoblanadi.

5)Agar jism yuqoridan y=f(x) uzluksiz

funksiya grafigining AB yoyi bilan chegaralangan AB egri chiziqli trapetsiyani OX o’qi atrofida aylantirishdan hosil qilingan bo’lsa, uning hajmi formula yordamida hisoblanadi.



O a b x

y

O a b x


6) CD egri chiziqli trapetsiyani OY o’qi

atrofida aylantirishdan hosil bo’lgan jismning hajmi

formula yordamida hisoblanadi. Bu yerda CD chiziq

egri chiziq yoyidan

iborat.

y

7) Agar v(t) to’gri chiziqli harakat qilayotgan moddiy nuqtaning vaqt momentidagi tezligi bo’lsa , u holda



moddiy nuqtaning t=a dan t=b gacha vaqt oralig’ida o’tgan yo’liga teng.

O t= a t=b x(t)

y(t)


8) Agar moddiy nuqta OX o’qdagi proyeksiyasi F(x) ga teng bo’lgan o’zgaruvchi kuch ta’sirida OX o’q bo’ylab harakat qilayotgan bo’lsa, u holda

integralning qiymati moddiy nuqtani x=a vaziyatdan x=b vaziyatga ko’chirishda bajarilgan ishga teng bo’ladi.



O x=a x=b x(t)

y

f(a)



f(b)

9) Agar zichligi p ga teng bo’lgan suyuqlikka ABCD plastinka vertikal holatda botirilgan bo’lsa, unga suyuqlik tomonidan ta’sir etuvchi bosim kuchi

ga teng,

bunda y=f(x) ko’ndalang kesim uzunligining botirish



chuqurligiga bog’liqligini ifodalovchi funksiya, g esa erkin tushish tezlanishi.

p

O x

y

y=f(x)

Do'stlaringiz bilan baham:


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2019
ma'muriyatiga murojaat qiling