Aniq integral reja Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni hisoblash usullari

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar
1. integral hisoblansin:
Yechish:
integral hisoblansin.
Yechish:
3. ni hisoblang.
Yechish:


4. integral hisoblansin:
Yechish: Endi yangi chegaralarni aniqlaymiz: da dan da dan kelib chiqadi.
Topilganlarni berilgan integralga qo’yamiz:

.
integral hisoblansin:
: almashtirish qilamiz: U holda bo’ladi. Bundan tashqari yangi o’zgaruvchi ning qiymatlarini aniqlaymiz. da va da Ularni e’tiborga olsak,

6. integral hisoblansin.
Yechish: almashtirish qilamiz. U holda
bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. bo’lganda bo’lib, undan kelib chiqadi. Demak,


7. integral hisoblansin.
Yechish: Bu integralni bo’laklab integrallash formulasidan foydalanib integrallaymiz.
8. integral hisoblansin.
Yechish:
Aniq integral tushunchasi biror kesmada berilgan funksiya grafigi va abssissalar o'qi bilan chegaralgan geometrik figura yuzasini hisoblash masalasi bilan uzviy bog'liqdir. Biror [a, b] kesmada f funksiya berilgan bo'lib, u manfiy bo'lmagan qiymatlar qabul qilsin. Bu funksiya grafigi, abssissalar o'qi hamda x = a va x = b vertikal to'g'ri chiziqlarning ikki kesmalari bilan chegaralangan figurani T deb belgilaylik: T = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ x ≤ b}. (6.1.1) T figurani odatda egri chiziqli trapetsiya deyishadi. Bu figuraning S = S(T) yuzasini hisoblash maqsadida [a, b] kesmani a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b nuqtalar yordamida [xk−1, xk], k = 1, 2, ..., n qismiy kesmalarga ajratamiz. U holda T egri chiziqli trapetsiya quyidagi: Tk = {(x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ f(x), xk ≤ x ≤ xk−1} ko'rinishdagi kichik egri chiziqli trapetsiyalarning yig'indisiga aylanadi. Agar ∆xk = xk − xk−1 deb belgilash kiritsak, Tk kichik egri chiziqli trapetsiyaning Sk = S(Tk) yuzasi taqriban S(Tk) ' f(ξk) ∆xk ga teng bo'ladi, bu yerda ξk nuqta [xk−1, xk] kesmaning ixtiyoriy nuqtasidir. Shunday ekan, butun T egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi taqriban S(T) ' Xn k=1 f(ξk) ∆xk (6.1.2) ga teng bo'ladi. Agar har bir qismiy [xk−1, xk] segmentning uzunligini kichiklashtirsak (va natijada, bo'linish nuqtalari soni n ni oshirsak), (6.1.2) yig'indi egri chiziqli trapetsiya yuzasiga yanada yaqinroq bo'lishini kutish tabiiydir. 1 2 SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV Shuni qayd etish joizki, biz egri chiziqli trapetsiya yuzasining aniq ta'rifiga ega emasmiz. Shu sababli, bizning yuqoridagi mulohazalarimiz mana shu yuzani intuitiv tushunishimizga asoslangan edi. Biz boshqa yo'l tutsak ham bo'ladi, chunonchi, qismiy segmentlar uzunligi nolga intilgan vaqtdagi (6.1.2) yig'indining limitini (6.1.1) egri chiziqli trapetsiya yuzasi deb atashimiz mumkin. 2. Integral yig'indilar limiti. Shunday qilib, f funksiya (bu safar manfiy bo'lmasligi shart emas) biror [a, b] kesmada aniqlangan bo'lsin. Bu kesmaning P bo'linishi deb shunday P = {xk} n k=1 nuqtalar to'plamiga aytamizki, ular P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} shartni qanoatlantirsin. Har bir [xk−1, xk] qismiy segmentda biror ξk nuqtani tanlaymiz: xk−1 ≤ ξk ≤ xk. Ta'rif. Berilgan f funksiyaning P bo'linish va {ξj} nuqtalar tanlanishiga mos integral yig'indisi deb σP (f) = σP (f, {ξj}) = Xn k=1 f(ξk) ∆xk (6.1.3) songa aytiladi, bu yerda ∆xk = xk − xk−1. P bo'linishning diametri deb eng katta qismiy segmentning uzunligiga aytamiz: d = d(P) = max 1≤k≤n ∆xk. (6.1.4) Ta'rif. Agar ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday δ = δ(ε) son topilsaki, d(P) < δ shartni qanoatlantiruvchi har qanday P bo'linish uchun ξj oraliq nuqtalarning tanlanishiga bog'liq bo'lmagan holda | I − σP (f, {ξj}) | < ε (6.1.5) tengsizlik bajarilsa, I soni d(P) → 0 da (6.1.3) integral yig'indilarning limiti deyiladi. Bunda quyidagicha yoziladi: I = lim d(P )→0 σP (f). Ta'rif. Agar berilgan f funksiya uchun (6.1.3) yig'indilarning d(P) → 0 dagi I limiti mavjud bo'lsa, u holda f funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi deyiladi. Ko'rsatilgan I limit f funksiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan Riman aniq integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: Z b a f(x) dx = I (6.1.6) (¾integral a dan be gacha ef iks de iks¿ deb o'qiladi). (6.1.6) tenglikda f funksiya integral ostidagi funksiya deb, a soni integralning quyi chegarasi va b soni esa integralning yuqori chegarasi deb ataladi. Eslatma. Berilgan f funksiyaning [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lishi uchun istalgan integral yig'indining quyidagi: MATEMATIK TAHLIL 3 σP (f) = Z b a f(x) dx + αP (f) (6.1.7) ko'rinishga ega bo'lishi zarur va yetarli, bu yerda αP (f) bo'linish diametri kichiklashganda istalgancha kichik qilish mumkin bo'lgan kattalikdir. 3. N'yuton-Leybnits formulasi. Ushbu bandda biz differensial hisobni integral hisob bilan bog'lovchi asosiy formulani isbotlaymiz. Tarixan shunday sodir bo'lganki, bu formulaning turli variantlarini har xil vaqtlarda bir-biridan bog'liqsiz ravishda ko'pgina matematiklar isbotlashgan. N'yuton xam bu formula haqida o'z ustozi Barroudan habar topib, undan ko'p foydalangan. Lekin matematik adabiyotlarda ushbu formulani, differensial va integral hisobni shakillanishida eng katta hissa qo'shganligiga hurmat ramzi sifatida, N'yuton va Leybnits nomlari bilan bog'lashadi. Darhaqiqat, fan tarixchilarining mehnati zoyi ketmadi va hozir bu formulani ko'pincha sodda qilib integral hisobning asosiy formulasi deb atashadi. Riman integralining yuqoridagi integral yig'indilar limiti sifatida keltirilgan ta'rifi sal uzunroq va murakkablashgan bo'lib ko'rinishiga qaramasdan, bu ta'rif yordamida integral hisobi asosiy teoremasining eng sodda isbotini berish mumkin. 6.1.1 - Teorema (N'yuton-Leybnits formulasi). Faraz qilaylik, f funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lsin. Bundan tashqari, F funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo'lib, har bir ichki nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin va F 0 (x) = f(x), a < x < b (6.1.8) tenglik bajarilsin. U holda quyidagi Z b a f(x) dx = F(b) − F(a) (6.1.9) formula (integral hisobning asosiy formulasi) o'rinli bo'ladi. Isbot. Berilgan [a, b] kesmaning ixtiyoriy P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b} bo'linishini olamiz. Lagranj formulasiga asosan, har qanday qismiy [xk−1, xk] kesmada shunday ξk nuqta topiladiki, u uchun F(xk) − F(xk−1) = F 0 (ξk)∆xk tenglik bajariladi. Bu tenglikni, (6.1.8) ga ko'ra, F(xk) − F(xk−1) = f(ξk)∆xk (6.1.10) ko'rinishda yozish mumkin. Endi (6.1.10) tengliklarni k bo'yicha 1 dan n gacha yig'ib, zaruriy qisqartirishlarni bajarsak, F(b) − F(a) = Xn k=1 [F(xk) − F(xk−1)] = Xn k=1 f(ξk)∆xk (6.1.11) tenglikni olamiz. Bu tenglikning chap tarafi [a, b] kesmaning bo'linishiga bog'liq emas. Tenglikning o'ng tarafi esa integral yig'indidan iborat bo'lib, uning limiti f funktsiyadan [a, b] kesma bo'yicha olingan integralga teng. Shunday ekan, (6.1.11) tenglikda limitga o'tib, talab qilingan (6.1.9) formulani olamiz. 4 SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV Q.E.D. Eslatma. Odatda quyidagi F(x) ¯ ¯ b a = F(x) ¯ ¯ x=b x=a = F(b) − F(a) (6.1.12) belgilashlardan foydalaniladi. Bunda (6.1.9) integral hisobining asosiy formulasini ko'pincha Z b a f(x) dx = F(x) ¯ ¯ b a (6.1.13) ko'rinishda yozishadi. 4. Integrallanuvchi funksiyalarga misollar. 6.1.1 - Misol. O'zgarmas f(x) = c funksiya istalgan [a, b] kesmada integrallanuvchidir. Haqiqatan, istalgan P = {xk} bo'linish va ixtiyoriy ξk ∈ [xk−1, xk] uchun f(ξk) = c tenglikdan σP (f, {ξk}) = c∆x1 + c∆x2 + ... + c∆xn = c(b − a) munosabat kelib chiqadi. Demak, lim d→0 σP (f, {ξk}) = c(b − a). Shuning uchun Z b a c dx = c(b − a). (6.1.14) 6.1.1 - Tasdiq. Agar f funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lsa, u shu kesmada chegaralangan bo'ladi. Isbot. Faraz qilaylik, f funksiya [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lib, I uni integral yig'indilarining limiti bo'lsin. Demak, ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ(ε) > 0 topiladiki, bo'linish diametri d(P) < δ bo'lgan istalgan (6.1.3) ko'rinishdagi integral yig'indi (6.1.5) shartni qanoatlantiradi. Xususan, ε = 1 desak, d(P) < δ(1) bo'lganda ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn k=1 f(ξk) ∆xk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ |I| + 1 (6.1.15) tengsizlikni olamiz. Albatta, f funksiyaning har bir qismiy [xk−1, xk] kesmada chegaralangan ekanini ko'rsatish yetarli. Isbotni teskarisini faraz qilish yoli bilan olib boramiz. Demak, faraz qilaylik, berilgan funksiya biror qismiy kesmada chegaralanmagan bo'lsin, masalan, [x0, x1] da. Quyidagi f(ξ1)∆x1 = Xn k=1 f(ξk) ∆xk − Xn k=2 f(ξk) ∆xk, MATEMATIK TAHLIL 5 tenglikka ko'ra, (6.1.15) dan |f(ξ1)| ∆x1 ≤ |I| + 1 + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn k=2 f(ξk) ∆xk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (6.1.16) kelib chiqadi. Biroq bu tengsizlik f funksiyaning [x0, x1] qismiy kesmada chegaralanmagan degan farazimizga ziddir. Haqiqatan, k ≥ 2 bo'lsa, har qanday tayinlangan oraliq nuqtalar ξk ∈ [xk−1, xk] uchun shunday ξ1 ∈ [x0, x1] nuqtani ko'rsatish mumkinki, funksiyaning chegaralanmaganligiga ko'ra, (6.1.16) ning chap tarafi uning o'ng tarafidan katta bo'ladi. O'rnatilgan qarama-qarshilik 6.1.1 - Tasdiq o'rinli ekanini ko'rsatadi. Q.E.D. Shunday qilib, Riman bo'yicha integrallanuvchi har qanday funksiya chegaralangan ekan. Ammo bu tasdiqning teskarisi o'rinli emas. Haqiqatan, navbatdagi misolda chegaralangan, lekin Riman bo'yicha integrallanmaydigan funksiyaga namuna keltiramiz. 6.1.2 - Misol. Dirixle funksiyasi D(x) = ( 1, agar x ratsional bo'lsa, 0, agar x irratsional bo'lsa, hech qanday [a, b] ⊂ R, a < b, kesmada integrallanuvchi emas. Haqiqatan, [a, b] sonlar o'qining ixtiyoriy kesmasi bo'lib, P uning ixtiyoriy bo'linishi bo'lsin. Quyidagi ikki integral yig'indini qaraymiz: σP (D, {ξk}) = Xn k=1 D(ξk) ∆xk va σP (D, {ηk}) = Xn k=1 D(ηk) ∆xk. Oraliq ξk nuqta sifatida [xk−1, xk] kesmadan istalgan ratsional nuqtani olamiz va ikkinchi yig'indi uchun oraliq ηk ∈ [xk−1, xk] nuqta sifatida istalgan irratsional nuqtani olamiz. U holda, ravshanki, D(ξk) = 1 va shuning uchun σP (D, {ξk}) = Xn k=1 ∆xk = b − a. Xuddi shunga o'xshash, D(ηk) = 0 va shuning uchun σP (D, {ηk}) = 0. Modomiki b − a 6= 0 ekan, oxirgi ikki integral yig'indi o'zaro teng emas. Bundan chiqdi, Dirixle funksiyasining integral yig'indilari yuqoridagi ta'rif bo'yicha limitga ega bo'la olmaydi. Demak, Dirixle funksiyasi [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanmas ekan. Agar R[a, b] simvol orqali [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi funksiyalar to'plamini belgilasak, u holda R[a, b] berilgan [a, b] kesmada chegaralangan funksiyalar to'plamining qismiy to'plami bo'ladi. Bundan tashqari, bu qismiy to'plam hosmasdir, ya'ni u chegaralangan funksiyalar to'plami bilan ustma-ust tushmaydi. 6 SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV Dirixle funksiyasining integrallanmasligiga sabab uni sonlar o'qining har bir nuqtasida uzilishga ega ekanligidadir. Biroq bundan Riman bo'yicha integrallanuvchi funksiya uzilish nuqtasiga ega bo'la olmaydi degan fikr kelib chiqmaydi. 6.1.3 - Misol. Har qanday c ∈ [a, b] uchun gc(x) = ( 1 , agar x = c bo'lsa, 0 , agar x 6= c bo'lsa, (6.1.17) funksiya [a, b] kesmada integrallanuvchi bo'lib, Z b a gc(x) dx = 0 (6.1.18) tenglik o'rinlidir. Haqiqatan, agar c nuqta P bo'linishning hech bir nuqtasi bilan ustma-ust tushmasa, σP (gc, {ξk}) = Xn k=1 gc(ξk)∆xk (6.1.19) integral yig'indida faqat bitta had noldan farqli bo'lib, ravshanki, u d(P) dan kichik bo'ladi. Agarda c nuqta P bo'linishning biror nuqtasi bilan ustma-ust tushsa, (6.1.19) yig'indida noldan farqli had ikkita bo'ladi. Lekin har ikkala holda ham integral yig'indilar d(P) → 0 da nolga intilishi aniq. Demak, (6.1.18) tenglik o'rinli bo'lar ekan. Q.E.D. Ÿ 6.2. Riman integralining asosiy xossalari 1. Riman integralining chiziqliligi. Ushbu bandda Riman integralining integral ostidagi funksiyadan chiziqli bog'liq ekanini ko'rsatamiz. 6.2.1 - Teorema. Agar f va g funksiyalar [a, b] kesmada Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lsa, istalgan haqiqiy λ va µ sonlar uchun λf + µg funksiya ham Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lib, Z b a [λf(x) + µg(x)] dx = λ Z b a f(x) dx + µ Z b a g(x) dx (6.2.1) tenglik bajariladi. Isbot. Agar P berilgan [a, b] kesmaning istalgan bo'linishi bo'lsa, λf+µg funksiyaning (6.1.3) ko'rinishdagi integral yig'indisi f va g funksiyalar integral yig'indilari bilan quyidagicha bog'langan bo'ladi: σP (λf + µg) = λσP (f) + µσP (g). (6.2.2) MATEMATIK TAHLIL 7 Shartga ko'ra f va g funksiyalar integrallanuvchi, shuning uchun, (6.1.7) tenglikka asosan, ularning integral yig'indilarini quyidagi: σP (f) = Z b a f(x) dx + αP (f) va σP (g) = Z b a g(x) dx + αP (g), ko'rinishlarda yozish mumkin, bu yerdagi αP (f) va αP (g) kattaliklarni bo'linish diametri kichiklashganda istalgancha kichik qilish mumkin. Demak, σP (λf + µg) = λ Z b a g(x) dx + µ Z b a g(x) dx + λαP (f) + µαP (g). (6.2.3) Modomiki λαP (f) + µαP (g) kattalikni P bo'linish diametri kichiklashganda istalgancha kichik qilish mumkin ekan, (6.2.3) tenglik λf + µg funktsiya Riman bo'yicha integrallanuvchi bo'lib, (6.2.1) tenglik o'rinli ekanini anglatadi. Q.E.D. Navbatdagi muhim xossani integralning, integrallash kesmasi funksiyasi sifatida, additivligi deb atashadi. 6.2.2 - Teorema. Agar a < b < c bo'lib, f funksiya [a, b] va [b, c] kesmalarda integrallanuvchi bo'lsa, bu funksiya [a, c] kesmada ham integrallanuvchi bo'ladi va quyidagi tenglik bajariladi: Zc a f(x) dx = Z b a f(x) dx + Zc b f(x) dx. (6.2.4) Isbot. 1. P ∗ simvol orqali [a, c] kesmaning b nuqtani o'z ichiga olgan ixtiyoriy bo'linishini belgilaymiz, ya'ni, agar P ∗ = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = c} desak, biror m nomer uchun b = xm bo'ladi. Ravshanki, bu holda P ∗ bo'linish quyidagi ikki bo'linish yig'indisidan iborat bo'ladi: 1) [a, b] kesmaning diametri d(P1) ≤ d(P) bo'lgan P1 = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xm = b} bo'linishi va 2) [b, c] kesmaning diametri d(P2) ≤ d(P) bo'lgan P2 = {b = xm < xm+1 < xm+2 < ... < xn = c} bo'linishi. 8 SH. A. ALIMOV, R. R. ASHUROV Mana shu P ∗ bo'linishga mos kelgan f funksiyaning integral yig'indisini Xn k=1 f(ξk)∆xk = Xm k=1 f(ξk)∆xk + Xn k=m+1 f(ξk)∆xk (6.2.5) ko'rinishda yozish mumkin. Shartga ko'ra, f funksiya [a, c] va [c, b] kesmalarda integrallanuvchidir. Shuning uchun, (6.2.5) ning o'ng tarafidagi integral yig'indilar f funksiyadan mos ravishda [a, c] va [c, b] kesmalarda olingan integrallarga intiladi. Demak, (6.2.5) ning chap tarafidagi integral yig'indi (6.2.4) ning o'ng tarafidagi integrallar yig'indisiga intiladi, ya'ni lim d(P ∗)→0 σP ∗ (f) = Z b a f(x) dx + Zc b f(x) dx. (6.2.6) 2. Endi [a, c] kesmaning, b nuqtani o'z ichiga olmagan, ixtiyoriy P bo'linishini qaraymiz. Aytaylik, b nuqta xm−1 va xm nuqtalar orasida yotsin, ya'ni xm−1 < b < xm. Agar P bo'linishga b nuqtani qo'shsak, [a, c] kesmaning yangi bo'linishini olamiz. Ana shu bo'linishni P ∗ simvol orqali belgilaymiz. Bunda, albatta, d(P ∗ ) ≤ d(P) bo'ladi. Ravshanki, bu ikki bo'linishlarga mos keluvchi (6.1.3) ko'rinishdagi integral yig'indilar ayirmasini quyidagicha yozish mumkin σP (f) − σP ∗ (f) = = f(ξm)(xm − xm−1) − f(ξ 0 m)(b − xm−1) − f(ξ 00 m)(xm − b), (6.2.7) bu yerda ξ 0 m ∈ [xm−1, b] va ξ 00 m ∈ [b, xm]. Integrallanuvchi funksiyaning chegaralanganligi haqidagi 6.1.1 - Tasdiqqa ko'ra, shunday M > 0 o'zgarmas topiladiki, barcha x ∈ [a, c] uchun |f(x)| ≤ M tengsizlik bajariladi. Shuning uchun (6.2.7) dan |σP (f) − σP ∗ (f)| ≤ M(xm − xm−1) + M(b − xm−1) + M(xm − b) = = 2M∆xm ≤ 2M d(P) (6.2.8) kelib chiqadi. Demak, har ikkala integral yig'indi bitta limitga ega bo'lib, (6.2.6) ga ko'ra, lim d(P )→0 σP (f) = Z b a f(x) dx + Zc b f(x) dx, ya'ni (6.2.4) tenglik bajarilar ekan. Q.E.D. Eslatma. Biz (6.2.4) tenglikda a < b < c deb faraz qilgan edik. Agar istalgan a uchun Za a f(x) dx = 0 (6.2.9) deb kelishib olinsa, (6.2.4) tenglik a ≤ b ≤ c bo'lganda ham o'rinli bo'ladi. Shuni alohida qayd etamizki, (6.2.9) tenglik isbotlanmaydi va u faqat kelishuv natijasidir.