Aniq integral tushunchasi 10. ni bo’laklash

3 —ma’ruza . Integrallanuvchi funksiyalar sinfi

Ushbu paragrafda aniq integralning mavjudligi haqidagi teoremadan foydalanib, bazi funksiyalarning sinfi integrallanuvchi bo’lishini ko’ramiz. funksiya

oraliqda aniqlangan bo’lsin .
3 – teorema. Agar funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsa, u shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
◄ funksiya oraliqda uzluksiz bo’lsin. Veyeshtrasning birinchi teoremasiga ( 5—bobdagi 7–teoremaga qarang ) ko’ra funksiya da chegaralangan. Ikkinchi tomondan, Kantor teoremasining ( 5— bobdagi 10—teoremaga qarang ) 3—natijaga ko’ra olinganda ham shunday son topilib, oraliqni uzluklari dan kichik bo’lgan bo’laklarga ajratilganda funksiyaning har bir bo’lakdagi tebranishi uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, oraliqni diametri bo’lgan har qanday bo’laklashda

bo’lib, undan

kelib chiqadi. Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi .►
4—teorema. Agar funksiya oraliqda chegaralangan va monoton bo’lsa, funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
◄ funksiya da chegaralangan va shu oraliqda, aytaylik, o’suvchi bo’lsin. sonni olib, unga ko’ra sonni quyidagicha tanlaylik:
.
So’ngra oraliqni diametri bo’lgan bo’laklashi uchun Darbu yig’indilari va ni tuzamiz. U holda

Demak, funksiya oraliqda integrallanuvchi .►
Chegaralangan hamda kamayuvchi funksiyaning integrallanuvchi bo’li-shi ham xuddi shunga o’xshash isbotlanadi.
5–teorema. Agar funksiya oraliqda chegaralangan va bu oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzulishga ega bo’lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa , funksiya shu oraliqda integrallanuvchi bo’ladi.
◄ funksiya da chegaralangan bo’lib, shu oraliqning faqat bitta
nuqtasida uzilishga ega, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsin.
son olib, nuqtaning

atrofini tuzamiz. Bu atrof oraliqni

qismlarga ajratadi.
Shartga ko’ra, funksiya va oraliqning har birida uzluksiz. Bu oraliqlarning har biriga alohida Kantor teoremasining natijasini (5— bobdagi 3— natijani qarang) qo’llaymiz. U holda olingan son uchun shunday va sonlar topiladiki,
da dan
da dan
tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi. Agar deb olsak , u holda ikkala oraliq uchun bir vaqtda
dan
tengsizliklar o’rinli ekani kelib chiqadi.
Endi yuqoridagi songa ko’ra sonni deb olaylik.
oraliqni diametri bo’lgan bo’laklashlari uchun funksiyaning Darbu yig’indilarini tuzib, quyidagi

ayirmani qaraymiz. yig’indining har bir hadida oraliqning uzunligi qatnashadi. Bu oraliqlarni nuqtaning atrofidan tashqarida joylashganiga, ya’ni munosa-bat o’rinli bo’ladiganiga mos keladigan yig’indining hadlaridan tuzilgan yig’indi

bo’lsin . yig’indining qolgan barcha hadlaridan tashkil topgan yig’indi

bo’lsin, bunda yoki yoki bo’ladi.
Natijada yig’indi ikki qismga ajraladi:

Endi bu yig’indilarni baholaymiz. Yuqoridagi munosabatdan foydalanib, topamiz:

Ikkinchi yig’indi uchun

bo’lishini topamiz, bunda funksiyaning oraliqdagi tebranishi.
Agar atrofida butunlay joylashgan oraliqlari uzunliklari-ning yig’indisi dan kichikligini hamda va nuqtalarni o’z ichi-ga olgan oraliqlar ikkita bo’lib, ularning uzunliklari yig’indisi ham (chunki ) dan kichik bo’lishini etiborga olsak, u holda

bo’ladi. Natijada , va munosabatlardan

ekani kelib chiqadi. Demak,

Bu funksiyaning da integrallanuvchi bo’lishini bildiradi.
funksiya oraliqning chekli sondagi nuqtalarida uzulishga ega bo’lib, qolgan barcha nuqtalarida uzluksiz bo’lsa, uning da integrallanuv-chi bo’lishi yuqoridagidek isbot etiladi.►
2—eslatma. funksiya oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Biz

hamda

tengliklar o’rinli deb kelishib olamiz.