Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni hisoblash usullari

Aim.uz

Aniq integral va uning xossalari. Aniq integralni hisoblash usullari
kesmada f(x) funksiya aniqlangan bo’lsin. kesmani nuqtalar bilan n ta bo’lakka ajratamiz. Har bir kesmadan ixtiyoriy nuqta olib

yig’indini tuzamiz. Bunda

ko’rinishidagi yig’indi integral yig’indi deyiladi. Uning max dagi limiti mavjud va chekli bo’lsa, unga f(x) funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi va u

ko’rinishida yoziladi.

Bu holda f(x) funksiya kesmada integrallanuvchi deyiladi. f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun u kesmada uzluksiz bo’lishi yoki chekli sondagi uzilishlarga ega bo’lishi kifoyadir.

Aniq integral quyidagi bir qator xossalarga ega:

1. ;

., agar bo’lsa;

;

.

Agar kesmada va integrallanuvchi bo’lsa, u holda

tengsizlik o’rinli bo’ladi;

6. Agar kesmada va funksiyalar integrallanuvchi hamda bo’lsa, u holda ularning aniq integrallari uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Agar va f(x) funksiya , kesmalarda integrallanuvchi bo’lsa, unda kesmada ham integrallanuvchi va tenglik o’rinli bo’ladi.

Agar kesmada (a tengsizlik o’rinli bo’ladi;

Agar funksiya kesmada integrallanuvchi bo’lsa, u holda f(x) funksiya ham bu kesmada integrallanuvchi va quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:

10. Agar f(x) funksiya kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda bu kesmada shunday 𝜉 nuqta mavjud bo’ladiki, unda

tenglik o’rinli bo’ladi.

Agar F(x) uzluksiz f(x) funksiyaning biror boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda

tenglik o’rinli bo’ladi. Bu tenglik aniq integralni hisoblashning Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.

Ba’zi aniq integrallarni hisoblashda bo’laklab integrallash formulasi deb ataluvchi

formuladan foydalaniladi.

Berilgan uzluksiz funkisiyadan kesma bo’yicha olingan

aniq integiralni ba’zi hollarda biror differensiallanuvchi funksiya orqali “eski” x o’zgaruvchidan “yangi” t o’zgaruchiga o’tish usulida foydalanib hisoblash mumkin bo’ladi. Bunda quyidagi shartlar qo’yiladi:

1. (

2. (t) vafunksiyalar t[] kesmada uzluksiz:

3. [ murakkab funksiya [ kesmada aniqlangan va uzluksiz.

Bu shartlarda ushbu formula o’rinli bo’ladi:

Bu formula aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish formulasi deyiladi.