Aniq integralning geometrik tadbiqlari tekis figura yuzi va egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash

2. Tekis egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash
T ekislikda  egri chiziq  kesmada uzluksiz funksiya grafigi bilan berilgan bo‘lsin.  egri chiziq uzunligini  sxemadan foydalangan holda topamiz.
kesmada ixtiyoriy  qiymatni tanlaymiz va o‘zgaruvchi  kesmani qaraymiz. Bu kesmada  kattalik  ning funksiyasi bo‘ladi:  va 
ning kichik  kattalikka o‘zgarishida  differensialni topamiz: yoyni uni tortib turuvchi vatar bilan almashtiramiz (14-shakl) va  ni topamiz:

Demak,  yoki ekanidan
ni  dan  gacha integrallab, topamiz:
(17.8)
(17.8) tenglikka yoy differensialining to‘g‘ri burchakli koordinatalardagi formulasi deyiladi.
Agar egri chiziq tenglama bilan berilgan bo‘lsa, yuqorida keltirilganlarni takrorlab, yoy uzunligini hisoblashning quyidagi formulasini hosil qilamiz:
. (17.9)
Agar egri chiziq  parametrik tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, (8) formulada  o‘riniga qo‘yish orqali o‘zgaruvchi almashtiriladi.
Bunda
(17.10)
kelib chiqadi, bu yerda  va  .
Misollar
1..  yarim kubik parabolaning  dan  gacha yoyi uzunligini topamiz. Bunda dan kelib chiqadi.
U holda (8) formula bilan topamiz:

2.  egri chiziq yoyining  o‘q bilan kesishish nuqtalari orasidagi uzunligini hisoblaymiz. Buning uchun avval deb egri chiziqning  oq bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz:
Hosilani topamiz:

Yoy uzunligini hisoblaymiz:


3.   tenglama bilan berigan egri chiziq uzunligini topamiz. Berilgan tenglama astroidani ifodalaydi.
Astroidaning uzunligini (17.10) formula bilan topamiz: