Aniq integralning tatbiqlari Reja: Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari
Download 1.05 Mb. Pdf ko'rish
|
Aniq integralning tatbiqlari Reja
|
Aniq integralning tatbiqlari Reja: 1. Aniq integralning fizik va mexanik tatbiqlari. 2. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash. 3.
Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash. 4. Aylanma jism hajmini hisoblash. 5. Aniq integralning iqtisodiyotga tatbiqlari. 6. Xulosa.
1.
Kattaligi o’zgaruvchan va 𝑓(𝑥) funksiya bilan aniqlanadigan kuch moddiy nuqtani [ 𝑎, 𝑏] kesma bo’yicha harakatlantirganda bajarilgan 𝐴 ish 𝐴 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎
formula bilan hisoblanadi. Biror o’zgarmas tezlik bilan to’gri chiziq bo’ylab tekis harakat qilayotgan moddiy nuqtaning [𝑎, 𝑏] vaqt oralig’ida bosib o’tgan 𝑆 masofasi 𝑆 = 𝑣(𝑏 − 𝑎) formula bilan hisoblanadi. Tezligi har bir 𝑡 vaqtda o’zgaruvchan va 𝑣 = 𝑣(𝑡) funksiya bilan aniqlanadigan notekis harakatda moddiy nuqtaning [𝑎, 𝑏] vaqt oralig’ida bosib o’tgan 𝑠 masofasi 𝑆 = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑏 𝑎
formula bilan aniqlanadi. Ma’lumki, inersiya momenti tushunchasi mexanikaning muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Tekislikda 𝑚 massaga ega bo’lgan 𝐴 moddiy nuqta berilgan bo’lib, bu nuqtadan biror 𝑙 o’qqacha ( yoki 𝑂 nuqtagacha) bo’lgan masofa 𝑟 ga teng bo’lsin. U holda 𝐽 = 𝑚𝑟
2 miqdor
𝐴 moddiy nuqtaning 𝑙 o’qga (𝑂 nuqtaga) nisbatan inersiya momenti deb ataladi. Masalan, tekislikdagi 𝑚 massaga ega bo’lgan 𝐴 = 𝐴(𝑥, 𝑦) moddiy nuqtaning koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda 𝐽 𝑥
2 , 𝐽 𝑦 = 𝑚𝑦
2 , 𝐽
0 = 𝑚(𝑥
2 + 𝑦
2 ) formulalar orqali hisoblanadi. Masalan, tekislikda har biri mos ravishda 𝑚 0 , 𝑚 1, … , 𝑚 𝑛−1 massaga ega bo’lgan 𝐴 0
0 , 𝑦
0 ), 𝐴
1 (𝑥 1 , 𝑦 1 ), …, 𝐴 𝑛−1 (𝑥 𝑛−1 , 𝑦 𝑛−1
) moddiy nuqtalar sistemasining koordinata o’qlariga hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari mos ravishda 𝐽 𝑥 (𝑛) = ∑ 𝑚
𝑘 𝑥 𝑘 2 𝑛−1
𝑘=𝑜 , 𝐽
𝑦 (𝑛)
= ∑ 𝑚 𝑘 𝑦 𝑘 2 𝑛−1 𝑘=𝑜 , 𝐽
0 (𝑛)
= ∑ 𝑚 𝑘 (𝑥 𝑘 2 𝑛−1 𝑘=𝑜 +𝑦 𝑘 2 )
formulalar orqali ifodalanadi. Biror
𝑦 = 𝑓(𝑥) egri chiziq yoyi bo’yicha massa tarqatilgan bo’lsin. Bu massali egri chiziq yoyining koordinata o’qlari hamda koordinata boshiga nisbatan inersiya momentlari 𝐽 𝑥 = ∫ 𝑥 2 √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]
2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 , 𝐽 𝑦 = ∫ 𝑓
2 (𝑥)√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]
2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎
𝐽 0 = ∫ (𝑥 2 + 𝑓
2 (𝑥))√1 + [𝑓 ′ (𝑥)]
2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎
formulalar orqali ifodalanadi. 𝑂𝑥𝑦 tekislikda massalari 𝑚 1 , 𝑚 2 , . . , 𝑚 𝑛
bo’lgan 𝑃 1 (𝑥 1 , 𝑦
1 ), 𝑃
2 (𝑥 2 , 𝑦 2 ), … , 𝑃 𝑛 (𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) material nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsa, u holda, 𝑥 𝑖 𝑚 𝑖 va 𝑦 𝑖 𝑚 𝑖 ko’paytmalar 𝑚 𝑖
𝑜𝑥 va 𝑜𝑦 o’qlariga nisbatan statik momentlari deyiladi. Berilgan sistemaning og’irlik markazi koordinatalarini 𝑥 𝑐 va 𝑦 𝑐 lar bilan belgilaymiz. U holda, mexanika kursidan ma’lum bo’lgan 𝑥 𝑐 = 𝑥 1 𝑚 1 + 𝑥 2 𝑚 2 + … + 𝑥 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 1 + 𝑚 2 + … + 𝑚 𝑛 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑚 𝑖 𝑛 𝑖=1
𝑦 𝑐 = 𝑦 1 𝑚 1 + 𝑦
2 𝑚 2 + … + 𝑦 𝑛 𝑚 𝑛 𝑚 1 + 𝑚 2 + … + 𝑚 𝑛 = ∑ 𝑦 𝑖 𝑚 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑚 𝑖 𝑛 𝑖=1 formulalarni yozishimiz mumkin. 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) tenglama bilan berilgan 𝐴𝐵 egri chiziq yoyining og’irlik markazi koordinatalari quyidagi integrallar bilan aniqlanadi : 𝑥 𝑐
∫ 𝑥 𝑑𝑠 𝑏 𝑎 ∫ 𝑑𝑠 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑥√1 + [𝑓′(𝑥)] 2 𝑑𝑥
𝑏 𝑎 ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)] 2 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
𝑦
𝑐 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑠 𝑏 𝑎 ∫ 𝑑𝑠 𝑏 𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)] 2 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ √1 + [𝑓′(𝑥)] 2 𝑑𝑥
𝑏 𝑎
𝑦 = 𝑓 1 (𝑥), 𝑦 = 𝑓 2 (𝑥), 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏 chiziqlar bilan chegaralangan tekis figura og’irlik markazining koordinatalari 𝑥 𝑐 = ∫ 𝑥[𝑓
2 (𝑥) − 𝑓
1 (𝑥)]𝑑𝑥
𝑏 𝑎 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑓
1 (𝑥)]𝑑𝑥
𝑏 𝑎 , 𝑦 𝑐 = 1 2 ∫
[𝑓 2 2 (𝑥) − 𝑓 1 2 (𝑥) ]𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ∫ [𝑓 2 (𝑥) − 𝑓 1 (𝑥)]𝑑𝑥
𝑏 𝑎
formulalardan topiladi.
2.
3.
4.
5.
6. Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki aniq integral hayotimizning deyarli
barcha jabhalarini qamrab olgan. Jumladan texnikada juda keng qo’llaniladi. Shuningdek iqtisodiy masalalarni yechishda ham keng foydalaniladi. Aniq Integral yordamida fizik masalalar ham juda oson hal etiladi. Download 1.05 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|